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Sistematizaci\u00f3n de los casos de tangencias resueltos por aplicaci\u00f3n de diferentes m\u00e9todos.<\/h1>\nSistematizaci\u00f3n de los casos de tangencias resueltos por aplicaci\u00f3n de diferentes m\u00e9todos.<\/h1>\nSe han recogido aqu\u00ed ejercicios resueltos paso a paso donde se pueden consultar los 10 casos generales y algunas de sus variantes, solucionados por diferentes m\u00e9todos como aplicaci\u00f3n de potencia, polaridad o inversi\u00f3n, lugares geom\u00e9tricos, dilataci\u00f3n, etc. Los casos se organizan teniendo en cuenta que su planteamiento baraja tres datos que deben cumplirse. Se utilizan ternas de letras que definen los elementos implicados en cada caso y hay un total de 10, teniendo en cuenta las combinaciones con repetici\u00f3n de 3 elementos tomados de tres en tres. Por ejemplo, el caso denominado PRC indica que hay que buscar las soluciones de circunferencias tangentes a una recta(R), una circunferencia(C) y que pasan por un punto conocido (P). Cada caso puede tener variaciones como en el ejemplo, donde el punto puede estar en la recta dada (Pr), o en la circunferencia (Pc), o que recta y circunferencia sean exteriores, tangentes entre s\u00ed o secantes. En otros casos el punto ser\u00e1 exterior(Pe), interior (Pi), situado en la recta dada (Pr) o en la circunferencia (Pc). Tambi\u00e9n surgen problemas donde los datos iniciales son dos elementos de pertenencia (P) o tangencia (R o C) y el tercer dato es el radio de la soluci\u00f3n (rs). Seg\u00fan estas diferentes configuraciones, se pueden aplicar distintos m\u00e9todos para resolver.<\/p>\n
Los casos generales se convierten as\u00ed en casos particulares, pero su resoluci\u00f3n es independiente de estas particularidades y en ocasiones, se simplifica porque la coincidencia de uno o varios de los datos iniciales facilita la aplicaci\u00f3n de los procesos.<\/p>\n
Los casos que se enumeran a continuaci\u00f3n se dividen en la resoluci\u00f3n de:<\/p>\n
POTENCIA DE UN PUNTO RESPECTO DE UNA CIRCUNFERENCIA.<\/p>\n
Demostraci\u00f3n TE\u00d3RICA.<\/a><\/p>\n EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS:<\/p>\n EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS SECANTES.<\/a><\/p>\n EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES.<\/a><\/p>\n EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORES.<\/a><\/p>\n EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS NO SECANTES EXTERIORES (M\u00c9TODO 1).<\/a><\/p>\n EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS NO SECANTES EXTERIORES (M\u00c9TODO 2).<\/a><\/p>\n EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS NO SECANTES INTERIORES.<\/a><\/p>\n EJE RADICAL DE CIRCUNFERENCIA Y PUNTO EXTERIOR.<\/a><\/p>\n EJE RADICAL DE DOS PUNTOS.<\/a><\/p>\n EJE RADICAL DE CIRCUNFERENCIA Y RECTA (tres casos).<\/a><\/p>\n CIRCUNFERENCIAS COAXIALES:<\/p>\n HAZ DE CIRCUNFERENCIAS COAXIALES EXTERIORES.<\/a><\/p>\n HAZ DE CIRCUNFERENCIAS COAXIALES SECANTES.<\/a><\/p>\n HAZ DE CIRCUNFERENCIAS COAXIALES TANGENTES.<\/a><\/p>\n CENTRO RADICAL DE TRES CIRCUNFERENCIAS.<\/a><\/p>\n TRAZADO DE LA RECTA POLAR CONOCIDOS EL POLO Y EL C\u00cdRCULO DIRECTOR (M\u00c9TODO 1).<\/a><\/p>\n TRAZADO DE LA RECTA POLAR DE UNA CIRCUNFERENCIA O C\u00cdRCULO DIRECTOR (M\u00c9TODO 2).<\/a><\/p>\n TRAZADO DE LA RECTA POLAR DE UNA CIRCUNFERENCIA O C\u00cdRCULO DIRECTOR (M\u00c9TODO 3).<\/a><\/p>\n TRAZADO DEL POLO DE UNA CIRCUNFERENCIA (CON POLAR SECANTE).<\/a><\/p>\n TRAZADO DEL POLO DE UNA CIRCUNFERENCIA (CON POLAR EXTERIOR).<\/a><\/p>\n TRAZADO DEL C\u00cdRCULO DIRECTOR DADOS EL POLO, LA POLAR Y UN PUNTO.<\/a><\/p>\n INVERSO DE UN PUNTO:<\/p>\n CONOCIDOS EL CENTRO DE INVERSI\u00d3N POSITIVA Y LA C.P.D.<\/a><\/p>\n CONOCIDOS EL CENTRO DE INVERSI\u00d3N POSITIVA Y UNA CIRCUNFERENCIA DOBLE (INVERSA DE S\u00cd MISMA).<\/a><\/p>\n CONOCIDOS EL CENTRO DE INVERSI\u00d3N POSITIVA Y UN PAR DE PUNTOS INVERSOS (RESUELTO POR RECTAS ANTIPARALELAS).<\/a><\/p>\n CONOCIDOS EL CENTRO DE INVERSI\u00d3N POSITIVA Y UN PAR DE PUNTOS INVERSOS (RESUELTO POR CIRCUNFERENCIA DOBLE O PUNTOS CONC\u00cdCLICOS).<\/a><\/p>\n CONOCIDOS EL CENTRO DE INVERSI\u00d3N POSITIVA Y UN PAR DE PUNTOS INVERSOS, TODOS EN LA MISMA L\u00cdNEA CON EL CENTRO.<\/a><\/p>\n CONOCIDOS EL CENTRO DE INVERSI\u00d3N NEGATIVA Y UNA CIRCUNFERENCIA DOBLE.<\/a><\/p>\n CONOCIDOS EL CENTRO DE INVERSI\u00d3N NEGATIVA Y UN PAR DE PUNTOS INVERSOS (RESUELTO POR RECTAS ANTIPARALELAS).<\/a><\/p>\n CONOCIDOS EL CENTRO DE INVERSI\u00d3N NEGATIVA Y UN PAR DE PUNTOS INVERSOS (RESUELTO POR CIRCUNFERENCIA DOBLE O PUNTOS CONC\u00cdCLICOS).<\/a><\/p>\n CONOCIDOS EL CENTRO DE INVERSI\u00d3N NEGATIVA Y UN PAR DE PUNTOS INVERSOS, TODOS EN LA MISMA L\u00cdNEA CON EL CENTRO.<\/a><\/p>\n FIGURA INVERSA DE UNA RECTA:<\/p>\n QUE NO PASA POR EL CENTRO DE INVERSI\u00d3N POSITIVA (RECTA EXTERIOR A LA C.P.D.).<\/a><\/p>\n QUE NO PASA POR EL CENTRO DE INVERSI\u00d3N POSITIVA (RECTA SECANTE A LA C.P.D.).<\/a><\/p>\n QUE NO PASA POR EL CENTRO DE INVERSI\u00d3N POSITIVA (RECTA TANGENTE A LA C.P.D.).<\/a><\/p>\n QUE NO PASA POR EL CENTRO DE INVERSI\u00d3N NEGATIVA (NO EXISTE LA C.P.D.).<\/a><\/p>\n FIGURA INVERSA DE UNA CIRCUNFERENCIA:<\/p>\n QUE PASA POR EL CENTRO DE INVERSI\u00d3N POSITIVA.<\/a><\/p>\n QUE PASA POR EL CENTRO DE INVERSI\u00d3N NEGATIVA.<\/a><\/p>\n QUE NO PASA POR EL CENTRO DE INVERSI\u00d3N POSITIVA.<\/a><\/p>\n QUE NO PASA POR EL CENTRO DE INVERSI\u00d3N NEGATIVA.<\/a><\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n 1.1. Recta tangente a un arco en un punto de \u00e9ste.<\/a><\/p>\n 1.2. Recta tangente a circunferencia en punto de la circunferencia.<\/a><\/p>\n 1.3. Rectas tangentes a una circunferencia paralelas a una recta dada.<\/a><\/p>\n 1.4. Rectas tangentes a una circunferencia que pasan por un punto exterior. M\u00e9todo 1: arco capaz de 90\u00ba.<\/a><\/p>\n 1.5. Rectas tangentes a una circunferencia que pasan por un punto exterior. M\u00e9todo 2: circunferencia de radio igual a la distancia entre punto exterior y centro.<\/p>\n 1.6. Rectas tangentes a una circunferencia que pasan por un punto exterior. M\u00e9todo 3: dos circunferencias, radio doble del radio de la dada y radio la distancia entre punto exterior y centro.<\/p>\n 1.7. Rectas tangentes exteriores a dos circunferencias de distinto radio. M\u00e9todo 1: dilataci\u00f3n.<\/a><\/p>\n 1.8. Rectas tangentes exteriores a dos circunferencias de distinto radio. M\u00e9todo 2: homotecia.<\/a><\/p>\n 1.9. Rectas tangentes interiores a dos circunferencias de distinto radio. M\u00e9todo 1: dilataci\u00f3n.<\/a><\/p>\n 1.10. Rectas tangentes interiores a dos circunferencias de distinto radio. M\u00e9todo 2: homotecia.<\/a><\/p>\n 2.1. Circunferencia tangente a recta, que pasa por un punto exterior. (Caso particular del PPR con un punto sobre la recta y otro exterior).<\/a><\/p>\n 2.2. Circunferencia tangente a circunferencia dada, que pasa por un punto exterior. (Caso particular del PPC, con un punto sobre la circunferencia y otro exterior).<\/a><\/p>\n 2.3. Circunferencias tangentes a dos rectas en un punto de una de ellas. (Caso particular del PRR con el punto en una de las rectas).<\/a><\/p>\n 2.4. Circunferencias tangentes a una recta y una circunferencia, que pasan por un punto de la recta (Caso particular del PRC, con el punto sobre la recta).<\/a><\/p>\n 2.5. Circunferencias tangentes a una recta y una circunferencia, que pasan por un punto de la circunferencia (Caso particular del PRC, con el punto sobre la circunferencia).<\/a><\/p>\n 2.6. Circunferencias tangentes a dos circunferencias, que pasan por un punto de una de ellas. (Caso particular del PCC con el punto en una de las circunferencias).<\/a><\/p>\n 3.1. Circunferencias de radio conocido que pasan por dos puntos.<\/a><\/p>\n 3.2. Circunferencias de radio conocido que pasan por un punto exterior y son tangentes a una recta dada.<\/a><\/p>\n 3.3. Circunferencias de radio conocido que pasan por un punto exterior y son tangentes a una circunferencia dada.<\/a><\/p>\n 3.4. Circunferencias de radio conocido que pasan por un punto y son tangentes en ese punto a una circunferencia dada.<\/a><\/p>\n 3.5. Circunferencias de radio conocido que pasan por un punto y son tangentes en ese punto a una recta dada.<\/a><\/p>\n 3.6. Circunferencias de radio conocido tangentes a dos circunferencias exteriores entre si.<\/a><\/p>\n 3.7. Circunferencias de radio conocido tangentes a dos circunferencias secantes entre si.<\/a><\/p>\n 3.8. Circunferencias de radio conocido tangentes a dos circunferencias tangentes entre si.<\/a><\/p>\n 3.9. Circunferencias de radio conocido tangentes a dos rectas que se cortan.<\/a><\/p>\n 3.10. Circunferencias de radio conocido tangentes a una circunferencia y una recta exteriores entre si.<\/a><\/p>\n 3.11. Circunferencias de radio conocido tangentes a una circunferencia y una recta secantes entre si.<\/a><\/p>\n 3.12. Circunferencias de radio conocido tangentes a una circunferencia y una recta tangentes entre si.<\/a><\/p>\n <\/p>\n 01_ PPP. Circunferencia que pasa por tres puntos no alineados.<\/a><\/p>\n 02_PePeR_1. Circunferencias tangentes a una recta que pasan por dos puntos exteriores (resuelto por potencia).<\/a><\/p>\n 02_PePeR_2. Circunferencias tangentes a una recta que pasan por dos puntos exteriores (resuelto por inversi\u00f3n).<\/a><\/p>\n 03_PePeC_1. Circunferencias tangentes a una circunferencia que pasan por dos puntos exteriores (resuelto por potencia).<\/a> <\/p>\n 03_PePeC_1. Circunferencias tangentes a una circunferencia que pasan por dos puntos exteriores (resuelto por inversi\u00f3n).<\/a><\/p>\n 03_PiPiC_2. Circunferencias tangentes a una circunferencia que pasan por dos puntos interiores (resuelto por potencia).<\/a><\/p>\n 03_PiPiC_2. Circunferencias tangentes a una circunferencia que pasan por dos puntos interiores (resuelto por inversi\u00f3n).<\/p>\n 04_PeRR_1. Circunferencias tangentes a dos rectas que pasan por un punto exterior (resuelto por potencia).<\/a><\/p>\n 04_PeRR_2. Circunferencias tangentes a dos rectas que pasan por un punto exterior (resuelto por inversi\u00f3n).<\/a><\/p>\n 05_PeRC_1. Circunferencias tangentes a una recta y una circunferencia que pasan por un punto exterior (resuelto por m\u00e9todo mixto de potencia e inversi\u00f3n con dos soluciones tangentes exteriores a la circunferencia dada).<\/a><\/p>\n 05_PeRC_2. Circunferencias tangentes a una recta y una circunferencia que pasan por un punto exterior (resuelto por inversi\u00f3n con K>0 y dos soluciones tangentes exteriores a la circunferencia dada).<\/a><\/p>\n 05_PeRC_3. Circunferencias tangentes a una recta y una circunferencia que pasan por un punto exterior (resuelto por m\u00e9todo mixto de potencia e inversi\u00f3n con dos soluciones, siendo la circunferencia dada tangente interior a ambas).<\/p>\n 05_PeRC_4. Circunferencias tangentes a una recta y una circunferencia que pasan por un punto exterior (resuelto por inversi\u00f3n con K<0 y dos soluciones con la circunferencia dada tangente interior).<\/p>\n 06_PeCC_1. Circunferencias tangentes a dos circunferencias que pasan por un punto exterior (resuelto por inversi\u00f3n y potencia, con dos soluciones, una tangente exterior y otra tangente interior a las circunferencias dadas).<\/a><\/p>\n 06_PeCC_2. Circunferencias tangentes a dos circunferencias que pasan por un punto exterior (resuelto por inversi\u00f3n, con dos soluciones, una tangente exterior y otra tangente interior a las circunferencias dadas).<\/a><\/p>\n 06_PeCC_3. Circunferencias tangentes a dos circunferencias que pasan por un punto exterior (resuelto por inversi\u00f3n y dilataci\u00f3n, con dos soluciones, tangentes exteriores a una de las circunferencias e interiores a la otra.<\/p>\n 06_PeCC_4. Circunferencias tangentes a dos circunferencias que pasan por un punto exterior (resuelto por inversi\u00f3n y dilataci\u00f3n, dos soluciones, con cada soluci\u00f3n tangente interior a una de las circunferencias dadas y tangente exterior a la otra.<\/p>\n 07_RRR. Circunferencias tangentes a tres rectas que se cortan dos a dos (resuelto por aplicaci\u00f3n de lugar geom\u00e9trico).<\/a><\/p>\n 08_RRC_1. Circunferencias tangentes a dos rectas y una circunferencia situada entre ambas (resuelto por potencia, dos soluciones tangentes exteriores).<\/a><\/p>\n 08_RRC_1. Circunferencias tangentes a dos rectas y una circunferencia situada entre ambas (resuelto por inversi\u00f3n, dos soluciones tangentes exteriores a la circunferencia dada).<\/a><\/p>\n 08_RRC_2. Circunferencias tangentes a dos rectas y una circunferencia situada entre ambas (resuelto por potencia, dos soluciones tangentes dejando a la circunferencia dada como tangente interior).<\/a><\/p>\n 08_RRC_2. Circunferencias tangentes a dos rectas y una circunferencia situada entre ambas (resuelto por inversi\u00f3n, dos soluciones tangentes dejando a la circunferencia dada como tangente interior).<\/p>\n 09_RCC_1. Circunferencias tangentes a una recta y dos circunferencias (resuelto por dilataci\u00f3n, inversi\u00f3n y potencia, dos soluciones tangentes dejando a una de las circunferencias dadas como tangente interior y a la otra como exterior).<\/a><\/p>\n 09_RCC_1. Circunferencias tangentes a una recta y dos circunferencias (resuelto por inversi\u00f3n, dos soluciones tangentes dejando a una de las circunferencias dadas como tangente interior y a la otra como exterior).<\/a><\/p>\n 10_CCC. Circunferencias tangentes a tres circunferencias exteriores entre si (resuelto por m\u00e9todo de Gergonne basado en el teorema de Apolonio). Caso que soluciona dos de las ocho soluciones posibles utilizando los tres centros de homotecia directa combinando por parejas las tres circunferencias.<\/a><\/p>\n 10_CCC. Circunferencias tangentes a tres circunferencias exteriores entre si (resuelto por inversi\u00f3n). Caso que soluciona dos de las ocho soluciones posibles utilizando dilataci\u00f3n para resolver una de las circunferencias a su centro y el caso a PCC se aplica inversi\u00f3n (centro en P, circunferencia doble y puntos de tangencia entre la tercera y su inversa.<\/a><\/p>\n <\/p>\n 5.1. Unir dos rectas paralelas mediante un arco de circunferencia.<\/span><\/a><\/p>\n 5.2. Unir dos rectas paralelas mediante dos arcos de distinto radio e igual sentido, dados los puntos de enlace.<\/a><\/span><\/p>\n 5.3. Unir dos rectas paralelas mediante dos arcos de igual radio y sentido opuesto, dados los puntos de enlace.<\/a><\/span><\/p>\n 5.4. Unir dos rectas secantes mediante un arco de radio conocido.<\/a><\/span><\/p>\n 5.5. Unir dos rectas secantes mediante dos arcos de distinto radio e igual sentido, dados los puntos de enlace.<\/a><\/span><\/p>\n 5.6. Unir dos rectas secantes mediante dos arcos de sentido opuesto, dados los puntos de enlace y uno de los radios.<\/a><\/span><\/p>\nPOLARIDAD<\/h2>\n
INVERSI\u00d3N<\/h2>\n
1. Rectas tangentes a circunferencias.<\/h1>\n
2. Circunferencias tangentes a otros elementos (pasando por puntos, tangentes a rectas o a circunferencias), cuando no se conoce el radio de las soluciones.<\/h1>\n
3. Circunferencias tangentes a otros elementos (pasando por puntos, tangentes a rectas o a circunferencias), cuando se conoce el radio de las soluciones.<\/h1>\n
4. Casos generales, dados tres elementos iniciales.<\/h1>\n
4.1. CASO 01 PPP. Circunferencia que pasa por tres puntos no alineados.<\/h3>\n
4.2. CASO 02 PPR. Circunferencias tangentes a una recta que pasan por dos puntos.<\/h3>\n
4.3. CASO 03 PPC. Circunferencias tangentes a una circunferencia y que pasan por dos puntos (exteriores o interiores).<\/h3>\n
4.4. CASO 04 PRR. Circunferencias tangentes a dos rectas que pasan por un punto exterior.<\/h3>\n
4.5. CASO 05 PRC. Circunferencias tangentes a una recta y una circunferencia que pasan por un punto exterior.<\/h3>\n
4.6. CASO 06 PCC. Circunferencias tangentes a dos circunferencias que pasan por un punto exterior.<\/h3>\n
4.7. CASO 07 RRR. Circunferencias tangentes a tres rectas que se cortan dos a dos.<\/h3>\n
4.8. CASO 08 RRC. Circunferencias tangentes a dos rectas y una circunferencia.<\/h3>\n
4.9 CASO 09 RCC. Circunferencias tangentes a una recta y dos circunferencias.<\/h3>\n
4.10 CASO 10 CCC. Circunferencias tangentes a tres circunferencias de distinto radio.<\/h3>\n
5. ENLACES.<\/h1>\n