octubre, 2019 - Física y Química en el IES Martín Rivero

Energía potencial gravitatoria

Llegaremos a una expresión para calcular la energía potencial gravitatoria.

Campo gravitatorio Para determinar la función energía potencial (Ep) del sistema formado por una partícula de masa m y la Tierra, calcularemos el trabajo que realiza el campo (la fuerza gravitatoria) al desplazar un cuerpo de masa m por una trayectoria arbitraria desde una posición A, a una distancia r_A del cuerpo de masa M responsable del campo, hasta una posición final B que dista r_B de M (ver figura).

Debemos tener en cuenta que tanto la dirección como el módulo de la fuerza gravitatoria varían de un punto a otro de la trayectoria. El trabajo total será la suma de todos los trabajos elementales que se realizan en desplazamientos tan pequeños como podamos considerar .Cuando el número de estos sumandos tiende al infinito, el cálculo de esa suma infinita de sumandos nos lleva al concepto de integral y el trabajo que realiza la fuerza (campo) es:

$latex W = \int \limits_{r_A}^{r_B} \vec F \cdot d \vec r $

La fuerza gravitatoria es conservativa y en consecuencia, el trabajo realizado es independiente de la trayectoria seguida; podemos escoger una trayectoria “más cómoda” para calcular el valor de la integral anterior. La trayectoria que elegiremos será A-C-B.

El trabajo que realiza el campo desde A hasta B es:

$latex {W_{A \rightarrow B }} = {W_{A \rightarrow C }}+ {W_{C \rightarrow B }} $

Sabemos que el trabajo realizado desde C a B es cero, ya que la fuerza y el desplazamiento son perpendiculares.

$latex {W_{A \rightarrow B }} = {W_{A \rightarrow C }}=\int \limits_{r_A}^{r_B} -G \frac {M \cdot m}{r^2} \vec u \cdot d \vec r $

En el tramo A-C, el vector unitario $latex \vec u $ y el vector $latex d \vec r $ forman un ángulo de 0º , por lo que su producto escalar es igual al producto de sus módulos, es decir dr:

$latex {W_{A \rightarrow B }} = {W_{A \rightarrow C }}=\int \limits_{r_A}^{r_B} -G \frac {M \cdot m}{r^2} d r $

Resolviendo la integral:

$latex {W_{A \rightarrow B }} = \int \limits_{r_A}^{r_B} -G \frac {M \cdot m}{r^2} d r =\left. G \frac {M \cdot m}r \right |_{r_A}^{r_B}=G \frac {Mm}{r_B}-G \frac {Mm}{r_A} $

Teniendo en cuenta:

$latex W_{A \rightarrow B} = Ep(A)-Ep(B) $ y $latex {W_{A \rightarrow B }} = G \frac {Mm}{r_B}-G \frac {Mm}{r_A} $

podemos decir que:

$latex Ep(A)-Ep(B)= -G \frac {Mm}{r_A}+G \frac {Mm}{r_B} $

Definida la energía potencial de esta forma solo tiene sentido hablar de la diferencia de energía potencial gravitatoria entre dos puntos ya que es imposible conocer el valor de la energía potencial gravitatoria absoluta; parece claro, que debemos elegir un origen de energía potencial gravitatoria. Dado que la acción gravitatoria de M sobre m es nula si el cuerpo de masa m se encuentra infinitamente alejado del cuerpo M, podemos elegir el origen de energía potencial en el infinito (Ep=0), y por tanto :

$latex Ep_{A}-Ep(\infty)= -G \frac {Mm}{r_A} + 0 \implies Ep(A) = – \frac {GMm}{r_A} \ \ (origen \ Ep=0\ \ en \ el \ \infty) $

El localizar el origen de energía potencial gravitatoria en el infinito implica que la energía potencial gravitatoria es siempre negativa, y por ello aumenta su valor a medida que lo hace la distancia entre sus masas.

Concepto de campo

Concepto de campo. Escalares y vectoriales

Decimos que en una zona del espacio tenemos definido un campo vectorial , $latex \vec V $ cuando para cada punto P de esa zona , la magnitud $latex \vec V $ toma un único valor que depende exclusivamente de las coordenadas del punto P (función de posición).

Si $latex \vec V $ es una fuerza hablaremos de un campo de fuerzas.

Si la magnitud es escalar (temperatura, presión,…) tendremos un campo escalar.

Los campos que no dependen del tiempo se denominan estacionarios o estáticos.

Un campo escalar se representa mediante las superficies de nivel, que son el lugar geométrico para el cual la magnitud escalar tiene un mismo valor.

Un campo vectorial se representa gráficamente por líneas de campo, que son líneas tangentes en cada punto al vector campo definidos en ellos. En el caso de un campo de fuerzas hablaremos de líneas de fuerza.

Las propiedades de las líneas de campo son:

- - Su sentido de recorrido y el del vector que representa el campo coinciden en cada punto.
  - Pueden ser cerradas (campos magnéticos) o abiertas (campo gravitatorio).
  - Las líneas de campo no se pueden cortar.
  - Parten de manantiales y convergen en los sumideros.
  - Si el campo es uniforme (el mismo valor de la magnitud en todos sus puntos del campo), las líneas de campo son paralelas.
  - El número de líneas de campo es indicativo de la intensidad del campo: a mayor número de líneas de campo mayor intensidad del campo.

Cifras significativas

Al facilitar el resultado de una medida, se debe especificar cuál es su incertidumbre asociada y este concepto nos lleva directamente al concepto de cifras significativas.

Ninguna medida, por muy bien realizada que esté, puede estar libre de incertidumbre (error). La incertidumbre experimental es inherente al proceso de medida.

Al facilitar el resultado de una medida, se debe especificar cuál es su incertidumbre asociada y este concepto nos lleva directamente al concepto de cifras significativas.

Para expresar el resultado de una medida daremos la mejor estimación posible de la cantidad, y el intervalo dentro del cual se tiene la convicción en que se halla dicha cantidad. Así, si realizamos una medida de un tiempo, en el que la mejor estimación sea de 3,2 s y el rango probable 3,0 a 3,4 s, podemos expresar la medida como 3,2 ± 0,2 s

En general: $latex x = x_{estimado} \pm \Delta x $

siendo ∆x la incertidumbre absoluta (error absoluto), o margen de error de la medida.

En nuestro caso, 3,2 ± 0,2 s, decimos que la medida 3,2 s tiene 2 cifras significativas, ya que son aquellas que contienen información real de la medida (no sabemos el dígito que viene a continuación del 2).

Se deduce que el número de cifras significativas de una cantidad viene determinado por la incertidumbre asociada a esa medida, de manera que la última cifra significativa está afectada del error correspondiente.

Para identificar las cifras significativas hay que tener en cuenta:

En números que no contienen ceros, todas las cifras son significativas	5687, tiene cuatro cifras significativas
Todos los ceros entre dígitos significativos son significativos.	35026, tiene 5 cifras significativas
Los ceros a la izquierda del primer dígito distinto de cero son no significativos	0,000025, tiene 2 cifras significativas
En un número con cifras decimales, los ceros finales a la derecha del punto decimal son significativos.	1234,00, tiene 6 cifras significativas
En un número sin cifras decimales, los ceros finales situados a la derecha pueden ser significativos o no, en función de la sensibilidad del instrumento de medida.	Utilizaremos la notación científica para indicar lo ceros significativos: la mantisa tendrá tantos dígitos como cifras significativas.

Para números muy grandes o muy pequeños se utilizará la notación científica, de forma que en la mantisa se recogerán las cifras significativas.

En la mayoría de los datos que se aportan no aparece de forma explícita la incertidumbre asociada a esa cantidad. Debemos entender que la incertidumbre se está indicando con el número de cifras significativas de la cantidad. Así, si se nos dice que el tiempo de caída de un cuerpo es de 23 s (dos cifras significativas) , la incertidumbre asociada es de 1 s (el valor de la medida está entre 22 y 24 s); si por el contrario, el valor del tiempo se expresa como 23,0 (tres cifras significativas), la incertidumbre asociada es de 0,1 s.

Cuando usamos cantidades con incertidumbre para calcular otras cantidades, el resultado estará también afectado de incertidumbre.

Supongamos que estamos sumando dos longitudes: x = 12 mm y z = 27,3 mm, ¿cuál es el resultado de sumar x+z? En principio podríamos pensar que x+z = 39,3 mm.

Analicemos este resultado: la longitud x la podemos expresar como 12,*****… siendo * la representación de un dígito desconocido (no sabemos qué dígito hay detrás del 2); por otro lado la longitud z se puede expresar como 27,3*****… ¿La suma de * + 3, es 3? Evidentemente no, la suma de *+3 es * ya que no conocemos el valor de *. Sumando los dígitos que realmente se conocen, el valor de x + z es 39 mm.

Como vemos el resultado también está afectado por una incertidumbre. Para el cálculo de la incertidumbre (cifras significativas) seguiremos las siguientes reglas:

Al multiplicar o dividir cantidades, el resultado no puede tener más cifras significativas que el factor con menos cifras significativas. Así el resultado de multiplicar 3,2 x 1,65 x 3,1416 debe contener 2 cifras significativas; finalizaremos con el redondeo: el resultado (16,587648 obtenido en calculadora) es 17.
Cuando sumamos o restamos cantidades, lo que importa es la ubicación del punto decimal, no el número de cifras significativas. El resultado no puede tener más decimales que el sumando que menos tenga. Finalizaremos con el redondeo.
El logaritmo de un número tiene tantas cifras significativas como el número inicial. Finalizaremos con el redondeo.

Ondas armónicas y ondas estacionarias

Semejanzas y diferencias entre ondas armónicas y ondas estacionarias.

Podemos clasificar las ondas en dos categorías: ondas viajeras y ondas estacionarias. Una onda viajera se podría definir como la propagación de energía sin propagación de la materia (onda en la superficie del agua); hablamos de onda estacionaria cuando está confinada a una región del espacio (cuerda fija por sus extremos) y en consecuencia, la energía asociada a esa onda está limitada a esa región.

En función del tipo de energía que se transmite, las ondas pueden ser ondas mecánicas (la energía que se propaga es energía mecánica) y ondas electromagnéticas, (energía electromagnética).

En el caso de una onda mecánica, si la energía que se propaga es originada por un oscilador armónico, las ondas reciben el nombre de ondas armónicas(*).

La ecuación de una onda armónica que se propaga hacia la parte positiva del eje X es del tipo:

$latex y(x,t) = A sen (\omega t – k x + \phi ) $

donde A es la amplitud (separación máxima de la posición de equilibrio) , ω es la denominada pulsación del movimiento, k el número de onda y Φ la fase inicial.

Esta ecuación es doblemente periódica: es periódica respecto al tiempo y periódica respecto a la posición.

Ejemplos de ondas armónicas: onda que se propaga en el agua, ondas sonoras, ondas en una cuerda.

Cuando confluyen dos ondas armónicas ( o dos ondas electromagnéticas) de igual amplitud, frecuencia y longitud de onda que se propagan en sentidos opuestos se origina una onda estacionaria (caso particular de un fenómeno de interferencia). Las ondas estacionarias presentan ciertos puntos que no se desplazan en ningún momento. Estos puntos se denominan nodos ( las ondas que interfieren se encuentran en oposición de fase) ; existen otros puntos llamados vientres, que vibran con amplitud máxima. El resto de los puntos vibran con una amplitud que depende de la posición que ocupen.

La ecuación de onda estacionaria es del tipo:

$latex y(x,t) = 2A sen(kx)cos (\omega t) $

Ejemplos de ondas estacionarias: onda en una cuerda que tenga fijo los dos extremos, onda sonora confinada en un tubo

Resumiendo:

En una onda viajera cada partícula vibra con la misma amplitud; en cambio en una onda estacionaria la amplitud no es la misma para todos los puntos ya que depende de la posición.
La energía no se propaga a lo largo de una onda estacionaria porque no puede pasar a través de los nodos, ya que éstos permanecen en reposo.

(*) Cualquier movimiento ondulatorio se puede expresar como una superposición de ondas armónicas: teorema de Fourier.

Cantidad medida multiplicada por un número exacto

Supongamos que medimos una cantidad x, y utilizamos el valor obtenido para calcular el producto q = Bx, donde el número B no tiene incertidumbre (se le considera exacto).

La incertidumbre de q es : $latex \Delta q = |B| \Delta x $

Ejemplo:

Supongamos que medimos el diámetro de un círculo y obtenemos el valor d = 5,0 ± 0,1 cm , ¿cuál es el valor de la longitud de la circunferencia? Exprésala junto con su incertidumbre.

$latex C = \pi d $

$latex C = 5,0 \cdot \pi =15,70796…cm $

$latex \Delta C = \pi \cdot 0,1 =0,3 \, cm$

El resultado es: C = 15,7 ± 0,3 cm

Introducción al análisis de errores; John R. Taylor