{"id":2037,"date":"2022-08-23T08:58:02","date_gmt":"2022-08-23T07:58:02","guid":{"rendered":"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/elojodeeuler\/?p=2037"},"modified":"2022-08-23T09:06:51","modified_gmt":"2022-08-23T08:06:51","slug":"el-truco-de-gauss","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/elojodeeuler\/2022\/08\/23\/el-truco-de-gauss\/","title":{"rendered":"El truco de Gauss"},"content":{"rendered":"

\"\"\u00abMalditas matem\u00e1ticas. Alicia en el Pa\u00eds de los N\u00fameros\u00bb<\/em> es un libro para adolescentes escrito en 2000 por el guionista de televisi\u00f3n y matem\u00e1tico italo-espa\u00f1ol Carlo Frabetti<\/em>. La protagonista es una ni\u00f1a llamada Alicia, a la que se le aparece por sorpresa el matem\u00e1tico Lewis Carroll<\/em> (autor de Alicia en el Pa\u00eds de las Maravillas<\/em>), para guiarla hasta el \u00abPa\u00eds de los N\u00fameros<\/em>\u00ab, donde descubrir\u00e1 los secretos que guardan esas matem\u00e1ticas que tanto le aburren.<\/p>\n

\u00abMalditas matem\u00e1ticas\u00bb<\/em> es interesante y divertido, de lectura sencilla, que ayuda a comprender nociones b\u00e1sicas de las matem\u00e1ticas en compa\u00f1\u00eda de los personajes creados por Lewis Carroll.<\/p>\n

La siguiente lectura es un extracto adaptado de uno de sus cap\u00edtulos dedicado a la suma de los t\u00e9rminos de una progresi\u00f3n aritm\u00e9tica<\/em>:<\/p>\n

\u00ab \u2014 \u00bfConoces otros trucos para contar deprisa y sin esfuerzo?<\/p>\n

\u2014 Desde luego. Te voy a contar uno muy bueno que descubri\u00f3 un ni\u00f1o de tu edad. Se llamaba Carl Friedrich Gauss, y lleg\u00f3 a ser uno de los matem\u00e1ticos m\u00e1s grandes de todos los tiempos. Un d\u00eda un profesor mand\u00f3 a toda la clase como castigo, sumar todos los n\u00fameros del 1 al 100… El caso es que el peque\u00f1o Gauss efectu\u00f3 la suma en apenas unos segundos.<\/p>\n

\u2014 \u00bfC\u00f3mo pudo hacerlo?<\/p>\n

\u2014 Pues muy sencillo. Se dio cuenta de que pod\u00eda emparejar as\u00ed los cien primeros n\u00fameros:<\/p>\n

1 + 100 = 101      2 + 99 = 101      3 + 98 = 101 …. 48 + 53 = 101      49 + 52 = 101      50 + 51 = 101<\/p>\n

\u2014 De este modo, se obtiene cincuenta veces 101, por lo que la suma total es 50 x 101 = 5 050.<\/p>\n

\u2014 Muy astuto, el peque\u00f1o Gauss.<\/p>\n

\u2014 Sin propon\u00e9rselo, hab\u00eda descubierto la f\u00f3rmula que expresa la suma de los t\u00e9rminos de una progresi\u00f3n aritm\u00e9tica.<\/p>\n

\u2014 Ya est\u00e1s hablando otra vez como un profe \u2014se quej\u00f3 Alicia.<\/p>\n

\u2014 Tranquila, que enseguida te lo explico. Una progresi\u00f3n aritm\u00e9tica es, sencillamente, una serie de n\u00fameros en la que cada uno es igual al anterior m\u00e1s una cantidad fija, que se llama diferencia<\/strong>. La progresi\u00f3n aritm\u00e9tica m\u00e1s sencilla es, precisamente, la sucesi\u00f3n de los n\u00fameros naturales: 1, 2, 3, 4, 5…, porque cada n\u00famero es igual al anterior m\u00e1s 1. Por otro lado, la sucesi\u00f3n de los n\u00fameros impares: 1, 3, 5, 7, 9…<\/p>\n

\u2014 Es una progresi\u00f3n aritm\u00e9tica de diferencia<\/strong> 2; y la de los pares tambi\u00e9n \u2014concluy\u00f3 Alicia.<\/p>\n

\u2014 Exacto. Como muy bien has dicho, la sucesi\u00f3n 2, 4, 6, 8, 10… tambi\u00e9n es una progresi\u00f3n aritm\u00e9tica. Vamos a calcular la suma de sus diez primeros t\u00e9rminos.<\/p>\n

\u2014 \u00bfUsando el truco del peque\u00f1o Gauss?<\/p>\n

\u2014 S\u00ed, pero vamos a hacerlo de una forma ligeramente distinta para verlo m\u00e1s claro. Primero escribo esos diez primeros t\u00e9rminos en su orden normal y luego, debajo, en orden inverso…<\/p>\n\n\n\n\n
2<\/td>\n4<\/td>\n6<\/td>\n8<\/td>\n10<\/td>\n12<\/td>\n14<\/td>\n16<\/td>\n18<\/td>\n20<\/td>\n<\/tr>\n
20<\/td>\n18<\/td>\n16<\/td>\n14<\/td>\n12<\/td>\n10<\/td>\n8<\/td>\n6<\/td>\n4<\/td>\n2<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

\u2014 \u00bfPara qu\u00e9 los escribes dos veces?<\/p>\n

\u2014 Ahora sumamos las dos series, y vemos que diez veces 22 (que es 20+2, o sea, el primer t\u00e9rmino m\u00e1s el \u00faltimo) es el doble de la suma de los diez t\u00e9rminos, ya que los hemos contado todos dos veces.<\/p>\n\n\n\n\n\n
2<\/td>\n4<\/td>\n6<\/td>\n8<\/td>\n10<\/td>\n12<\/td>\n14<\/td>\n16<\/td>\n18<\/td>\n20<\/td>\n<\/tr>\n
+20<\/td>\n+18<\/td>\n+16<\/td>\n+14<\/td>\n+12<\/td>\n+10<\/td>\n+8<\/td>\n+6<\/td>\n+4<\/td>\n+2<\/td>\n<\/tr>\n
22<\/td>\n22<\/td>\n22<\/td>\n22<\/td>\n22<\/td>\n22<\/td>\n22<\/td>\n22<\/td>\n22<\/td>\n22<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

Por lo tanto, la suma que buscamos ser\u00e1  (22 por 10) dividido entre 2, que es igual a 110.<\/p>\n

\u2014 Y esto se puede hacer con todas las progresiones aritm\u00e9ticas \u2014coment\u00f3 Alicia.<\/p>\n

\u2014 Claro. Si llamamos  p<\/strong>  al primer t\u00e9rmino, u<\/strong> al \u00faltimo, n<\/strong> al n\u00famero de t\u00e9rminos y  S<\/strong> a la suma total, la f\u00f3rmula general v\u00e1lida para todos los casos es<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

En el caso de los cien primeros n\u00fameros naturales, p<\/strong> = 1, u<\/strong> = 100  y  n<\/strong> = 100. Por lo tanto,<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

como ya sab\u00edamos. \u00bb<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

\u00abMalditas matem\u00e1ticas. Alicia en el Pa\u00eds de los N\u00fameros\u00bb es un libro para adolescentes escrito en 2000 por el guionista...<\/p>\n","protected":false},"author":12306,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_exactmetrics_skip_tracking":false,"_exactmetrics_sitenote_active":false,"_exactmetrics_sitenote_note":"","_exactmetrics_sitenote_category":0,"ngg_post_thumbnail":0,"footnotes":""},"categories":[27],"tags":[],"aioseo_notices":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/elojodeeuler\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2037"}],"collection":[{"href":"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/elojodeeuler\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/elojodeeuler\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/elojodeeuler\/wp-json\/wp\/v2\/users\/12306"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/elojodeeuler\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2037"}],"version-history":[{"count":5,"href":"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/elojodeeuler\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2037\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2044,"href":"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/elojodeeuler\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2037\/revisions\/2044"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/elojodeeuler\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2037"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/elojodeeuler\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2037"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/elojodeeuler\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2037"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}