Números irracionales

«El Diablo de los Números» es un libro para adolescentes escrito en 1997 por el poeta y ensayista alemán Hans Magnus Enzensberger. Sus protagonistas son un niño llamado Robert y el «diablo de los números», que enseña a Robert, con un vocabulario un tanto peculiar, esas matemáticas que odia porque no las consigue entender en el colegio.

Su tratamiento de términos y conceptos matemáticos han hecho de «El Diablo de los Números» un libro recomendable para comprender nociones básicas de las matemáticas de forma amena.

La siguiente lectura es un extracto adaptado de uno de sus capítulos dedicado a los números irracionales:

« − Fabuloso, Robert. Estoy orgulloso de ti.

Estaba claro que se sentía muy contento. Pero, como siempre, se le ocurrió una nueva idea.

− Pero algunas de tus cifras detrás de la coma se comportan de forma muy peculiar. ¿Quieres que te enseñe cómo?

− ¡Claro! Siempre que no llenes todo de esas asquerosas serpientes.

− Tranquilo. Tu gran calculadora lo hará. Sólo tienes que pulsar siete entre once.

No hizo falta que se lo repitieran.

7 : 11 = 0,6363636363636363636363636363636363636363636363636363636363636363 ………

− ¡Qué está pasando! −exclamó−. Siempre 63, 63 y otra vez 63. Es probable que continúe así para siempre.

− Sin duda; pero esto aún no es nada. ¡Prueba con seis entre siete!

Robert tecleó:  6 : 7

6 : 7 = 0,857142857142857142857142857142857142857142857142857142857142 ………

− ¡Siempre vuelven a aparecer las mismas cifras! −exclamó−: 857 142, y vuelta a empezar. ¡El número gira en círculos!

− Sí, son unas criaturas fantásticas, los números. ¿Sabes?, en el fondo no hay números normales. Cada uno de ellos tiene sus propios rasgos, sus propios secretos. Nunca acaba uno de conocerlos. La serpiente de nueves tras el cero y la coma, por ejemplo, que no termina nunca y sin embargo es lo mismo que un simple uno. Además, hay otros muchos que se portan de forma mucho más testaruda y se vuelven completamente locos detrás de su coma. Son los números irracionales. Se llaman así porque no se atienen a las reglas del juego. Si te apetece y tienes aún un momento te enseñaré cómo lo hacen.

− Está bien −dijo.

− ¿Recuerdas lo que pasaba con los saltos? ¿Lo que hacíamos con el dos y con el diez? Diez por diez igual a cien, cien por cien igual a diez mil. Y lo mismo con el dos.

− Claro. Si hago saltar el dos, resulta: 2, 4, 16, 256, …etcétera, hasta el aburrimiento, como pasa siempre en tus jueguecitos.

− Entonces −dijo el anciano−, ¿cuatro elevado a dos?

− Dieciséis −exclamó Robert−. ¡Ya te lo he dicho!

− Impecable. Ahora haremos lo mismo, pero al revés. Saltaremos hacia atrás, por así decirlo. Yo digo dieciséis, y tú saltas uno hacia atrás.

− ¡Cuatro!

− ¿Y si digo cuatro?

− Dos −dijo Robert−. Es evidente.

− Ahora tienes que tomar nota de cómo se llama este truco. No se dice “saltar hacia atrás”, se dice “extraer la raíz cuadrada”. Como cuando sacas una raíz del suelo. Entonces: la raíz cuadrada de cien es diez, la raíz cuadrada de diez mil es cien. ¿Y cuál es la raíz cuadrada de veinticinco?

− Veinticinco −dijo Robert− es cinco por cinco. Así que cinco es la raíz cuadrada de veinticinco.

− Si sigues así, Robert, un día serás mi aprendiz de brujo. ¿Raíz cuadrada de cuatro?

− La raíz cuadrada de cuatro es dos.

− ¿Raíz cuadrada de 5929?

− ¡Estás loco! −gritó Robert. Ahora era él quien perdía la compostura−. ¿Cómo quieres que la calcule? Con eso ya me atormentan en el colegio, no necesito soñarlo además.

− Mantén siempre la calma −dijo el diablo de los números−. Para esos pequeños problemas tenemos nuestra calculadora de bolsillo.

− Tiene gracia lo de la calculadora de bolsillo −dijo Robert−.

− En cualquier caso, tiene una tecla en la que pone  √ . Seguro que enseguida te das cuenta de lo que significa.

− Raíz cuadrada −exclamó Robert.

− Correcto. Así que prueba √5929:

Robert probó, y enseguida apareció la solución en el respaldo del sofá:     77

− Magnífico. ¡Pero ahora viene lo bueno! Pulsa √2, ¡pero agárrate bien!

Robert pulsó y leyó: 

1,4142135623730950488016887242097………

− Espantoso −dijo−. No tiene ningún sentido. Una auténtica ensalada de números. No me oriento en ella.

− Nadie se orienta en ella, mi querido Robert. De eso se trata. La raíz cuadrada de dos es precisamente un número irracional.

− ¿Y cómo voy a saber qué sigue detrás de las últimas tres cifras? Porque ya sospecho que sigue siempre.

− Cierto. Pero, por desgracia, tampoco yo puedo ayudarte en eso. Sólo averiguarás las próximas cifras matándote a calcular hasta que tu calculadora se ponga en huelga.

− ¡Qué absurdo! −dijo Robert, completamente enloquecido−. Y eso que ese monstruo parece tan sencillo cuando se escribe así:

− Y lo es. Con un bastón puedes dibujar cómodamente  en la arena.

Trazó en la arena un cuadrado vacío, totalmente normal. Luego sacó una regla roja del bolsillo y la puso en diagonal sobre él.

− Y si ahora cada lado mide uno de largo…

− ¿Qué significa uno? ¿Un centímetro, un metro o qué?

− Eso da igual −dijo impaciente el diablo de los números−. Puedes escoger lo que quieras. Y ahora te pregunto: ¿cuánto mide la regla roja que hay dentro?

− ¿Cómo voy a saberlo?

− Raíz cuadrada de dos −gritó triunfante el anciano. Sonreía diabólicamente.

− Por favor, no sigas hablando −dijo Robert con rapidez−, o me volveré loco.

− No es para tanto −le tranquilizó el anciano−. No hace falta que calcules la cifra. Basta con que la dibujes en la arena. Pero no vayas a creer que estos números irracionales aparecen con poca frecuencia. Al contrario. Hay tantos como arena junto al mar. Son incluso más frecuentes que los que no lo son. »