{"id":169,"date":"2021-01-17T22:08:06","date_gmt":"2021-01-17T22:08:06","guid":{"rendered":"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/2bachccss\/?page_id=169"},"modified":"2021-03-02T15:37:07","modified_gmt":"2021-03-02T15:37:07","slug":"4-derivadas-y-aplicaciones","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/2bachccss\/4-derivadas-y-aplicaciones\/","title":{"rendered":"4. Derivadas y aplicaciones"},"content":{"rendered":"

APUNTES DE LA UNIDAD<\/span><\/strong><\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

RELACI\u00d3N DE EJERCICIOS<\/span><\/strong><\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

Relaci\u00f3n de ejercicios <\/p>\n

 <\/p>\n

DESARROLLO DE LA UNIDAD<\/h2>\n\n\n\n\n\n
Secci\u00f3n<\/strong><\/td>\nTeor\u00eda<\/strong><\/td>\nActividades<\/strong><\/td>\nSoluciones<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n
4.2 Interpretaci\u00f3n geom\u00e9trica de la derivada<\/b><\/td>\n\n

La derivada de una funci\u00f3n en un punto coincide con la pendiente de la
\nrecta tangente esa funci\u00f3n en ese punto.<\/p>\n

De donde se deduce que:<\/p>\n

    \n
  • Si f'(a) > 0 , la funci\u00f3n es creciente en x = a.<\/li>\n
  • Si f'(a) < 0 , la funci\u00f3n es decreciente en x = a.<\/li>\n
  • Si hay un m\u00e1ximo o m\u00ednimo relativo en x = a, entonces f'(a) = 0.<\/li>\n<\/ul>\n<\/td>\n
 <\/td>\n <\/td>\n<\/tr>\n
4.3 Reglas de derivaci\u00f3n<\/b><\/td>\nREGLAS DE DERIVACI\u00d3N:<\/strong><\/p>\n

\"\"<\/p>\n

DERIVADA DE LAS OPERACIONES  CON FUNCIONES:<\/strong><\/p>\n

    \n
  • Producto por un escalar:<\/strong><\/li>\n<\/ul>\n

    \"\"<\/p>\n

      \n
    • Suma y resta:<\/strong><\/li>\n<\/ul>\n

      \"\"<\/p>\n

        \n
      • Producto:<\/strong><\/li>\n<\/ul>\n

        \"\"<\/p>\n

          \n
        • Cociente:<\/strong><\/li>\n<\/ul>\n

          \"\"<\/p>\n

            \n
          • Regla de la cadena:<\/strong><\/li>\n<\/ul>\n

            \"\"<\/p>\n

            La regla de la cadena se aplica a la composici\u00f3n de funciones (cuando una funci\u00f3n est\u00e1 dentro de otra) y lo que viene a decir es que primero se deriva la funci\u00f3n que lo engloba todo (la que est\u00e1 m\u00e1s hacia fuera), dejando dentro de esta derivada lo que hab\u00eda dentro de la funci\u00f3n, y luego se multiplica por la deriva de la funci\u00f3n que estaba en el interior.<\/p>\n


            \n\"\"<\/a><\/p>\n

             <\/td>\n

Ejercicios 1 y 2 de los apuntes<\/td>\n\n\n\n\n\n\n
\"\"<\/a><\/td>\nEjercicio 1<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n
\"\"<\/a><\/td>\nEjercicio 2<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/td>\n<\/tr>\n
4.4 Ecuaci\u00f3n de la recta tangente<\/strong><\/td>\n\n

Como ya hemos dicho, la derivada de una funci\u00f3n en un punto coincide con la pendiente de la recta tangente a la funci\u00f3n en dicho punto. Con lo cual, la ecuaci\u00f3n de la recta tangente viene dada por:<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

\"\"<\/a> \"\"<\/a>
\n
\n<\/a><\/td>\n

Ejercicio 3 de los apuntes<\/td>\n\n\n\n\n\n
\"\"<\/a><\/td>\nEjercicio 3<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/td>\n<\/tr>\n
4.5 Derivabilidad<\/strong><\/td>\n\n

Para que una funci\u00f3n sea derivable en un punto debe cumplirse las siguientes condiciones:<\/p>\n

    \n
  • Que f sea continua en x = a.<\/li>\n
  • Que las derivadas laterales coincidan.<\/li>\n<\/ul>\n

    Los puntos en los que estudiaremos la derivabilidad ser\u00e1n los mismos que en los que estudi\u00e1bamos la continuidad, es decir, los puntos de cambio de trozo y los que anulen al denominador.<\/p>\n

     <\/p>\n

    \"\"<\/a> \"\"<\/a>\"\"<\/a><\/p>\n

     <\/p>\n

     <\/td>\n

Ejercicios 4 y 5 de los apuntes<\/td>\n\n\n\n\n\n\n\n
\"\"<\/a><\/td>\nEjercicio 4<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n
\"\"<\/a><\/td>\nEjercicio 5<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/td>\n<\/tr>\n
4.6.1 Estudio de la monoton\u00eda (crecimiento y decrecimiento)<\/b><\/td>\n\n

Para estudiar la monoton\u00eda de una funci\u00f3n seguiremos los siguientes pasos:<\/p>\n

    \n
  1. Derivamos la funci\u00f3n.<\/li>\n
  2. Resolvemos la ecuaci\u00f3n f'(x) = 0.<\/li>\n
  3. Estudiamos los signos de f’. Si f'(a) > 0 , la funci\u00f3n es creciente en x = a; y si f'(a) < 0 , la funci\u00f3n es decreciente en x = a.<\/li>\n<\/ol>\n

     <\/td>\n

 <\/td>\n <\/td>\n<\/tr>\n
4.6.2 Estudio de los extremos (m\u00e1ximos y m\u00ednimos)<\/b><\/td>\n\n

Para estudiar los extremos basta con observar la monoton\u00eda.<\/p>\n


\n\"\"<\/a>
\n\"\"<\/a><\/p>\n

 <\/td>\n

Ejercicios 6 y 7 de los apuntes<\/td>\n\n\n\n\n\n\n
\"\"<\/a><\/td>\nEjercicio 6 a, d, f<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n
\"\"<\/a><\/td>\nEjercicio 7<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/td>\n<\/tr>\n
4.6.3 Estudio de la curvatura (c\u00f3ncava y convexa)<\/strong><\/td>\n\n

Para estudiar la monoton\u00eda de una funci\u00f3n seguiremos los siguientes pasos:<\/p>\n

    \n
  1. Derivamos la funci\u00f3n.<\/li>\n
  2. Resolvemos la ecuaci\u00f3n f\u00bb(x) = 0.<\/li>\n
  3. Estudiamos los signos de f\u00bb. Si f\u00bb(a) > 0, la funci\u00f3n es convexa en x = a; y si f\u00bb(a) < 0, la funci\u00f3n es c\u00f3ncava en x = a.<\/li>\n<\/ol>\n

     <\/a><\/td>\n

Ejercicio 8 de los apuntes<\/td>\n\n\n\n\n\n
\"\"<\/a><\/td>\nEjercicio 8<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/td>\n<\/tr>\n
4.7 Observaciones<\/strong><\/p>\n

 <\/td>\n

\n

Recordemos que:<\/p>\n

    \n
  • Si f'(a) > 0 , la funci\u00f3n es creciente en el punto x = a.<\/li>\n
  • Si f'(a) < 0 , la funci\u00f3n es decreciente en el punto x = a.<\/li>\n
  • Si hay un m\u00e1ximo o m\u00ednimo relativo en x = a, entonces f'(a) = 0.<\/li>\n
  • La derivada de una funci\u00f3n en un punto coincide con la pendiente de la ecuaci\u00f3n de la recta tangente a la funci\u00f3n en ese punto, m = f'(a).<\/li>\n
  • Si f’ ‘(a) > 0 , la funci\u00f3n es convexa en x = a.<\/li>\n
  • Si f’ ‘(a) < 0 , la funci\u00f3n es c\u00f3ncava en x = a.<\/li>\n
  • Si hay un punto de inflexi\u00f3n en x=a, entonces f’ ‘(a) = 0.<\/li>\n<\/ul>\n<\/td>\n
Ejercicios 9 y 10 de los apuntes<\/td>\n\n\n\n\n\n\n\n
\"\"<\/a><\/td>\nEjercicio 9<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n
\"\"<\/a><\/td>\nEjercicio 10<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/td>\n<\/tr>\n
RECOPILATORIO DE LA UNIDAD<\/span><\/strong> <\/td>\n<\/tr>\n
 <\/p>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

 <\/p>\n

Esquema-resumen<\/strong>
\n
\n<\/strong>\"\"<\/a><\/strong><\/td>\n

\n

Ejercicios de derivadas :<\/strong><\/p>\n<\/td>\n

Ejercicios 15a,  20 de la relaci\u00f3n de ejercicios<\/td>\n\n\n\n\n\n
\"\"<\/a><\/td>\nEjercicio 20 (relaci\u00f3n)<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/td>\n<\/tr>\n
\n

Ejercicios de recta tangente:<\/strong><\/p>\n<\/td>\n

Ejercicio 2a, 6b, 8c, 11b, 21c de la relaci\u00f3n de ejercicios<\/td>\n\n\n\n\n\n
\"\"<\/a><\/td>\nEjercicio  11b (relaci\u00f3n)<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/td>\n<\/tr>\n
\n

Ejercicios de derivabilidad:<\/strong><\/p>\n<\/td>\n

Ejercicios 4a, 9, 11a, 14a  de la relaci\u00f3n de ejercicios<\/td>\n\n\n\n\n\n\n
\"\"<\/a><\/td>\nEjercicio 4a (relaci\u00f3n)<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n
\"\"<\/a><\/td>\nEjercicio 9 (relaci\u00f3n)<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/td>\n<\/tr>\n
 <\/strong><\/td>\n\n

Ejercicios de monoton\u00eda y extremos:<\/strong><\/p>\n<\/td>\n

Ejercicios 1, 3, 4b, 5, 7, 8ab, 10, 12bc, 15b, 16, 17a, 19ab, 21a de la relaci\u00f3n de ejercicios<\/td>\n\n\n\n\n\n\n\n
\"\"<\/a><\/td>\nEjercicio 1 (relaci\u00f3n)<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n
\"\"<\/a><\/td>\nEjercicio 3 (relaci\u00f3n)<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n
\"\"<\/a><\/td>\nEjercicio 4b (relaci\u00f3n)<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/td>\n<\/tr>\n
 <\/strong><\/td>\n\n

Ejercicios de curvatura:<\/strong><\/p>\n<\/td>\n

Ejercicios 13, 21b de la relaci\u00f3n de ejercicios<\/td>\n\n\n\n\n\n
\"\"<\/a><\/td>\nEjercicio 13b (relaci\u00f3n)<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/td>\n<\/tr>\n
 <\/strong><\/td>\n\n

Ejercicios de par\u00e1metros:<\/strong><\/p>\n<\/td>\n

Ejercicios 2a, 6a  de la relaci\u00f3n de ejercicios<\/td>\n\n\n\n\n\n
\"\"<\/a><\/td>\nEjercicio 22a (relaci\u00f3n)<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/td>\n<\/tr>\n
 <\/strong><\/td>\n\n

Ejercicios con todo mezclado:<\/strong><\/p>\n<\/td>\n

 <\/td>\n\n\n\n\n\n
\"\"<\/a><\/td>\nEjercicio 2 (relaci\u00f3n)<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n
\"\"<\/a><\/td>\nEjercicio 6 (relaci\u00f3n)<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

 <\/p>\n

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