Sistematización de los casos de tangencias resueltos por aplicación de diferentes métodos.

Se han recogido aquí ejercicios resueltos paso a paso donde se pueden consultar los 10 casos generales y algunas de sus variantes, solucionados por diferentes métodos como aplicación de potencia, polaridad o inversión, lugares geométricos, dilatación, etc. Los casos se organizan teniendo en cuenta que su planteamiento baraja tres datos que deben cumplirse. Se utilizan ternas de letras que definen los elementos implicados en cada caso y hay un total de 10, teniendo en cuenta las combinaciones con repetición de 3 elementos tomados de tres en tres. Por ejemplo, el caso denominado PRC indica que hay que buscar las soluciones de circunferencias tangentes a una recta(R), una circunferencia(C) y que pasan por un punto conocido (P). Cada caso puede tener variaciones como en el ejemplo, donde el punto puede estar en la recta dada (Pr), o en la circunferencia (Pc), o que recta y circunferencia sean exteriores, tangentes entre sí o secantes. En otros casos el punto será exterior(Pe), interior (Pi), situado en la recta dada (Pr) o en la circunferencia (Pc). También surgen problemas donde los datos iniciales son dos elementos de pertenencia (P) o tangencia (R o C) y el tercer dato es el radio de la solución (rs). Según estas diferentes configuraciones, se pueden aplicar distintos métodos para resolver.

Los casos generales se convierten así en casos particulares, pero su resolución es independiente de estas particularidades y en ocasiones, se simplifica porque la coincidencia de uno o varios de los datos iniciales facilita la aplicación de los procesos.

Los casos que se enumeran a continuación se dividen en la resolución de:

• BLOQUE 1: Problemas de rectas tangentes a circunferencias (PUNTO 4 DEL LIBRO DE TANGENCIA EN GEOGEBRA).
• BLOQUE 2: Problemas de circunferencias tangentes a rectas o circunferencias, sin que se conozca el radio de las soluciones (PUNTO 8 DEL LIBRO DE TANGENCIAS EN GEOGEBRA).
• BLOQUE 3: Problemas de circunferencias tangentes a rectas o circunferencias, conociendo el radio de las soluciones (PUNTO 5 DEL LIBRO DE TANGENCIAS EN GEOGEBRA).
• BLOQUE 4: Problemas de circunferencias tangentes a varios elementos sistematizados (PUNTO 7 DEL LIBRO DE TANGENCIAS EN GEOGEBRA).
  1. Caso PPP. Circunferencia que pasa por tres puntos no alineados. No es un caso en sí de tangencias, pero se incluye como el caso más simple donde se cumplen las premisas iniciales.
  2. Caso PPR. Circunferencias tangentes a una recta y que pasen por dos puntos. Los puntos deben estar situados en el mismo semiplano de la recta y puede ser que uno de los puntos esté situado en la recta.
  3. Caso PPC. Circunferencias tangentes a una circunferencia y que pasen por dos puntos. Los puntos pueden estar en el exterior, en el interior de la circunferencia y uno de ellos sobre la circunferencia. No hay solución si se encuentra un punto dentro y otro fuera de la circunferencia.
  4. Caso PRR. Circunferencias tangentes a dos rectas y que pasen por un punto. Se simplifica el caso cuando el punto está sobre una de las rectas o las rectas son paralelas. Sin solución cuando el punto coincide en el vértice común de ambas rectas. 
  5. Caso PRC. Circunferencias tangentes a una circunferencia y una recta dadas (exteriores, tangentes o secantes entre sí), que pasen por un punto. Diferentes casos según el punto se halle en la circunferencia o en la recta, simplificando la solución.
  6. Caso PCC. Circunferencias tangentes a dos circunferencias (exteriores, tangentes, secantes o interiores entre sí) que pasen por un punto. Caso simplificado si el punto se halla en una de las circunferencias. Sin solución cuando el punto está en el interior de alguna de las circunferencias.
  7. Caso RRR. Circunferencias tangentes a tres rectas con puntos comunes. Se trata de solucionar la circunferencia inscrita y las exinscritas del triángulo formado por las tres rectas. Se simplifica si un par de las rectas son paralelas.
  8. Caso RRC. Circunferencias tangentes a dos rectas y a una circunferencia (tangente a una o ambas rectas, secante con una o ambas rectas, exterior a ambas rectas). Cuando las rectas son paralelas se simplifica la solución.
  9. Caso RCC. Circunferencias tangentes a otras dos circunferencias (exteriores, tangentes o secantes entre sí) y a una recta (tangente a una o ambas circunferencias, secante a una o ambas circunferencias, exterior a ambas circunferencias).
  10. Caso CCC. Circunferencias tangentes a otras tres (secantes dos de ellas o las tres, tangentes entre sí dos de ellas o las tres o exteriores entre sí). Problema complejo con muchas variantes y con varios métodos para solucionar. Algunas de estas posiciones entre las circunferencias puede simplificar en parte la solución.
• BLOQUE 5: Problemas de enlaces (PUNTO 6 DEL LIBRO DE TANGENCIAS EN GEOGEBRA).

 

POTENCIA

POTENCIA DE UN PUNTO RESPECTO DE UNA CIRCUNFERENCIA.

Demostración TEÓRICA.

EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS:

EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS SECANTES.

EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES.

EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORES.

EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS NO SECANTES EXTERIORES (MÉTODO 1).

EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS NO SECANTES EXTERIORES (MÉTODO 2).

EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS NO SECANTES INTERIORES.

EJE RADICAL DE CIRCUNFERENCIA Y PUNTO EXTERIOR.

EJE RADICAL DE DOS PUNTOS.

EJE RADICAL DE CIRCUNFERENCIA Y RECTA (tres casos).

CIRCUNFERENCIAS COAXIALES:

HAZ DE CIRCUNFERENCIAS COAXIALES EXTERIORES.

HAZ DE CIRCUNFERENCIAS COAXIALES SECANTES.

HAZ DE CIRCUNFERENCIAS COAXIALES TANGENTES.

CENTRO RADICAL DE TRES CIRCUNFERENCIAS.

POLARIDAD

TRAZADO DE LA RECTA POLAR CONOCIDOS EL POLO Y EL CÍRCULO DIRECTOR (MÉTODO 1).

TRAZADO DE LA RECTA POLAR DE UNA CIRCUNFERENCIA O CÍRCULO DIRECTOR (MÉTODO 2).

TRAZADO DE LA RECTA POLAR DE UNA CIRCUNFERENCIA O CÍRCULO DIRECTOR (MÉTODO 3).

TRAZADO DEL POLO DE UNA CIRCUNFERENCIA (CON POLAR SECANTE).

TRAZADO DEL POLO DE UNA CIRCUNFERENCIA (CON POLAR EXTERIOR).

TRAZADO DEL CÍRCULO DIRECTOR DADOS EL POLO, LA POLAR Y UN PUNTO.

INVERSIÓN

INVERSO DE UN PUNTO:

CONOCIDOS EL CENTRO DE INVERSIÓN POSITIVA Y LA C.P.D.

CONOCIDOS EL CENTRO DE INVERSIÓN POSITIVA Y UNA CIRCUNFERENCIA DOBLE (INVERSA DE SÍ MISMA).

CONOCIDOS EL CENTRO DE INVERSIÓN POSITIVA Y UN PAR DE PUNTOS INVERSOS (RESUELTO POR RECTAS ANTIPARALELAS).

CONOCIDOS EL CENTRO DE INVERSIÓN POSITIVA Y UN PAR DE PUNTOS INVERSOS (RESUELTO POR CIRCUNFERENCIA DOBLE O PUNTOS CONCÍCLICOS).

CONOCIDOS EL CENTRO DE INVERSIÓN POSITIVA Y UN PAR DE PUNTOS INVERSOS, TODOS EN LA MISMA LÍNEA CON EL CENTRO.

CONOCIDOS EL CENTRO DE INVERSIÓN NEGATIVA Y UNA CIRCUNFERENCIA DOBLE.

CONOCIDOS EL CENTRO DE INVERSIÓN NEGATIVA Y UN PAR DE PUNTOS INVERSOS (RESUELTO POR RECTAS ANTIPARALELAS).

CONOCIDOS EL CENTRO DE INVERSIÓN NEGATIVA Y UN PAR DE PUNTOS INVERSOS (RESUELTO POR CIRCUNFERENCIA DOBLE O PUNTOS CONCÍCLICOS).

CONOCIDOS EL CENTRO DE INVERSIÓN NEGATIVA Y UN PAR DE PUNTOS INVERSOS, TODOS EN LA MISMA LÍNEA CON EL CENTRO.

FIGURA INVERSA DE UNA RECTA:

QUE NO PASA POR EL CENTRO DE INVERSIÓN POSITIVA (RECTA EXTERIOR A LA C.P.D.).

QUE NO PASA POR EL CENTRO DE INVERSIÓN POSITIVA (RECTA SECANTE A LA C.P.D.).

QUE NO PASA POR EL CENTRO DE INVERSIÓN POSITIVA (RECTA TANGENTE A LA C.P.D.).

QUE NO PASA POR EL CENTRO DE INVERSIÓN NEGATIVA (NO EXISTE LA C.P.D.).

FIGURA INVERSA DE UNA CIRCUNFERENCIA:

QUE PASA POR EL CENTRO DE INVERSIÓN POSITIVA.

QUE PASA POR EL CENTRO DE INVERSIÓN NEGATIVA.

QUE NO PASA POR EL CENTRO DE INVERSIÓN POSITIVA.

QUE NO PASA POR EL CENTRO DE INVERSIÓN NEGATIVA.