La idea de ¿azar?.

Ignacio Escañuela Romana.

¿Qué es azar?. Kolmogorov:

«Disorderly sequences, in the above sense, are highly incompressible. The best effective description we can give of such a sequence—one that would enable someone else, or a computer, to reliably reproduce it—would be to simply list the sequence itself. This feature allows us to characterise the random sequences as those which cannot be produced by a compact algorithm (compact with respect to the length of the target sequence, that is)». (https://plato.stanford.edu/entries/chance-randomness/#KolmCompRand)

¿Qué es el azar, pues?. Intuitivamente consideramos que es desorden, impredictibilidad de los hechos. Para Chaitin y Komogorov el azar es la propiedad de una serie de datos, cuando esta serie no puede ser comprimida: cuando no podemos encontrar un programa más corto que la misma serie y que dé lugar a esa serie.

De este modo la serie «99999999999» puede ser comprimida en «repetir 9», pero «0101101110010101» no PARECE tener un programa más corto que pueda producirla. Diríamos que es una serie aleatoria (http://filosofia-reflex.blogspot.com/2016/04/la-idea-de-azar.html).

El problema es que el teorema de incompletitud en versión Chaitin nos dice que no podemos estar seguros nunca de qué serie es comprimible o no. ¿Y si he tirado un dado con nueve número, del 1 al 9, y ha dado la casualidad de salir siempre, hasta ahora, 9?. Del mismo modo, «4142135623» nos parecerá sin orden, pero tiene un programa corto escondido: los decimales de la raíz cuadrada de 2.

Einstein sentía horror hacia el azar como realidad. Quizá por sus raíces filosóficas spinozianas. A mí, salvando las distancias de valor intelectual, me pasa algo similar.

En este sentido, es interesante la siguiente entrevista a Chaitin:

http://www.sisabianovenia.com/LoLeido/NoFiccion/ChaitinMatematico.htm

«El azar es una idea fundamental, pero muy controversial, de la física de este siglo. Cuando Einstein dijo que Dios no juega a los dados con el Universo, ¿por qué lo dijo? Porque en la física subatómica se pierde la posibilidad de determinar unívocamente el futuro. Las leyes fundamentales son estadísticas. Y a Einstein le espantaba algo así; él tenía una formación clásica, newtoniana. El creía en variables ocultas.»

Veamos en un mayor detalle el problema:

  • Cualquier serie de datos puede ser producto de un número infinito de programas o algoritmos:

» Any specified series of numbers can be generated by an infinite number of algorithms. Consider, for example, the three-digit decimal series 123. It could be produced by an algorithm such as «Subtract 1 from 124 and print the result,» or «Subtract 2 from 125 and print the result,» or an infinity of other programs formed on the same model» (Randomness and Mathematical Proof Scientific American 232, o. 5 (May 1975), pp. 47-52 Gregory J. Chaitin )

  • Los programas más interesantes para generar una serie son los mínimos o elegantes:

«The programs of greatest interest, however, are the smallest ones that will yield a given numerical series. The smallest programs are called minimal programs; for a given series there may be only one minimal program or there may be many» (op.cit).

  • Pero todo programa mínimo o elegante sería aleatorio o al azar:

«Any minimal program is necessarily random, whether or not the series it generates is random. This conclusion is a direct result of the way we have defined randomness. Consider the program P, which is a minimal program for the series of digits S. If we assume that P is not random, then by definition there must be another program, P’, substantially smaller than P that will generate it. We can then produce S by the following algorithm: «From P’ calculate P, then from P calculate S.» This program is only a few bits longer than P’, and thus it must be substantially shorter than P. P is therefore not a minimal program» (op.cit.)

Probar que un programa menor genera la serie equivale a plantear su carácter determinístico. Probar que no hay tal programa, concluye que es una serie azarosa de datos. El teorema de Chaitin nos dice que, como consecuencia del teorema general de incompletitud de Gödel, que impide resolver con carácter definitivo, y que explicaré en otra entrada, jamás podremos concluir con total seguridad que existe o no existe tal programa mínimo. 

¿Por qué?. Porque 9999999 puede estar generado por «repetir 9», o por otro programa, o puede ser el resultado improbable, pero no imposible, de elegir al azar entre diez bolas, del 0 al 9, en un bombo. La probabilidad de obtener esas siete bolas de sacarlas al azar de diez bolas ess 1/(10)^7. Muy improbable, pero no imposible. ¡Puedo equivocarme!.

Gödel decía, siempre hay enunciados cuya verda o falsedad no puede ser demostrada. «X es al azar» parece ser uno de estos enunciados. 

Publicado por

Ignacio Escañuela Romana

Interesado por la filosofía y la economía, que tiendo a mezclar a menudo. Es decir, seguir el lema kantiano: "Sapere Aude".

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