Ninguna medida, por muy bien realizada que esté, puede estar libre de incertidumbre (error). La incertidumbre experimental es inherente al proceso de medida.
Al facilitar el resultado de una medida, se debe especificar cuál es su incertidumbre asociada y este concepto nos lleva directamente al concepto de cifras significativas.
Para expresar el resultado de una medida daremos la mejor estimación posible de la cantidad, y el intervalo dentro del cual se tiene la convicción en que se halla dicha cantidad. Así, si realizamos una medida de un tiempo, en el que la mejor estimación sea de 3,2 s y el rango probable 3,0 a 3,4 s, podemos expresar la medida como 3,2 ± 0,2 s
En general: $latex x = x_{estimado} \pm \Delta x $
siendo ∆x la incertidumbre absoluta (error absoluto), o margen de error de la medida.
En nuestro caso, 3,2 ± 0,2 s, decimos que la medida 3,2 s tiene 2 cifras significativas, ya que son aquellas que contienen información real de la medida (no sabemos el dígito que viene a continuación del 2).
Se deduce que el número de cifras significativas de una cantidad viene determinado por la incertidumbre asociada a esa medida, de manera que la última cifra significativa está afectada del error correspondiente.
Para identificar las cifras significativas hay que tener en cuenta:
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En números que no contienen ceros, todas las cifras son significativas |
5687, tiene cuatro cifras significativas |
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Todos los ceros entre dígitos significativos son significativos. |
35026, tiene 5 cifras significativas |
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Los ceros a la izquierda del primer dígito distinto de cero son no significativos |
0,000025, tiene 2 cifras significativas |
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En un número con cifras decimales, los ceros finales a la derecha del punto decimal son significativos. |
1234,00, tiene 6 cifras significativas |
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En un número sin cifras decimales, los ceros finales situados a la derecha pueden ser significativos o no, en función de la sensibilidad del instrumento de medida. |
Utilizaremos la notación científica para indicar lo ceros significativos: la mantisa tendrá tantos dígitos como cifras significativas. |
Para números muy grandes o muy pequeños se utilizará la notación científica, de forma que en la mantisa se recogerán las cifras significativas.
En la mayoría de los datos que se aportan no aparece de forma explícita la incertidumbre asociada a esa cantidad. Debemos entender que la incertidumbre se está indicando con el número de cifras significativas de la cantidad. Así, si se nos dice que el tiempo de caída de un cuerpo es de 23 s (dos cifras significativas) , la incertidumbre asociada es de 1 s (el valor de la medida está entre 22 y 24 s); si por el contrario, el valor del tiempo se expresa como 23,0 (tres cifras significativas), la incertidumbre asociada es de 0,1 s.
Cuando usamos cantidades con incertidumbre para calcular otras cantidades, el resultado estará también afectado de incertidumbre.
Supongamos que estamos sumando dos longitudes: x = 12 mm y z = 27,3 mm, ¿cuál es el resultado de sumar x+z? En principio podríamos pensar que x+z = 39,3 mm.
Analicemos este resultado: la longitud x la podemos expresar como 12,*****… siendo * la representación de un dígito desconocido (no sabemos qué dígito hay detrás del 2); por otro lado la longitud z se puede expresar como 27,3*****… ¿La suma de * + 3, es 3? Evidentemente no, la suma de *+3 es * ya que no conocemos el valor de *. Sumando los dígitos que realmente se conocen, el valor de x + z es 39 mm.
Como vemos el resultado también está afectado por una incertidumbre. Para el cálculo de la incertidumbre (cifras significativas) seguiremos las siguientes reglas:
- Al multiplicar o dividir cantidades, el resultado no puede tener más cifras significativas que el factor con menos cifras significativas. Así el resultado de multiplicar 3,2 x 1,65 x 3,1416 debe contener 2 cifras significativas; finalizaremos con el redondeo: el resultado (16,587648 obtenido en calculadora) es 17.
- Cuando sumamos o restamos cantidades, lo que importa es la ubicación del punto decimal, no el número de cifras significativas. El resultado no puede tener más decimales que el sumando que menos tenga. Finalizaremos con el redondeo.
- El logaritmo de un número tiene tantas cifras significativas como el número inicial. Finalizaremos con el redondeo.