Sistematización de los casos de tangencias resueltos por aplicación de diferentes métodos.

Se han recogido aquí ejercicios resueltos paso a paso donde se pueden consultar los 10 casos generales y algunas de sus variantes, solucionados por diferentes métodos como aplicación de potencia, polaridad o inversión, lugares geométricos, dilatación, etc. Los casos se organizan teniendo en cuenta que su planteamiento baraja tres datos que deben cumplirse. Se utilizan ternas de letras que definen los elementos implicados en cada caso y hay un total de 10, teniendo en cuenta las combinaciones con repetición de 3 elementos tomados de tres en tres. Por ejemplo, el caso denominado PRC indica que hay que buscar las soluciones de circunferencias tangentes a una recta(R), una circunferencia(C) y que pasan por un punto conocido (P). Cada caso puede tener variaciones como en el ejemplo, donde el punto puede estar en la recta dada (Pr), o en la circunferencia (Pc), o que recta y circunferencia sean exteriores, tangentes entre sí o secantes. En otros casos el punto será exterior(Pe), interior (Pi), situado en la recta dada (Pr) o en la circunferencia (Pc). También surgen problemas donde los datos iniciales son dos elementos de pertenencia (P) o tangencia (R o C) y el tercer dato es el radio de la solución (rs). Según estas diferentes configuraciones, se pueden aplicar distintos métodos para resolver.

Los casos generales se convierten así en casos particulares, pero su resolución es independiente de estas particularidades y en ocasiones, se simplifica porque la coincidencia de uno o varios de los datos iniciales facilita la aplicación de los procesos.

Los casos que se enumeran a continuación se dividen en la resolución de:

• BLOQUE 1: Problemas de rectas tangentes a circunferencias (PUNTO 4 DEL LIBRO DE TANGENCIA EN GEOGEBRA).
• BLOQUE 2: Problemas de circunferencias tangentes a rectas o circunferencias, sin que se conozca el radio de las soluciones (PUNTO 8 DEL LIBRO DE TANGENCIAS EN GEOGEBRA).
• BLOQUE 3: Problemas de circunferencias tangentes a rectas o circunferencias, conociendo el radio de las soluciones (PUNTO 5 DEL LIBRO DE TANGENCIAS EN GEOGEBRA).
• BLOQUE 4: Problemas de circunferencias tangentes a varios elementos sistematizados (PUNTO 7 DEL LIBRO DE TANGENCIAS EN GEOGEBRA).
  1. Caso PPP. Circunferencia que pasa por tres puntos no alineados. No es un caso en sí de tangencias, pero se incluye como el caso más simple donde se cumplen las premisas iniciales.
  2. Caso PPR. Circunferencias tangentes a una recta y que pasen por dos puntos. Los puntos deben estar situados en el mismo semiplano de la recta y puede ser que uno de los puntos esté situado en la recta.
  3. Caso PPC. Circunferencias tangentes a una circunferencia y que pasen por dos puntos. Los puntos pueden estar en el exterior, en el interior de la circunferencia y uno de ellos sobre la circunferencia. No hay solución si se encuentra un punto dentro y otro fuera de la circunferencia.
  4. Caso PRR. Circunferencias tangentes a dos rectas y que pasen por un punto. Se simplifica el caso cuando el punto está sobre una de las rectas o las rectas son paralelas. Sin solución cuando el punto coincide en el vértice común de ambas rectas. 
  5. Caso PRC. Circunferencias tangentes a una circunferencia y una recta dadas (exteriores, tangentes o secantes entre sí), que pasen por un punto. Diferentes casos según el punto se halle en la circunferencia o en la recta, simplificando la solución.
  6. Caso PCC. Circunferencias tangentes a dos circunferencias (exteriores, tangentes, secantes o interiores entre sí) que pasen por un punto. Caso simplificado si el punto se halla en una de las circunferencias. Sin solución cuando el punto está en el interior de alguna de las circunferencias.
  7. Caso RRR. Circunferencias tangentes a tres rectas con puntos comunes. Se trata de solucionar la circunferencia inscrita y las exinscritas del triángulo formado por las tres rectas. Se simplifica si un par de las rectas son paralelas.
  8. Caso RRC. Circunferencias tangentes a dos rectas y a una circunferencia (tangente a una o ambas rectas, secante con una o ambas rectas, exterior a ambas rectas). Cuando las rectas son paralelas se simplifica la solución.
  9. Caso RCC. Circunferencias tangentes a otras dos circunferencias (exteriores, tangentes o secantes entre sí) y a una recta (tangente a una o ambas circunferencias, secante a una o ambas circunferencias, exterior a ambas circunferencias).
  10. Caso CCC. Circunferencias tangentes a otras tres (secantes dos de ellas o las tres, tangentes entre sí dos de ellas o las tres o exteriores entre sí). Problema complejo con muchas variantes y con varios métodos para solucionar. Algunas de estas posiciones entre las circunferencias puede simplificar en parte la solución.
• BLOQUE 5: Problemas de enlaces (PUNTO 6 DEL LIBRO DE TANGENCIAS EN GEOGEBRA).

ACCESO AL LIBRO DE TANGENCIAS (GEOGEBRA ONLINE)

EN ESTE ENLACE ESTÁN TODOS LOS CASOS ENLAZADOS DEBAJO DE ESTAS LÍNEAS ORGANIZADOS COMO UN LIBRO. (Quedan por actualizar algunos casos…en desarrollo). La numeración utilizada en el libro de Geogebra no se corresponde con la utilizada en esta página porque se ha editado siguiendo criterios diferentes. Así en los casos del punto 1, aparecerá el 1.2 como 4.2, por el orden establecido en el libro.

En el libro aparecen algunos capítulos que aquí no se reflejan. Enlaces, Potencia, Inversión y  Polaridad. Se aconseja consultarlos en el libro online.

ACCESO A LOS CASOS DE LOS PUNTOS 1, 2 y 3.

Para acceder a los casos deben descargarse desde los enlaces habilitados en cada título principal (del 1 al 3).  Aparecerán en Dropbox y permiten ser descargados. Una vez en el disco duro del PC, se pueden abrir con Geogebra (si lo habéis instalado previamente) o utilizar este otro enlace a Geogebra online para abrirlos buscando la carpeta donde hayan sido descargados. También se pueden abrir directamente en Geogebra online desde el navegador.

1. Rectas tangentes a circunferencias.

1.1. Recta tangente a un arco en un punto de éste.

1.2. Recta tangente a circunferencia en punto de la circunferencia.

1.3. Rectas tangentes a una circunferencia paralelas a una recta dada.

1.4. Rectas tangentes a una circunferencia que pasan por un punto exterior. Método 1: arco capaz de 90º.

1.5. Rectas tangentes a una circunferencia que pasan por un punto exterior. Método 2: circunferencia de radio igual a la distancia entre punto exterior y centro.

1.6. Rectas tangentes a una circunferencia que pasan por un punto exterior. Método 3: dos circunferencias, radio doble del radio de la dada y radio la distancia entre punto exterior y centro.

1.7. Rectas tangentes exteriores a dos circunferencias de distinto radio. Método 1: dilatación.

1.8. Rectas tangentes exteriores a dos circunferencias de distinto radio. Método 2: homotecia.

1.9. Rectas tangentes interiores a dos circunferencias de distinto radio. Método 1: dilatación.

1.10. Rectas tangentes interiores a dos circunferencias de distinto radio. Método 2: homotecia.

2. Circunferencias tangentes a otros elementos (pasando por puntos, tangentes a rectas o a circunferencias), cuando no se conoce el radio de las soluciones.

2.1. Circunferencia tangente a recta, que pasa por un punto exterior. (Caso particular del PPR con un punto sobre la recta y otro exterior).

2.2. Circunferencia tangente a circunferencia dada, que pasa por un punto exterior. (Caso particular del PPC, con un punto sobre la circunferencia y otro exterior).

2.3. Circunferencias tangentes a dos rectas en un punto de una de ellas. (Caso particular del PRR con el punto en una de las rectas).

2.4. Circunferencias tangentes a una recta y una circunferencia, que pasan por un punto de la recta (Caso particular del PRC, con el punto sobre la recta).

2.5. Circunferencias tangentes a una recta y una circunferencia, que pasan por un punto de la circunferencia (Caso particular del PRC, con el punto sobre la circunferencia).

2.6. Circunferencias tangentes a dos circunferencias, que pasan por un punto de una de ellas. (Caso particular del PCC con el punto en una de las circunferencias).

 

3. Circunferencias tangentes a otros elementos (pasando por puntos, tangentes a rectas o a circunferencias), cuando se conoce el radio de las soluciones.

3.1. Circunferencias de radio conocido que pasan por dos puntos.

3.2. Circunferencias de radio conocido que pasan por un punto exterior y son tangentes a una recta dada.

3.3. Circunferencias de radio conocido que pasan por un punto exterior y son tangentes a una circunferencia dada.

3.4. Circunferencias de radio conocido que pasan por un punto y son tangentes en ese punto a una circunferencia dada.

3.5. Circunferencias de radio conocido que pasan por un punto y son tangentes en ese punto a una recta dada.

3.6. Circunferencias de radio conocido tangentes a dos circunferencias exteriores entre si.

3.7. Circunferencias de radio conocido tangentes a dos circunferencias secantes entre si.

3.8. Circunferencias de radio conocido tangentes a dos circunferencias tangentes entre si.

3.9. Circunferencias de radio conocido tangentes a dos rectas que se cortan.

3.10. Circunferencias de radio conocido tangentes a una circunferencia y una recta exteriores entre si.

3.11. Circunferencias de radio conocido tangentes a una circunferencia y una recta secantes entre si.

3.12. Circunferencias de radio conocido tangentes a una circunferencia y una recta tangentes entre si.

 

4. Casos generales, dados tres elementos iniciales.

4.1. CASO 01 PPP. Circunferencia que pasa por tres puntos no alineados.

01_ PPP. Circunferencia que pasa por tres puntos no alineados.

4.2. CASO 02 PPR. Circunferencias tangentes a una recta que pasan por dos puntos.

02_PePeR_1. Circunferencias tangentes a una recta que pasan por dos puntos exteriores (resuelto por potencia).

02_PePeR_2. Circunferencias tangentes a una recta que pasan por dos puntos exteriores (resuelto por inversión).

4.3. CASO 03 PPC. Circunferencias tangentes a una circunferencia y que pasan por dos puntos (exteriores o interiores).

03_PePeC_1. Circunferencias tangentes a una circunferencia que pasan por dos puntos exteriores  (resuelto por potencia). 

03_PePeC_1. Circunferencias tangentes a una circunferencia que pasan por dos puntos exteriores (resuelto por inversión).

03_PiPiC_2. Circunferencias tangentes a una circunferencia que pasan por dos puntos interiores (resuelto por potencia).

03_PiPiC_2. Circunferencias tangentes a una circunferencia que pasan por dos puntos interiores (resuelto por inversión).

4.4. CASO 04 PRR. Circunferencias tangentes a dos rectas que pasan por un punto exterior.

04_PeRR_1. Circunferencias tangentes a dos rectas que pasan por un punto exterior  (resuelto por potencia).

04_PeRR_2. Circunferencias tangentes a dos rectas que pasan por un punto exterior (resuelto por inversión).

4.5. CASO 05 PRC. Circunferencias tangentes a una recta y una circunferencia que pasan por un punto exterior.

05_PeRC_1. Circunferencias tangentes a una recta y una circunferencia que pasan por un punto exterior (resuelto por método mixto de potencia e inversión con dos soluciones tangentes exteriores a la circunferencia dada).

05_PeRC_2. Circunferencias tangentes a una recta y una circunferencia que pasan por un punto exterior (resuelto por inversión con K>0 y dos soluciones tangentes exteriores a la circunferencia dada).

05_PeRC_3. Circunferencias tangentes a una recta y una circunferencia que pasan por un punto exterior (resuelto por método mixto de potencia e inversión con dos soluciones, siendo la circunferencia dada tangente interior a ambas).

05_PeRC_4. Circunferencias tangentes a una recta y una circunferencia que pasan por un punto exterior (resuelto por inversión con K<0 y dos soluciones con la circunferencia dada tangente interior).

4.6. CASO 06 PCC. Circunferencias tangentes a dos circunferencias que pasan por un punto exterior.

06_PeCC_1. Circunferencias tangentes a dos circunferencias que pasan por un punto exterior (resuelto por inversión y potencia, con dos soluciones, tangentes exteriores a una de las circunferencias e interiores a la otra).

06_PeCC_2. Circunferencias tangentes a dos circunferencias que pasan por un punto exterior (resuelto por inversión y potencia; dos soluciones, con cada solución tangente interior a una de las circunferencias dadas y tangente exterior a la otra.

06_PeCC_3. Circunferencias tangentes a dos circunferencias que pasan por un punto exterior (resuelto por inversión y dilatación, con dos soluciones, tangentes exteriores a una de las circunferencias e interiores a la otra.

06_PeCC_4. Circunferencias tangentes a dos circunferencias que pasan por un punto exterior (resuelto por inversión y dilatación, dos soluciones, con cada solución tangente interior a una de las circunferencias dadas y tangente exterior a la otra.

4.7. CASO 07 RRR. Circunferencias tangentes a tres rectas que se cortan dos a dos.

07_RRR. Circunferencias tangentes a tres rectas que se cortan dos a dos (resuelto por aplicación de lugar geométrico).

4.8. CASO 08 RRC. Circunferencias tangentes a dos rectas y una circunferencia.

08_RRC_1. Circunferencias tangentes a dos rectas y una circunferencia situada entre ambas (resuelto por potencia,  dos soluciones tangentes exteriores).

08_RRC_1. Circunferencias tangentes a dos rectas y una circunferencia situada entre ambas (resuelto por inversión,  dos soluciones tangentes exteriores a la circunferencia dada).

08_RRC_2. Circunferencias tangentes a dos rectas y una circunferencia situada entre ambas (resuelto por potencia,  dos soluciones tangentes dejando a la circunferencia dada como tangente interior).

08_RRC_2. Circunferencias tangentes a dos rectas y una circunferencia situada entre ambas (resuelto por inversión,  dos soluciones tangentes dejando a la circunferencia dada como tangente interior).

4.9 CASO 09 RCC. Circunferencias tangentes a una recta y dos circunferencias.

09_RCC_1. Circunferencias tangentes a una recta y dos circunferencias (resuelto por dilatación, inversión y potencia, dos soluciones tangentes dejando a una de las circunferencias dadas como tangente interior y a la otra como exterior).

09_RCC_1. Circunferencias tangentes a una recta y dos circunferencias (resuelto por inversión, dos soluciones tangentes dejando a una de las circunferencias dadas como tangente interior y a la otra como exterior).

4.10 CASO 10 CCC. Circunferencias tangentes a tres circunferencias de distinto radio.

10_CCC. Circunferencias tangentes a tres circunferencias exteriores entre si (resuelto por método de Gergonne basado en el teorema de Apolonio). Caso que soluciona dos de las ocho soluciones posibles utilizando los tres centros de homotecia directa combinando por parejas las tres circunferencias.

 

5. ENLACES.

Aparecen con la numeración del libro de Geogebra (6.1, 6.2, etc.).

6.1. Unir dos rectas paralelas mediante un arco de circunferencia.

6.2. Unir dos rectas paralelas mediante dos arcos de distinto radio e igual sentido, dados los puntos de enlace.

6.3. Unir dos rectas paralelas mediante dos arcos de igual radio y sentido opuesto, dados los puntos de enlace.

6.4. Unir dos rectas secantes mediante un arco de radio conocido.

6.5. Unir dos rectas secantes mediante dos arcos de distinto radio e igual sentido, dados los puntos de enlace.

6.6. Unir dos rectas secantes mediante dos arcos de sentido opuesto, dados los puntos de enlace y uno de los radios.

6.7. Unir un arco y una recta mediante un arco de radio conocido y sentido contrario.