Diagonales y palillos

En contextos geométricos y otras situaciones de la vida cotidiana, a veces aparecen leyes o propiedades que, por su regularidad, pueden expresarse mediante una sucesión numérica.

a) Considera en primer lugar un polígono regular. ¿Cuántas diagonales tiene? Un cuadrado tiene dos. Calcula cuántas tendrá un polígono regular de n lados. Ten en cuenta lo siguiente:

1. Cada vértice está unido mediante diagonales con todos los vértices menos tres: el propio vértice y los dos contiguos.

2. Cada diagonal une dos vértices. Por ello, al contarlas, repetimos cada una dos veces.

b) Supongamos que ahora queremos formar cuadrículas con palillos y queremos saber cuántos palillos necesitamos. Para una cuadrícula de 2 palillos de lado se necesitan 12 palillos. Para una cuadrícula de 3 palillos de lado se necesitan 24 palillos.

¿Cuántos palillos harán falta para una cuadrícula de 4 palillos de lado? ¿Y para una cuadrícula de n palillos de lado?