{"id":94,"date":"2019-12-05T12:16:31","date_gmt":"2019-12-05T11:16:31","guid":{"rendered":"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/?page_id=94"},"modified":"2026-03-17T13:29:30","modified_gmt":"2026-03-17T12:29:30","slug":"dibujo-tecnico-2","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/dibujo-tecnico-2\/","title":{"rendered":"DIBUJO T\u00c9CNICO 2"},"content":{"rendered":"<p><a href=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2020\/10\/01-TRAZADOS-EN-EL-PLANO-1.pdf\">01 TRAZADOS EN EL PLANO<\/a><\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2020\/10\/02-TRAZADO-DE-POL\u00cdGONOS-repaso-1bach.pdf\">02 TRAZADO DE POL\u00cdGONOS repaso 1bach<\/a><\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2020\/10\/03-TRANSFORMACIONES-GEOM\u00c9TRICAS-DT2.pdf\">03 TRANSFORMACIONES GEOM\u00c9TRICAS DT2<\/a><\/p>\n<p><iframe loading=\"lazy\" title=\"Inversi\u00f3n - Definici\u00f3n, elementos y normas\" width=\"525\" height=\"295\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/vU0-QDq33-w?feature=oembed\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe><\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p><strong><a href=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2019\/12\/tangencias1-141105120426-conversion-gate01.pdf\"><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif\">TEOR\u00cdA TANGENCIAS<\/span><\/a><\/strong><\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p><iframe loading=\"lazy\" title=\"Circunferencias tangentes a 3 circunferencias dadas (Apolonio CCC) Dilataci\u00f3n-Inversi\u00f3n\" width=\"525\" height=\"295\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/5J5vSYG7X0o?feature=oembed\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe><\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p><strong><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif\">EJERCICIO TANGENCIAS (CABALLO DE AJEDREZ)<\/span><\/strong><\/p>\n<p><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Ejercicio resuelto de tangencias paso a paso.<\/span><\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2019\/12\/ref-chess2.jpg\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-medium wp-image-195\" src=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2019\/12\/ref-chess2-222x300.jpg\" alt=\"\" width=\"222\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2019\/12\/ref-chess2-222x300.jpg 222w, https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2019\/12\/ref-chess2-18x24.jpg 18w, https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2019\/12\/ref-chess2-27x36.jpg 27w, https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2019\/12\/ref-chess2-36x48.jpg 36w, https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2019\/12\/ref-chess2.jpg 449w\" sizes=\"(max-width: 222px) 100vw, 222px\" \/><\/a><\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/www.mongge.com\/ejercicios\/10689\">https:\/\/www.mongge.com\/ejercicios\/10689<\/a><\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<h1 style=\"text-align: left\"><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif;font-size: 12pt\"><strong>CURVAS T\u00c9CNICAS<\/strong>&nbsp;<\/span><\/h1>\n<h1 class=\"entry-title\"><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif;font-size: 12pt\">Curvas c\u00edclicas<\/span><\/h1>\n<div><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif;font-size: 12pt\">Son curvas planas, generadas por un punto perteneciente a una circunferencia que rueda (sin resbalar) sobre otra circunferencia o una recta. Se denominan c\u00edclicas porque se repite su trazado.<\/span><\/div>\n<div>\n<h2><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif;font-size: 12pt\">Trazado de la cicloide.<\/span><\/h2>\n<\/div>\n<p><span style=\"font-size: 12pt\"><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif\">La cicloide es una curva plana, lugar geom\u00e9trico de las posiciones de un punto P perteneciente a una circunferencia O que rueda (sin resbalar) sobre una recta dada. La recta recibe el nombre de&nbsp;<b>directriz<\/b>&nbsp;y la circunferencia de&nbsp;<b>generatriz o ruleta<\/b>.<\/span><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Dada la circunferencia de centro O y la recta r, para trazar la cicloide dibujaremos la circunferencia tangente en P a la recta y a partir de \u00e9l rectificaremos sobre r la circunferencia. Dividimos la circunferencia y su rectificaci\u00f3n en un mismo n\u00famero de partes iguales, doce en la ilustraci\u00f3n, trazando normales y paralelas a la directriz por las divisiones de la recta y circunferencia respectivamente.<\/span><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif\">En las intersecciones de las perpendiculares a r y la paralela que pasa por O est\u00e1n las posiciones del centro de la circunferencia O, que gira sobre r, cuando los radios de las divisiones de la generatriz coinciden con sus correspondientes divisiones en la directriz, O1, O2, O3\u2026 Con centro en O1 y el radio de la circunferencia generatriz en todo caso, trazamos un arco hasta cortar en P1 a la paralela que pasa por 1, con centro en O2 obtenemos P2 en la paralela que pasa por 2 y as\u00ed sucesivamente. Los puntos as\u00ed obtenidos se unen a mano alzada o con plantilla de curvas quedando de este modo trazada la curva.<\/span><\/span><\/p>\n<div>\n<figure id=\"attachment_483\" class=\"wp-caption alignleft\" aria-describedby=\"caption-attachment-483\"><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif;font-size: 12pt\"><a href=\"https:\/\/dibujotecni.com\/geometria-plana\/curvas-ciclicas\/attachment\/tecnicas22_cicloide\/\" rel=\"attachment wp-att-483\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"size-full wp-image-483\" src=\"https:\/\/dibujotecni.com\/wp-content\/uploads\/2012\/12\/tecnicas22_cicloide.png\" alt=\"Trazado de la cicloide\" width=\"1000\" height=\"352\"><\/a><\/span><figcaption id=\"caption-attachment-483\" class=\"wp-caption-text\"><span style=\"font-size: 12pt\"><span style=\"font-size: 12pt\"><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/dibujotecni.com\/wp-content\/uploads\/2012\/12\/tecnicas22_cicloide.png\" alt=\"Trazado de la cicloide\"><br \/>\nTrazado de la cicloide<\/span><\/span>&nbsp;<\/span><\/span><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.lanubeartistica.es\/Dibujo_Tecnico_Segundo\/Unidad1\/DT2_U1_T4_contenidos_v01\/intro-apartado-1-01.2.png\"><\/figcaption><\/figure>\n<h2><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif;font-size: 12pt\">Trazado de la epicicloide.<\/span><\/h2>\n<\/div>\n<p><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif;font-size: 12pt\">La epicicloide es una curva plana, lugar geom\u00e9trico de las posiciones de un punto P perteneciente a una circunferencia O\u2019, generatriz, que rueda <b>exteriormente<\/b>&nbsp;sobre otra O o directriz. Dibujamos las dos circunferencias tangentes entre s\u00ed y para su trazado se procede de igual forma que en el ejercicio anterior pero trazando circunferencias conc\u00e9ntricas en lugar de rectas paralelas a la directriz y calculando la rectificaci\u00f3n inversa de la longitud de la circunferencia generatriz sobre la circunferencia directriz.<\/span><\/p>\n<div>\n<figure id=\"attachment_485\" class=\"wp-caption alignleft\" aria-describedby=\"caption-attachment-485\"><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif;font-size: 12pt\"><a href=\"https:\/\/dibujotecni.com\/geometria-plana\/curvas-ciclicas\/attachment\/tecnicas23_cicloides\/\" rel=\"attachment wp-att-485\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"size-full wp-image-485\" src=\"https:\/\/dibujotecni.com\/wp-content\/uploads\/2012\/12\/tecnicas23_cicloides.png\" alt=\"Trazado de la epicicloide y de la de la hipocicloide.\" width=\"1000\" height=\"426\"><\/a><\/span><figcaption id=\"caption-attachment-485\" class=\"wp-caption-text\"><span style=\"font-size: 12pt\"><span style=\"font-size: 12pt\"><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Trazado de la epicicloide y de la de la hipocicloide.<\/span><\/span>&nbsp;<\/span><\/span><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.lanubeartistica.es\/Dibujo_Tecnico_Segundo\/Unidad1\/DT2_U1_T4_contenidos_v01\/intro-apartado-2-01.4.png\"><\/figcaption><\/figure>\n<h2><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif;font-size: 12pt\">Trazado de la hipocicloide.<\/span><\/h2>\n<\/div>\n<p><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif;font-size: 12pt\">La hipocicloide es una curva plana, lugar geom\u00e9trico de las posiciones de un punto P perteneciente a una circunferencia O\u2019, o generatriz, que gira&nbsp;<b>interiormente<\/b>&nbsp;sobre otra O, o directriz.&nbsp;Trazamos la circunferencia directriz tangente interior a la generatriz dada y para su trazado procedemos de id\u00e9ntica forma que en el ejercicio precedente.<\/span><\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.lanubeartistica.es\/Dibujo_Tecnico_Segundo\/Unidad1\/DT2_U1_T4_contenidos_v01\/intro-apartado-3-01.1.png\"><\/p>\n<div class=\"7102a97e494928e5a7938b51984efa2f\" data-index=\"2\">&nbsp;<\/div>\n<div>\n<h3><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif;font-size: 12pt\">HIPOCICLOIDE RECTIL\u00cdNEA.<\/span><\/h3>\n<\/div>\n<p><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif;font-size: 12pt\">Cuando el di\u00e1metro de la generatriz es igual al radio de la directriz, la hipocicloide resultante es un segmento igual al di\u00e1metro de la directriz que contiene al punto de tangencia entre las dos circunferencias.<\/span><\/p>\n<div>\n<h3><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif;font-size: 12pt\">HIPOCICLOIDE TRIANGULAR.<\/span><\/h3>\n<\/div>\n<p><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif;font-size: 12pt\">Se produce esta curva cuando el di\u00e1metro de la generatriz mide un tercio del di\u00e1metro de la directriz.<\/span><\/p>\n<div>\n<h3><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif;font-size: 12pt\">HIPOCICLOIDE CUADRANGULAR<\/span><\/h3>\n<\/div>\n<p><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif;font-size: 12pt\">Se produce esta curva de cuatro lazos cuando el di\u00e1metro de la generatriz mide la cuarta parte del di\u00e1metro de la directriz. Se denomina&nbsp;<b>Astroide<\/b>.<\/span><\/p>\n<div>\n<figure id=\"attachment_487\" class=\"wp-caption alignleft\" aria-describedby=\"caption-attachment-487\"><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif;font-size: 12pt\"><a href=\"https:\/\/dibujotecni.com\/geometria-plana\/curvas-ciclicas\/attachment\/tecnicas24_hipocicloide\/\" rel=\"attachment wp-att-487\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"size-full wp-image-487\" src=\"https:\/\/dibujotecni.com\/wp-content\/uploads\/2012\/12\/tecnicas24_hipocicloide.png\" alt=\"Hipocicloide rectil\u00ednea, triangular y cuadrangular.\" width=\"1000\" height=\"287\"><\/a><\/span><figcaption id=\"caption-attachment-487\" class=\"wp-caption-text\"><span style=\"font-size: 12pt\"><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Hipocicloide rectil\u00ednea, triangular y cuadrangular.<\/span><\/span>&nbsp;<\/span><\/figcaption><\/figure>\n<h2><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif;font-size: 12pt\">Trazado de la pericicloide.<\/span><\/h2>\n<\/div>\n<p><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif;font-size: 12pt\">La Pericicloide es una curva plana, lugar geom\u00e9trico de las posiciones de un punto P perteneciente a una circunferencia O\u2019 o generatriz que rueda sin resbalar sobre otra fija O de radio menor o directriz, siendo ambas tangentes entre s\u00ed. Para su trazado, dibujamos ambas circunferencias tangentes en P y dividimos la directriz en cualquier n\u00famero de partes iguales, 1, 2, 3.. ocho en el ejemplo y trasladamos las longitudes de estas divisiones sobre la generatriz (rectificaci\u00f3n inversa) igual n\u00famero de veces, 1\u2019, 2\u2019, 3\u2019\u2026.<\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif;font-size: 12pt\">Trazamos una circunferencia de radio O-O\u2019 y prolongamos en sentido contrario los radios correspondientes a las divisiones 1, 2, 3.. hasta cortar en A, B, C a esta circunferencia. Con centro en A y radio A1 trazamos un arco que corta en P1, punto de la curva a otro trazado con centro en O y radio O1\u2019. Con centro en B, radio B2 y centro en O y radio O2\u2019 obtenemos P2 y as\u00ed sucesivamente. Los puntos se unen a mano alzada.<\/span><\/p>\n<p style=\"text-align: left\">&nbsp;<\/p>\n<figure id=\"attachment_488\" class=\"wp-caption alignleft\" style=\"width: 348px\" aria-describedby=\"caption-attachment-488\"><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif;font-size: 12pt\"><a href=\"https:\/\/dibujotecni.com\/geometria-plana\/curvas-ciclicas\/attachment\/tecnicas25_pericicloide\/\" rel=\"attachment wp-att-488\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\" wp-image-488 \" src=\"https:\/\/dibujotecni.com\/wp-content\/uploads\/2012\/12\/tecnicas25_pericicloide.png\" alt=\"Trazado de la pericicloide\" width=\"348\" height=\"263\"><\/a><\/span><figcaption id=\"caption-attachment-488\" class=\"wp-caption-text\"><span style=\"font-size: 12pt\"><span style=\"font-size: 12pt\"><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Trazado de la pericicloide<\/span><\/span>&nbsp;<\/span><\/span>Envolvente de la circunferencia<\/figcaption><\/figure>\n<h1 style=\"text-align: left\"><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.lanubeartistica.es\/Dibujo_Tecnico_Segundo\/Unidad1\/DT2_U1_T4_contenidos_v01\/intro-envolvente-01.png\"><\/h1>\n<div>&nbsp;<\/div>\n<div>En la imagen superior puedes ver el dibujo de una envolvente, observa c\u00f3mo en las rectas tangentes a la circunferencia directriz su longitud va disminuyendo de manera progresiva.<\/div>\n<h1 style=\"text-align: left\"><span style=\"font-family: Arial, serif;font-size: 12pt\"><b>Lemniscata de Bernoulli<\/b><\/span><\/h1>\n<h1 style=\"text-align: left\"><span style=\"font-size: 12pt\"><span style=\"font-family: Arial, serif\">Estamos finalizando las&nbsp;<\/span><span style=\"font-family: Arial, serif\"><b>curvas t\u00e9cnicas<\/b><\/span><span style=\"font-family: Arial, serif\">&nbsp;y quiero presentar dentro de las curvas de transici\u00f3n a la<\/span><span style=\"font-family: Arial, serif\"><b>&nbsp;lemniscata de Bernoulli<\/b><\/span><span style=\"font-family: Arial, serif\"> (Jacques Bernoulli fue un matem\u00e1tico suizo del siglo XVII. S\u00f3lo presentarla (aunque sea de manera <\/span><span style=\"font-family: Arial, serif\"><b>un poco diferente<\/b><\/span><span style=\"font-family: Arial, serif\">), porque es compleja anal\u00edticamente, pero el trazado y de d\u00f3nde viene podemos verlo.<\/span><\/span><\/h1>\n<h1 style=\"text-align: left\"><span style=\"font-size: 12pt\"><span style=\"font-family: Arial, serif\">Si seccionamos un&nbsp;<\/span><span style=\"font-family: Arial, serif\"><b>toro\u2026<\/b><\/span><span style=\"font-family: Arial, serif\"> aqu\u00ed he de aclarar bien el significado, pues la gente lo primero que piensa es en el animal y en realidad \u00a1tiene un gran contenido geom\u00e9trico!. Un toro es una superficie de revoluci\u00f3n engendrada por una circunferencia que gira alrededor de una recta fija de su plano (eje), que no la corta. De forma \u201cfamiliar\u201d podr\u00edamos verlo como un donut.<\/span><\/span><\/h1>\n<h1 style=\"text-align: left\"><span style=\"font-family: Arial, serif;font-size: 12pt\">Pues bien, si seccionamos un toro por un plano paralelo a su eje obtendremos \u00f3valos de Cassini, con diferentes formas seg\u00fan el plano est\u00e9 m\u00e1s cerca o lejos de dicho eje (simplificando mucho la forma de expresarlo). En el dibujo de abajo est\u00e1 la lemniscata de Bernoulli, caso particular de los \u00f3valos de Cassini. Como veis se asemeja al s\u00edmbolo de infinito: \u221e<\/span><\/h1>\n<h1 style=\"text-align: left\"><span style=\"font-size: 12pt\"><a href=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2019\/12\/bernoulli-1.jpg\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-215 alignright\" src=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2019\/12\/bernoulli-1-300x84.jpg\" alt=\"\" width=\"376\" height=\"105\" srcset=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2019\/12\/bernoulli-1-300x84.jpg 300w, https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2019\/12\/bernoulli-1-24x7.jpg 24w, https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2019\/12\/bernoulli-1-36x10.jpg 36w, https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2019\/12\/bernoulli-1-48x13.jpg 48w, https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2019\/12\/bernoulli-1.jpg 500w\" sizes=\"(max-width: 376px) 100vw, 376px\" \/><\/a> &nbsp;<\/span><\/h1>\n<h1 style=\"text-align: left\"><span style=\"font-size: 12pt\"><span style=\"font-family: Arial, serif\">El&nbsp;<\/span><span style=\"font-family: Arial, serif\"><b>trazado<\/b><\/span><span style=\"font-family: Arial, serif\">&nbsp;es sencillo:<\/span><\/span><\/h1>\n<ol style=\"text-align: left\">\n<li>\n<h1><span style=\"font-family: Arial, serif;font-size: 12pt\">Trazar dos rectas perpendiculares r y s.<\/span><\/h1>\n<\/li>\n<li>\n<h1><span style=\"font-family: Arial, serif;font-size: 12pt\">Trazar una circunferencia tangente a las dos rectas con el radio que queramos<\/span><\/h1>\n<\/li>\n<li>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt\"><span style=\"font-family: Arial, serif\">Por O (intersecci\u00f3n de r y s), trazar rectas secantes a la circunferencia. Cada secante intercepta en una pareja de puntos, como la pareja M&nbsp;<\/span><sub><span style=\"font-family: Arial, serif\">1<\/span><\/sub><span style=\"font-family: Arial, serif\">&nbsp;y M&nbsp;<\/span><sub><span style=\"font-family: Arial, serif\">2<\/span><\/sub><\/span><\/h1>\n<\/li>\n<li>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt\"><span style=\"font-family: Arial, serif\">Tomar la longitud de cada cuerda y situar en la recta a partir de O obteniendo puntos exactos de la curva como OM al tomar la cuerda M<\/span><sub><span style=\"font-family: Arial, serif\">1<\/span><\/sub><span style=\"font-family: Arial, serif\">-M&nbsp;<\/span><sub><span style=\"font-family: Arial, serif\">2<\/span><\/sub><span style=\"font-family: Arial, serif\">, ON= N<\/span><sub><span style=\"font-family: Arial, serif\">1&nbsp;<\/span><\/sub><span style=\"font-family: Arial, serif\">N<\/span><sub><span style=\"font-family: Arial, serif\">2<\/span><\/sub><span style=\"font-family: Arial, serif\">, OP= P<\/span><sub><span style=\"font-family: Arial, serif\">1&nbsp;<\/span><\/sub><span style=\"font-family: Arial, serif\">P&nbsp;<\/span><sub><span style=\"font-family: Arial, serif\">2<\/span><\/sub><span style=\"font-family: Arial, serif\">\u2026<\/span><\/span><\/h1>\n<\/li>\n<li>\n<h1><span style=\"font-family: Arial, serif;font-size: 12pt\">Al unir los diferentes puntos M, N, P\u2026 la curva queda determinada.<\/span><\/h1>\n<\/li>\n<\/ol>\n<h1 style=\"text-align: left\"><span style=\"font-size: 12pt\"><a href=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2019\/12\/bernoulli-2.jpg\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-216 alignright\" src=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2019\/12\/bernoulli-2-300x164.jpg\" alt=\"\" width=\"419\" height=\"229\" srcset=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2019\/12\/bernoulli-2-300x164.jpg 300w, https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2019\/12\/bernoulli-2-24x13.jpg 24w, https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2019\/12\/bernoulli-2-36x20.jpg 36w, https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2019\/12\/bernoulli-2-48x26.jpg 48w, https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2019\/12\/bernoulli-2.jpg 400w\" sizes=\"(max-width: 419px) 100vw, 419px\" \/><\/a><\/span><\/h1>\n<h1 style=\"text-align: left\">&nbsp;<\/h1>\n<h1><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif;font-size: 12pt\">Lemniscata de Gerono<\/span><\/h1>\n<div class=\"thumb tright\">\n<div class=\"thumbinner\">\n<p><a class=\"image\" href=\"https:\/\/commons.wikimedia.org\/wiki\/File:Lemniscate-of-Gerono2.svg\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"thumbimage\" src=\"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/8\/83\/Lemniscate-of-Gerono2.svg\/280px-Lemniscate-of-Gerono2.svg.png\" alt=\"\" width=\"280\" height=\"181\" data-file-width=\"678\" data-file-height=\"438\"><\/a><\/p>\n<div class=\"thumbcaption\">\n<div class=\"magnify\">&nbsp;<\/div>\n<p><a title=\"Lemniscata de Gerono\" href=\"https:\/\/es.wikipedia.org\/wiki\/Lemniscata_de_Gerono\">Lemniscata de Gerono<\/a>: conjunto de soluciones de x<sup>4<\/sup>\u2212x<sup>2<\/sup>+y<sup>2<\/sup>=0<sup id=\"cite_ref-5\" class=\"reference separada\"><a href=\"https:\/\/es.wikipedia.org\/wiki\/Lemniscata#cite_note-5\">5<\/a><\/sup>\u200b<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p><span style=\"font-size: 1rem\">La <\/span><a style=\"font-size: 1rem\" title=\"Lemniscata de Gerono\" href=\"https:\/\/es.wikipedia.org\/wiki\/Lemniscata_de_Gerono\">lemniscata de Gerono<\/a><span style=\"font-size: 1rem\">&nbsp;o lemniscata de Huygens, es el conjunto de ceros del polinomio cu\u00e1rtico&nbsp;<\/span><span class=\"mwe-math-element\" style=\"font-size: 1rem\"><span class=\"mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y\">{\\displaystyle y^{2}-x^{2}(a^{2}-x^{2})}<\/span><img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/7abef27bc27135820caaac15c6e0b356b8fde768\" alt=\"{\\displaystyle y^{2}-x^{2}(a^{2}-x^{2})}\" aria-hidden=\"true\"><\/span><span style=\"font-size: 1rem\">.<\/span><sup id=\"cite_ref-6\" class=\"reference separada\"><a href=\"https:\/\/es.wikipedia.org\/wiki\/Lemniscata#cite_note-6\">6<\/a><\/sup><span style=\"font-size: 1rem\">\u200b<\/span><sup id=\"cite_ref-7\" class=\"reference separada\"><a href=\"https:\/\/es.wikipedia.org\/wiki\/Lemniscata#cite_note-7\">7<\/a><\/sup><span style=\"font-size: 1rem\">\u200b La&nbsp;<\/span><a style=\"font-size: 1rem\" title=\"Curva de Viviani\" href=\"https:\/\/es.wikipedia.org\/wiki\/Curva_de_Viviani\">curva de Viviani<\/a><span style=\"font-size: 1rem\">, una curva tridimensional formada por la intersecci\u00f3n de una esfera con un cilindro, tambi\u00e9n tiene una figura de ocho, y toma la forma de la lemniscata de Gerono cuando se proyecta sobre un plano.<\/span><\/p>\n<h1><a href=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2020\/11\/Lemniscata-de-Gerono.jpg\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone wp-image-851\" src=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2020\/11\/Lemniscata-de-Gerono-300x161.jpg\" alt=\"\" width=\"427\" height=\"229\" srcset=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2020\/11\/Lemniscata-de-Gerono-300x161.jpg 300w, https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2020\/11\/Lemniscata-de-Gerono-768x411.jpg 768w, https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2020\/11\/Lemniscata-de-Gerono-24x13.jpg 24w, https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2020\/11\/Lemniscata-de-Gerono-36x19.jpg 36w, https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2020\/11\/Lemniscata-de-Gerono-48x26.jpg 48w, https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2020\/11\/Lemniscata-de-Gerono.jpg 962w\" sizes=\"(max-width: 427px) 100vw, 427px\" \/><\/a><\/h1>\n<h1 class=\"western\" style=\"text-align: left\"><span style=\"color: #00000a;font-size: 12pt\"><span style=\"font-family: Arial, serif\">Curvas trigonom\u00e9tricas<\/span><\/span><\/h1>\n<h1 style=\"text-align: left\"><span style=\"font-family: 'Times New Roman', serif;font-size: 12pt\"><span style=\"font-family: Arial, serif\">Son curvas planas y abiertas, representaci\u00f3n gr\u00e1fica de las funciones seno, coseno y tangente.<\/span><\/span><\/h1>\n<h1 class=\"western\" style=\"text-align: left\"><span style=\"color: #00000a;font-size: 12pt\"><span style=\"font-family: Arial, serif\">CONSTRUCCI\u00d3N DE LA SENOIDE O SINUSOIDE. CURVA GR\u00c1FICA DEL SENO.<\/span><\/span><\/h1>\n<h1 style=\"text-align: left\"><span style=\"font-family: 'Times New Roman', serif;font-size: 12pt\"><span style=\"font-family: Arial, serif\">Dividimos la circunferencia en un n\u00famero cualquiera de partes iguales y en ese mismo n\u00famero de partes la rectificaci\u00f3n de la circunferencia AB dispuesta en la misma direcci\u00f3n que el radio horizontal. Trazamos perpendiculares al segmento AB por las divisiones obtenidas.&nbsp;Trazamos paralelas al segmento AB por las divisiones de la circunferencia obteniendo puntos de la curva donde se cortan con las normales correspondientes Los puntos as\u00ed obtenidos se unen ordenadamente a mano alzada o con plantilla de curvas.<\/span><\/span><\/h1>\n<h1 style=\"text-align: left\"><span style=\"font-size: 12pt\"><a href=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2019\/12\/tecnicas21_trigonometricas.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-217 alignright\" src=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2019\/12\/tecnicas21_trigonometricas-300x95.png\" alt=\"\" width=\"429\" height=\"136\" srcset=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2019\/12\/tecnicas21_trigonometricas-300x95.png 300w, https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2019\/12\/tecnicas21_trigonometricas-768x244.png 768w, https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2019\/12\/tecnicas21_trigonometricas-24x8.png 24w, https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2019\/12\/tecnicas21_trigonometricas-36x11.png 36w, https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2019\/12\/tecnicas21_trigonometricas-48x15.png 48w, https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2019\/12\/tecnicas21_trigonometricas.png 1000w\" sizes=\"(max-width: 429px) 100vw, 429px\" \/><\/a><\/span><\/h1>\n<h1 style=\"text-align: left\"><span style=\"font-family: Arial, serif;font-size: 12pt\">Curvas trigonom\u00e9tricas: gr\u00e1fica del seno, gr\u00e1fica de la funci\u00f3n coseno y gr\u00e1fica de la funci\u00f3n tangente.<\/span><\/h1>\n<h1 class=\"western\" style=\"text-align: left\"><span style=\"color: #00000a;font-size: 12pt\"><span style=\"font-family: Arial, serif\">CONSTRUCCI\u00d3N DE LA CURVA GR\u00c1FICA DE LA FUNCI\u00d3N COSENO.<\/span><\/span><\/h1>\n<h1 style=\"text-align: left\"><span style=\"font-family: 'Times New Roman', serif;font-size: 12pt\"><span style=\"font-family: Arial, serif\">En la gr\u00e1fica del seno, comenzamos a numerar las divisiones a partir del di\u00e1metro horizontal. Para trazar la gr\u00e1fica del coseno se procede de igual forma que en el ejercicio anterior pero comenzando la numeraci\u00f3n de las divisiones de la circunferencia a partir del di\u00e1metro vertical.<\/span><\/span><\/h1>\n<h1 style=\"text-align: left\"><span style=\"font-size: 12pt\"><a href=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2019\/12\/tecnicas21_trigonometricas.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-217 alignright\" src=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2019\/12\/tecnicas21_trigonometricas-300x95.png\" alt=\"\" width=\"429\" height=\"136\" srcset=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2019\/12\/tecnicas21_trigonometricas-300x95.png 300w, https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2019\/12\/tecnicas21_trigonometricas-768x244.png 768w, https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2019\/12\/tecnicas21_trigonometricas-24x8.png 24w, https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2019\/12\/tecnicas21_trigonometricas-36x11.png 36w, https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2019\/12\/tecnicas21_trigonometricas-48x15.png 48w, https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2019\/12\/tecnicas21_trigonometricas.png 1000w\" sizes=\"(max-width: 429px) 100vw, 429px\" \/><\/a><\/span><\/h1>\n<h1 style=\"text-align: left\"><span style=\"font-family: Arial, serif;font-size: 12pt\">Curvas trigonom\u00e9tricas: gr\u00e1fica del seno, gr\u00e1fica de la funci\u00f3n coseno y gr\u00e1fica de la funci\u00f3n tangente.<\/span><\/h1>\n<h1 style=\"text-align: left\">&nbsp;<\/h1>\n<h1 class=\"western\" style=\"text-align: left\"><span style=\"color: #00000a;font-size: 12pt\"><span style=\"font-family: Arial, serif\">CONSTRUCCI\u00d3N DE LA CURVA GR\u00c1FICA DE LA FUNCI\u00d3N TANGENTE.<\/span><\/span><\/h1>\n<h1 style=\"text-align: left\"><span style=\"font-family: 'Times New Roman', serif;font-size: 12pt\"><span style=\"font-family: Arial, serif\">Dividimos la circunferencia y numeramos estas divisiones de igual modo que lo hicimos en la gr\u00e1fica del seno. Rectificamos de igual modo la circunferencia, dividimos el segmento AB y trazamos las perpendicular por estas divisiones. Trazamos rectas tangentes a la circunferencia por los extremos del di\u00e1metro horizontal y prolongamos los di\u00e1metros que pasan por las divisiones hasta cortar a estas tangentes. Desde estos puntos de corte se trazan paralelas al segmento AB hasta cortar a las normales correspondientes.<\/span><\/span><\/h1>\n<h1 style=\"text-align: left\"><span style=\"font-family: 'Times New Roman', serif;font-size: 12pt\"><span style=\"font-family: Arial, serif\">El di\u00e1metro vertical, paralelo a las rectas tangentes, se corta con ellas en el infinito, la representaci\u00f3n gr\u00e1fica de la funci\u00f3n tangente tendr\u00e1 por tanto los puntos correspondientes a las divisiones 4 y 10 en el infinito pues son puntos asint\u00f3ticos (as\u00edntota: tangente a la curva en el infinito).<\/span><\/span><\/h1>\n<h1 style=\"text-align: left\">&nbsp;<\/h1>\n<h1 style=\"text-align: left\"><span style=\"font-size: 12pt\"><a href=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2019\/12\/tecnicas21_trigonometricas.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-217 alignnone\" src=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2019\/12\/tecnicas21_trigonometricas-300x95.png\" alt=\"\" width=\"429\" height=\"136\" srcset=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2019\/12\/tecnicas21_trigonometricas-300x95.png 300w, https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2019\/12\/tecnicas21_trigonometricas-768x244.png 768w, https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2019\/12\/tecnicas21_trigonometricas-24x8.png 24w, https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2019\/12\/tecnicas21_trigonometricas-36x11.png 36w, https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2019\/12\/tecnicas21_trigonometricas-48x15.png 48w, https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2019\/12\/tecnicas21_trigonometricas.png 1000w\" sizes=\"(max-width: 429px) 100vw, 429px\" \/><\/a><span style=\"font-family: Arial, serif\">Construcci\u00f3n de curvas trigonom\u00e9tricas.<\/span><\/span><\/h1>\n<h1 style=\"text-align: left\">&nbsp;<\/h1>\n<h3><span id=\"Lemniscata_de_Booth\" class=\"mw-headline\">Lemniscata de Booth<\/span><\/h3>\n<div class=\"thumb tright\">\n<div class=\"thumbinner\">\n<p><a class=\"image\" href=\"https:\/\/commons.wikimedia.org\/wiki\/File:Lemniscate_of_Booth.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"thumbimage\" src=\"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/d\/d1\/Lemniscate_of_Booth.png\/280px-Lemniscate_of_Booth.png\" alt=\"\" width=\"280\" height=\"140\" data-file-width=\"3700\" data-file-height=\"1848\"><\/a><\/p>\n<div class=\"thumbcaption\">\n<div class=\"magnify\">&nbsp;<\/div>\n<p><a title=\"Hipopoda\" href=\"https:\/\/es.wikipedia.org\/wiki\/Hipopoda\">Lemniscata de Booth<\/a><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p><span style=\"font-size: 1rem\">La consideraci\u00f3n de las curvas con una figura en forma de ocho se remonta a <\/span><a style=\"font-size: 1rem\" title=\"Proclo\" href=\"https:\/\/es.wikipedia.org\/wiki\/Proclo\">Proclo<\/a><span style=\"font-size: 1rem\">, un fil\u00f3sofo y matem\u00e1tico griego del&nbsp;<\/span><a style=\"font-size: 1rem\" title=\"Neoplatonismo\" href=\"https:\/\/es.wikipedia.org\/wiki\/Neoplatonismo\">neoplatonismo<\/a><span style=\"font-size: 1rem\">&nbsp;que vivi\u00f3 en el siglo V a. C. Proclo consider\u00f3 las&nbsp;<\/span><a style=\"font-size: 1rem\" title=\"Secci\u00f3n t\u00f3rica\" href=\"https:\/\/es.wikipedia.org\/wiki\/Secci%C3%B3n_t%C3%B3rica\">secciones de un toro<\/a><span style=\"font-size: 1rem\">&nbsp;por planos paralelos al eje del&nbsp;<\/span><a style=\"font-size: 1rem\" title=\"Toro (geometr\u00eda)\" href=\"https:\/\/es.wikipedia.org\/wiki\/Toro_(geometr%C3%ADa)\">toro<\/a><span style=\"font-size: 1rem\">. Como observ\u00f3, para la mayor\u00eda de las secciones, la secci\u00f3n transversal consiste en uno o dos \u00f3valos; sin embargo, cuando el plano es&nbsp;<\/span><a style=\"font-size: 1rem\" title=\"Tangente (geometr\u00eda)\" href=\"https:\/\/es.wikipedia.org\/wiki\/Tangente_(geometr%C3%ADa)\">tangente<\/a><span style=\"font-size: 1rem\">&nbsp;a la superficie interna del toro, la secci\u00f3n transversal toma una figura con forma de ocho, a la que denomin\u00f3 con la palabra griega&nbsp;<\/span><i style=\"font-size: 1rem\"><a title=\"Hipopoda\" href=\"https:\/\/es.wikipedia.org\/wiki\/Hipopoda\">hipopoda<\/a><\/i><span style=\"font-size: 1rem\">&nbsp;(por su similitud con la atadura utilizada para inmovilizar dos de las patas de un caballo manteni\u00e9ndolas juntas). El nombre \u00ablemniscata de Booth\u00bb para esta curva se remonta a su estudio por parte del matem\u00e1tico del siglo XIX&nbsp;<\/span><a style=\"font-size: 1rem\" title=\"James Booth (matem\u00e1tico)\" href=\"https:\/\/es.wikipedia.org\/wiki\/James_Booth_(matem%C3%A1tico)\">James Booth<\/a><span style=\"font-size: 1rem\">.<\/span><sup id=\"cite_ref-lemniscatomy_1-2\" class=\"reference separada\"><a href=\"https:\/\/es.wikipedia.org\/wiki\/Lemniscata#cite_note-lemniscatomy-1\">1<\/a><\/sup><span style=\"font-size: 1rem\">\u200b<\/span><\/p>\n<p>La lemniscata se puede definir como un&nbsp;<a title=\"Curva algebraica\" href=\"https:\/\/es.wikipedia.org\/wiki\/Curva_algebraica\">curva algebraica<\/a>, el conjunto de ceros del&nbsp;<a class=\"new\" title=\"Polinomio cu\u00e1rtico (a\u00fan no redactado)\" href=\"https:\/\/es.wikipedia.org\/w\/index.php?title=Polinomio_cu%C3%A1rtico&amp;action=edit&amp;redlink=1\">polinomio cu\u00e1rtico<\/a>&nbsp;<span class=\"mwe-math-element\"><span class=\"mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y\">{\\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}-cx^{2}-dy^{2}}<\/span><img decoding=\"async\" class=\"mwe-math-fallback-image-inline\" src=\"https:\/\/wikimedia.org\/api\/rest_v1\/media\/math\/render\/svg\/15c5decf63446033f2ed4c386d629291689cbf3a\" alt=\"{\\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}-cx^{2}-dy^{2}}\" aria-hidden=\"true\"><\/span>&nbsp;cuando el par\u00e1metro&nbsp;<i>d<\/i>&nbsp;es negativo. Para valores positivos de&nbsp;<i>d<\/i>&nbsp;se obtiene una&nbsp;<a title=\"Hipopoda\" href=\"https:\/\/es.wikipedia.org\/wiki\/Hipopoda\">hipopoda<\/a>.<\/p>\n<h3>&nbsp;<\/h3>\n<div class=\"thumb tright\">&nbsp;<\/div>\n<p>Otras curvas<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<h1 style=\"text-align: left\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"\" src=\"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/8\/80\/Devils_curve_a%3D0.8_b%3D1.svg\/120px-Devils_curve_a%3D0.8_b%3D1.svg.png\" width=\"178\" height=\"178\"><\/h1>\n<p>Curva del diablo<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"\" src=\"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/thumb\/9\/90\/Besace.png\/120px-Besace.png\" width=\"181\" height=\"130\"><\/p>\n<p>Besace<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<h1>&nbsp;<\/h1>\n<h1>&nbsp;<\/h1>\n<h1>&nbsp;<\/h1>\n<h1 style=\"text-align: left\"><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif;font-size: 12pt\"><strong>CURVAS C\u00d3NICAS<\/strong><\/span><\/h1>\n<h1><img decoding=\"async\" class=\"slide_image\" src=\"https:\/\/image.slidesharecdn.com\/apuntes-130107110708-phpapp02\/95\/apuntes-curvas-cnicas-dibujo-tcnico-2-bachillerato-1-638.jpg?cb=1357556876\" alt=\"2\u00ba BACH. TEMA 8: CURVAS C\u00d3NICASELIPSETangente y normal a una elipse en un punto de la misma. La recta tangente a una...\" data-small=\"https:\/\/image.slidesharecdn.com\/apuntes-130107110708-phpapp02\/85\/apuntes-curvas-cnicas-dibujo-tcnico-2-bachillerato-1-320.jpg?cb=1357556876\" data-normal=\"https:\/\/image.slidesharecdn.com\/apuntes-130107110708-phpapp02\/95\/apuntes-curvas-cnicas-dibujo-tcnico-2-bachillerato-1-638.jpg?cb=1357556876\" data-full=\"https:\/\/image.slidesharecdn.com\/apuntes-130107110708-phpapp02\/95\/apuntes-curvas-cnicas-dibujo-tcnico-2-bachillerato-1-1024.jpg?cb=1357556876\"><\/h1>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"slide_image\" src=\"https:\/\/image.slidesharecdn.com\/apuntes-130107110708-phpapp02\/95\/apuntes-curvas-cnicas-dibujo-tcnico-2-bachillerato-2-638.jpg?cb=1357556876\" alt=\"Tangentes a una elipse paralelas a una direcci\u00f3n dada d.Primero buscaremos los sim\u00e9tricos de F2 con respecto a las tangent...\" data-small=\"https:\/\/image.slidesharecdn.com\/apuntes-130107110708-phpapp02\/85\/apuntes-curvas-cnicas-dibujo-tcnico-2-bachillerato-2-320.jpg?cb=1357556876\" data-normal=\"https:\/\/image.slidesharecdn.com\/apuntes-130107110708-phpapp02\/95\/apuntes-curvas-cnicas-dibujo-tcnico-2-bachillerato-2-638.jpg?cb=1357556876\" data-full=\"https:\/\/image.slidesharecdn.com\/apuntes-130107110708-phpapp02\/95\/apuntes-curvas-cnicas-dibujo-tcnico-2-bachillerato-2-1024.jpg?cb=1357556876\"><\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"slide_image\" src=\"https:\/\/image.slidesharecdn.com\/apuntes-130107110708-phpapp02\/95\/apuntes-curvas-cnicas-dibujo-tcnico-2-bachillerato-3-638.jpg?cb=1357556876\" alt=\"VALGAN LAS EXPLICACIONES ANTERIORES DE LAPAR\u00c1BOLA ELIPSE, TENIENDO EN CUENTA LAS VARIACIONES DE ...\" data-small=\"https:\/\/image.slidesharecdn.com\/apuntes-130107110708-phpapp02\/85\/apuntes-curvas-cnicas-dibujo-tcnico-2-bachillerato-3-320.jpg?cb=1357556876\" data-normal=\"https:\/\/image.slidesharecdn.com\/apuntes-130107110708-phpapp02\/95\/apuntes-curvas-cnicas-dibujo-tcnico-2-bachillerato-3-638.jpg?cb=1357556876\" data-full=\"https:\/\/image.slidesharecdn.com\/apuntes-130107110708-phpapp02\/95\/apuntes-curvas-cnicas-dibujo-tcnico-2-bachillerato-3-1024.jpg?cb=1357556876\"><\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"slide_image\" src=\"https:\/\/image.slidesharecdn.com\/apuntes-130107110708-phpapp02\/95\/apuntes-curvas-cnicas-dibujo-tcnico-2-bachillerato-4-638.jpg?cb=1357556876\" alt=\"Tangentes a una PAR\u00c1BOLA paralelas a una direcci\u00f3n dada d. Puntos de intersecci\u00f3n de una recta con una PAR\u00c1BOLA ...\" data-small=\"https:\/\/image.slidesharecdn.com\/apuntes-130107110708-phpapp02\/85\/apuntes-curvas-cnicas-dibujo-tcnico-2-bachillerato-4-320.jpg?cb=1357556876\" data-normal=\"https:\/\/image.slidesharecdn.com\/apuntes-130107110708-phpapp02\/95\/apuntes-curvas-cnicas-dibujo-tcnico-2-bachillerato-4-638.jpg?cb=1357556876\" data-full=\"https:\/\/image.slidesharecdn.com\/apuntes-130107110708-phpapp02\/95\/apuntes-curvas-cnicas-dibujo-tcnico-2-bachillerato-4-1024.jpg?cb=1357556876\"><\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"slide_image\" src=\"https:\/\/image.slidesharecdn.com\/apuntes-130107110708-phpapp02\/95\/apuntes-curvas-cnicas-dibujo-tcnico-2-bachillerato-5-638.jpg?cb=1357556876\" alt=\"VALGAN LAS EXPLICACIONES ANTERIORES DE LA ELIPSE, TENIENDO EN CUENTA LAS VARIACIONES DEHIP\u00c9RBOLA...\" data-small=\"https:\/\/image.slidesharecdn.com\/apuntes-130107110708-phpapp02\/85\/apuntes-curvas-cnicas-dibujo-tcnico-2-bachillerato-5-320.jpg?cb=1357556876\" data-normal=\"https:\/\/image.slidesharecdn.com\/apuntes-130107110708-phpapp02\/95\/apuntes-curvas-cnicas-dibujo-tcnico-2-bachillerato-5-638.jpg?cb=1357556876\" data-full=\"https:\/\/image.slidesharecdn.com\/apuntes-130107110708-phpapp02\/95\/apuntes-curvas-cnicas-dibujo-tcnico-2-bachillerato-5-1024.jpg?cb=1357556876\"><\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"slide_image\" src=\"https:\/\/image.slidesharecdn.com\/apuntes-130107110708-phpapp02\/95\/apuntes-curvas-cnicas-dibujo-tcnico-2-bachillerato-6-638.jpg?cb=1357556876\" alt=\"Tangentes a una HIP\u00c9RBOLA paralelas a una direcci\u00f3n dada d. ...\" data-small=\"https:\/\/image.slidesharecdn.com\/apuntes-130107110708-phpapp02\/85\/apuntes-curvas-cnicas-dibujo-tcnico-2-bachillerato-6-320.jpg?cb=1357556876\" data-normal=\"https:\/\/image.slidesharecdn.com\/apuntes-130107110708-phpapp02\/95\/apuntes-curvas-cnicas-dibujo-tcnico-2-bachillerato-6-638.jpg?cb=1357556876\" data-full=\"https:\/\/image.slidesharecdn.com\/apuntes-130107110708-phpapp02\/95\/apuntes-curvas-cnicas-dibujo-tcnico-2-bachillerato-6-1024.jpg?cb=1357556876\"><\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"slide_image\" src=\"https:\/\/image.slidesharecdn.com\/apuntes-130107110708-phpapp02\/95\/apuntes-curvas-cnicas-dibujo-tcnico-2-bachillerato-7-638.jpg?cb=1357556876\" alt=\"ELIPSE La elipse es una curva cerrada y plana, cuyos puntos constituyen un lugargeom\u00e9trico que tiene la propie...\" data-small=\"https:\/\/image.slidesharecdn.com\/apuntes-130107110708-phpapp02\/85\/apuntes-curvas-cnicas-dibujo-tcnico-2-bachillerato-7-320.jpg?cb=1357556876\" data-normal=\"https:\/\/image.slidesharecdn.com\/apuntes-130107110708-phpapp02\/95\/apuntes-curvas-cnicas-dibujo-tcnico-2-bachillerato-7-638.jpg?cb=1357556876\" data-full=\"https:\/\/image.slidesharecdn.com\/apuntes-130107110708-phpapp02\/95\/apuntes-curvas-cnicas-dibujo-tcnico-2-bachillerato-7-1024.jpg?cb=1357556876\"><\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"slide_image\" src=\"https:\/\/image.slidesharecdn.com\/apuntes-130107110708-phpapp02\/95\/apuntes-curvas-cnicas-dibujo-tcnico-2-bachillerato-8-638.jpg?cb=1357556876\" alt=\"PAR\u00c1BOLA La par\u00e1bola es una curva plana, abierta y de una rama. Se define como el lugargeom\u00e9trico de los pu...\" data-small=\"https:\/\/image.slidesharecdn.com\/apuntes-130107110708-phpapp02\/85\/apuntes-curvas-cnicas-dibujo-tcnico-2-bachillerato-8-320.jpg?cb=1357556876\" data-normal=\"https:\/\/image.slidesharecdn.com\/apuntes-130107110708-phpapp02\/95\/apuntes-curvas-cnicas-dibujo-tcnico-2-bachillerato-8-638.jpg?cb=1357556876\" data-full=\"https:\/\/image.slidesharecdn.com\/apuntes-130107110708-phpapp02\/95\/apuntes-curvas-cnicas-dibujo-tcnico-2-bachillerato-8-1024.jpg?cb=1357556876\"><\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"slide_image\" src=\"https:\/\/image.slidesharecdn.com\/apuntes-130107110708-phpapp02\/95\/apuntes-curvas-cnicas-dibujo-tcnico-2-bachillerato-9-638.jpg?cb=1357556876\" alt=\"hip\u00e9rbola La hip\u00e9rbola es una curva plana, abierta, con dos ramas; se define como el lugargeom\u00e9trico de los pun...\" data-small=\"https:\/\/image.slidesharecdn.com\/apuntes-130107110708-phpapp02\/85\/apuntes-curvas-cnicas-dibujo-tcnico-2-bachillerato-9-320.jpg?cb=1357556876\" data-normal=\"https:\/\/image.slidesharecdn.com\/apuntes-130107110708-phpapp02\/95\/apuntes-curvas-cnicas-dibujo-tcnico-2-bachillerato-9-638.jpg?cb=1357556876\" data-full=\"https:\/\/image.slidesharecdn.com\/apuntes-130107110708-phpapp02\/95\/apuntes-curvas-cnicas-dibujo-tcnico-2-bachillerato-9-1024.jpg?cb=1357556876\"><\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"slide_image\" src=\"https:\/\/image.slidesharecdn.com\/apuntes-130107110708-phpapp02\/95\/apuntes-curvas-cnicas-dibujo-tcnico-2-bachillerato-10-638.jpg?cb=1357556876\" alt=\"Apuntes curvas c\u00f3nicas dibujo t\u00e9cnico 2\u00ba Bachillerato\" data-small=\"https:\/\/image.slidesharecdn.com\/apuntes-130107110708-phpapp02\/85\/apuntes-curvas-cnicas-dibujo-tcnico-2-bachillerato-10-320.jpg?cb=1357556876\" 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arial, helvetica, sans-serif\">Consideraciones generales sobre las curvas c\u00f3nicas<\/span><\/h1>\n<h1>&nbsp;<\/h1>\n<h1 class=\"western\" align=\"JUSTIFY\"><span style=\"color: #333333;font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Definici\u00f3n<\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"color: #666666;font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Se denomina superficie c\u00f3nica de revoluci\u00f3n, a la superficie generada por una recta denominada generatriz, al girar entorno a otra recta denominada eje.<\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #666666\">El punto donde la generatriz corta al eje se denomina v\u00e9rtice&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">V<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;de la superficie c\u00f3nica.<\/span><span style=\"color: #2ea3f2\"><a href=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/Generar-curva-conica.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/Generar-curva-conica.png\" alt=\"Generar curva c\u00f3nica\" width=\"125\" height=\"298\" align=\"BOTTOM\" border=\"0\"><\/a><\/span><\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"color: #666666;font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Si un plano \u03b1, intercepta a una superficie c\u00f3nica de revoluci\u00f3n, la secci\u00f3n producida se denomina superficie c\u00f3nica, y su contorno es una curva plana de segundo grado.<\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #666666\">Las curvas c\u00f3nicas propiamente dichas son tres&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">Elipse<\/span><span style=\"color: #666666\">,&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">Par\u00e1bola<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;e&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">Hip\u00e9rbola<\/span><span style=\"color: #666666\">.<\/span><\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #666666\">La&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">Elipse<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;se genera cuando el plano \u03b1 es oblicuo respecto al eje, y corta a todas las generatrices.<\/span><\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #666666\">La&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">Par\u00e1bola<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;se genera cuando el plano a es paralelo a&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">una<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;generatriz.<\/span><\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #666666\">La&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">Hip\u00e9rbola<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;se genera cuando el plano a es paralelo a&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">dos<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;generatrices. Por cuestiones did\u00e1cticas y de mejor comprensi\u00f3n, se suele representar utilizando un plano a paralelo al eje de la superficie c\u00f3nica de revoluci\u00f3n.<\/span><span style=\"color: #2ea3f2\"><a href=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/curvas-conicas-00.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/curvas-conicas-00.png\" alt=\"curvas conicas 00\" width=\"643\" height=\"202\" align=\"BOTTOM\" border=\"0\"><\/a><\/span><\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"color: #666666;font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\">En la siguiente figuras puedes apreciar mejor en rojo, las curvas c\u00f3nicas obtenidas.<\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"color: #2ea3f2;font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><a href=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/curvas-conicas-01.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/curvas-conicas-01.png\" alt=\"curvas conicas 01\" width=\"643\" height=\"284\" align=\"BOTTOM\" border=\"0\"><\/a><\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"color: #666666;font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Al interceptar una superficie c\u00f3nica de revoluci\u00f3n con un plano, podemos contemplar dos \u00e1ngulos, el a formado por el eje y la generatriz, y el \u03b2 formado por el eje y el plano de corte.<\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"color: #666666;font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\">La relaci\u00f3n entre estos \u00e1ngulos determina el tipo c\u00f3nica generada, como se puede apreciar en las figuras siguientes.<\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"color: #2ea3f2;font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><a href=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/curvas-conicas-02.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/curvas-conicas-02.png\" alt=\"curvas conicas 02\" width=\"643\" height=\"198\" align=\"BOTTOM\" border=\"0\"><\/a><\/span><\/h1>\n<h1 class=\"western\" align=\"JUSTIFY\"><span style=\"color: #333333;font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\">C\u00f3nicas singulares o degeneradas<\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #666666\">En funci\u00f3n de la posici\u00f3n del plano de corte y las propiedades del cono, se pueden obtener otras curvas c\u00f3nicas que se denominan&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">singulares<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;o&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">degeneradas<\/span><span style=\"color: #666666\">.<\/span><\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"color: #2ea3f2;font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><a href=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/curvas-conicas-03.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/curvas-conicas-03.png\" alt=\"curvas conicas 03\" width=\"659\" height=\"108\" border=\"0\"><\/a><\/span><\/h1>\n<h1 class=\"western\" align=\"JUSTIFY\"><span style=\"color: #333333;font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Teorema de Dandel\u00edn<\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #666666\">Seg\u00fan el teorema de Dandel\u00edn, si trazamos las esferas tangentes interiores a la superficie c\u00f3nica de revoluci\u00f3n y al plano el a que la corta, los puntos de intersecci\u00f3n&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">f<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;y&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">f\u2019<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;de dicha esfera con la recta&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">r<\/span><span style=\"color: #666666\">, eje de las curvas c\u00f3nicas, son los denominados focos de las curvas.<\/span><\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"color: #666666;font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Mientras en la elipse y en la hip\u00e9rbola hay dos focos, en la par\u00e1bola solo tendremos uno.<\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"color: #999999;font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><a href=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/curvas-conicas-04.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/curvas-conicas-04.png\" alt=\"curvas conicas 04\" width=\"525\" height=\"188\" align=\"BOTTOM\" border=\"0\"><\/a><\/span><\/h1>\n<h1 class=\"western\"><span style=\"color: #333333;font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\">La Elipse<\/span><\/h1>\n<h1 class=\"western\" align=\"JUSTIFY\"><span style=\"color: #333333;font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Definici\u00f3n<\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #666666\">La elipse es una curva cerrada y plana, que se define como el lugar geom\u00e9trico de los puntos del plano cuya suma de distancias&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">r<\/span><span style=\"color: #666666\">+<\/span><span style=\"color: #666666\">r\u2019<\/span><span style=\"color: #666666\">, a dos puntos fijos&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">F<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;y&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">F\u2019<\/span><span style=\"color: #666666\">, denominados focos, es constante e igual a&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">2a<\/span><span style=\"color: #666666\">, siendo&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">2a<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;la longitud del&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">eje mayor A-B<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;de la elipse.<\/span><\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #666666\">La elipse tiene dos eje, el&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">eje mayor A-B<\/span><span style=\"color: #666666\">, tambi\u00e9n llamado real, y el&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">eje menor C-D<\/span><span style=\"color: #666666\">, ambos se cruzan perpendicularmente en el centro&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">O<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;de la elipse.<\/span><\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #666666\">La longitud del eje mayor es&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">2a<\/span><span style=\"color: #666666\">, la del eje menor&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">2b<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;y la distancia focal&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">2c<\/span><span style=\"color: #666666\">, y se cumple que&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">a\u00b2 = b\u00b2 + c\u00b2<\/span><span style=\"color: #666666\">.<\/span><\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"color: #666666;font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\">La elipse es sim\u00e9trica respecto a los dos ejes.<\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #666666\">Las rectas que unen un punto cualquiera de la elipse P, con los focos, se denominan&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">radios vectores r<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;y&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">r\u2019<\/span><span style=\"color: #666666\">, y por definici\u00f3n se cumple que&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">r&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">+&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">r\u2019<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;=&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">2a<\/span><span style=\"color: #666666\">.<\/span><span style=\"color: #2ea3f2\"><a href=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/Elipse-001-definicion.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/Elipse-001-definicion.png\" alt=\"Elipse 001 definicion\" width=\"393\" height=\"262\" align=\"BOTTOM\" border=\"0\"><\/a><\/span><\/span><\/h1>\n<h1 class=\"western\" align=\"JUSTIFY\"><span style=\"color: #333333;font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Propiedades y elementos<\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #666666\">Se denomina&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">circunferencia principal Cp<\/span><span style=\"color: #666666\">, a la circunferencia de centro&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">O<\/span><span style=\"color: #666666\">, y di\u00e1metro&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">2a<\/span><span style=\"color: #666666\">. La circunferencia principal, se define como el lugar geom\u00e9trico de los pies de las perpendiculares(Q), trazadas desde los focos a las tangentes (t) de la elipse. Tambi\u00e9n se puede definir como el punto medio de los segmentos que unen un foco, con la circunferencia focal del otro foco, y las mediatrices de dichos segmentos, son tangentes a la elipse<\/span><\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #666666\">Se denomina&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">circunferencia focal Cf<\/span><span style=\"color: #666666\">, a la circunferencia de centro en uno de los focos de la elipse, y radio 2a. En una elipse se podr\u00e1n trazar dos circunferencias focales. La circunferencia focal, se define como el lugar geom\u00e9trico de los puntos sim\u00e9tricos del otro foco (F1), respecto a las tangentes (t) de la elipse.<\/span><\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"color: #666666;font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Observando la figura, tambi\u00e9n podemos definir la elipse, como el lugar geom\u00e9trico de los centros de circunferencia que pasan por un foco, y son tangentes a la circunferencia focal del otro foco.<\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"color: #666666;font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #2ea3f2\"><a href=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/Elipse-002-elementos-de-la-elipse.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/Elipse-002-elementos-de-la-elipse.png\" alt=\"Elipse 002 elementos de la elipse\" width=\"389\" height=\"339\" align=\"BOTTOM\" border=\"0\"><\/a><\/span><\/span><\/h1>\n<h1 class=\"western\" align=\"JUSTIFY\"><span style=\"color: #333333;font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Concepto de di\u00e1metros conjugados<\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #666666\">Si tenemos un di\u00e1metro de la elipse&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">A\u2019B\u2019<\/span><span style=\"color: #666666\">, el di\u00e1metro conjugado con \u00e9l, es el lugar geom\u00e9trico de los centros de las cuerdas paralelas a dicho di\u00e1metro (1, 2, 3, 4, etc.), estos centros determinan el di\u00e1metro conjugado&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">D\u2019C\u2019<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;del dado.<\/span><\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"color: #666666;font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Los ejes reales de la elipse, son los \u00fanicos di\u00e1metros conjugados perpendiculares entre si.<\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"color: #666666;font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Mediante dos di\u00e1metros conjugados, podremos construir la elipse directamente, o bien obtener los ejes reales de la misma.<\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"color: #666666;font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #2ea3f2\"><a href=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/Elipse-003-diametros-conjugados.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/Elipse-003-diametros-conjugados.png\" alt=\"Elipse 003 diametros conjugados\" width=\"342\" height=\"222\" align=\"BOTTOM\" border=\"0\"><\/a><\/span><\/span><\/h1>\n<h1 class=\"western\" align=\"JUSTIFY\"><span style=\"color: #333333;font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Obtenci\u00f3n de los ejes reales, a partir de dos ejes conjugados<\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #666666\">Dados los ejes conjugados de una elipse&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">A\u2019B\u2019<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;y&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">C\u2019D\u2019<\/span><span style=\"color: #666666\">, podremos obtener a partir de ellos los ejes reales de la elipse, para ello seguiremos los siguientes pasos:<\/span><\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #666666\">1.- Por&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">O<\/span><span style=\"color: #666666\">, centro de la elipse, trazaremos la perpendicular al eje conjugado&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">A\u2019B\u2019<\/span><span style=\"color: #666666\">, y sobre el llevaremos la distancia&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">O-A\u2019<\/span><span style=\"color: #666666\">, determinando el punto&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">1<\/span><span style=\"color: #666666\">.<br \/>\n2.- Uniremos el punto&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">1<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;con&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">C\u2019<\/span><span style=\"color: #666666\">, y determinaremos el punto medio&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">2<\/span><span style=\"color: #666666\">, de dicho segmento.<br \/>\n3.- Con centro en&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">2<\/span><span style=\"color: #666666\">, trazaremos un arco de radio&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">2-O<\/span><span style=\"color: #666666\">, que determinar\u00e1 sobre la prolongaci\u00f3n del segmento&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">1-C\u2019<\/span><span style=\"color: #666666\">, los puntos&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">3<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;y&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">4<\/span><span style=\"color: #666666\">. Las rectas&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">O-3<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;y&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">O-4<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;determinan las direcciones perpendiculares de los ejes reales de la elipse.<br \/>\n4.- Con centro en&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">2<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;trazaremos la circunferencia de di\u00e1metro&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">1-C\u2019<\/span><span style=\"color: #666666\">. Uniendo el centro&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">O<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;con&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">2<\/span><span style=\"color: #666666\">, determinaremos sobre dicha circunferencia, los puntos&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">5<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;y&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">6<\/span><span style=\"color: #666666\">, siendo las distancias&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">O-5<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;y&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">O-6<\/span><span style=\"color: #666666\">, las dimensiones de los semiejes reales de la elipse.<br \/>\n5.- Solo resta llevar, mediante los correspondientes arcos de circunferencias, las dimensiones anteriores sobre las direcciones de los ejes, obteniendo as\u00ed los ejes reales de la elipse&nbsp;AB&nbsp;y&nbsp;CD<\/span><\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"> <span style=\"color: #666666\">.<\/span><span style=\"color: #2ea3f2\"><a href=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/Elipse-004-diametros-reales-a-partir-de-los-conjugados.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/Elipse-004-diametros-reales-a-partir-de-los-conjugados.png\" alt=\"Elipse 004 diametros reales a partir de los conjugados\" width=\"378\" height=\"312\" align=\"BOTTOM\" border=\"0\"><\/a><\/span><\/span><\/h1>\n<h1 class=\"western\" align=\"JUSTIFY\"><span style=\"color: #333333;font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Trazado de la elipse mediante radios vectores<\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #666666\">Teniendo en cuenta la definici\u00f3n de la elipse, como el lugar geom\u00e9trico de los puntos del plano, cuya suma de distancias a los focos es igual a&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">2a<\/span><span style=\"color: #666666\">, longitud del eje mayor de la elipse, solo necesitaremos coger pares de radios vectores, cuya suma sea&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">2a<\/span><span style=\"color: #666666\">, para ello determinaremos una serie de puntos sobre el eje mayor&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">1<\/span><span style=\"color: #666666\">,&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">2<\/span><span style=\"color: #666666\">,&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">3<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;etc., y cogeremos como parejas de radios vectores, los segmentos&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">A1-B1<\/span><span style=\"color: #666666\">,&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">A2-B2<\/span><span style=\"color: #666666\">,&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">A3-B3<\/span><span style=\"color: #666666\">, y as\u00ed sucesivamente, determinando los puntos&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">1\u2032<\/span><span style=\"color: #666666\">,&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">2\u2032<\/span><span style=\"color: #666666\">,&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">3\u2032<\/span><span style=\"color: #666666\">, etc. de la elipse.<\/span><\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"color: #666666;font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Con cada pareja de radios vectores, se determinar\u00e1n cuatro puntos de la elipse, uno en cada cuadrante de la misma.<\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"color: #666666;font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Cuanto mayor sea el n\u00famero de puntos, mayor ser\u00e1 la precisi\u00f3n del trazado de la elipse, que deber\u00e1 realizarse, o bien a mano alzada o mediante reglas flexibles, o plantillas de curvas especiales.<\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"color: #666666;font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #2ea3f2\"><a href=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/Elipse-005-construccion-por-puntos.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/Elipse-005-construccion-por-puntos.png\" alt=\"Elipse 005 construccion por puntos\" width=\"412\" height=\"265\" align=\"BOTTOM\" border=\"0\"><\/a><\/span><\/span><\/h1>\n<h1 class=\"western\" align=\"JUSTIFY\"><span style=\"color: #333333;font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Trazado de la elipse por haces proyectivos<\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #666666\">Trazaremos el rect\u00e1ngulo&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">AOCE<\/span><span style=\"color: #666666\">, y dividiremos los lados&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">AO<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;y&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">AE<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;en un mismo n\u00famero de partes iguales.<\/span><\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #666666\">Seguidamente iremos trazando las rectas&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">C1-D1<\/span><span style=\"color: #666666\">,&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">C2-D2<\/span><span style=\"color: #666666\">, etc. y en sus intersecciones iremos obteniendo puntos de la elipse. Esto se repetir\u00e1 para los cuatro cuadrantes de la elipse.<\/span><\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #2ea3f2\"><a href=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/Elipse-006-construccionpor-haces-proyectivos.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/Elipse-006-construccionpor-haces-proyectivos.png\" alt=\"Elipse 006 construccionpor haces proyectivos\" width=\"412\" height=\"265\" align=\"BOTTOM\" border=\"0\"><\/a><\/span><\/span><\/h1>\n<h1 class=\"western\" align=\"JUSTIFY\"><span style=\"color: #333333;font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Trazado de la elipse por haces proyectivos, dados dos ejes conjugados<\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #666666\">Trazaremos el romboide&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">A\u2019O\u2019C\u2019E\u2019<\/span><span style=\"color: #666666\">, y dividiremos los lados&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">A\u2019O\u2019<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;y&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">A\u2019E\u2019<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;en un mismo n\u00famero de partes iguales.<\/span><\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #666666\">Seguidamente iremos trazando las rectas&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">C\u20191-D\u20191<\/span><span style=\"color: #666666\">,&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">C\u20192-D\u20192<\/span><span style=\"color: #666666\">, etc. y en sus intersecciones iremos obteniendo puntos de la elipse. Esto se repetir\u00e1 para los cuatro cuadrantes de la elipse.<\/span><\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #2ea3f2\"><a href=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/Elipse-007-construccion-por-haces-proyectivos-dados-diametros-conjugados.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/Elipse-007-construccion-por-haces-proyectivos-dados-diametros-conjugados.png\" alt=\"Elipse 007 construccion por haces proyectivos dados diametros conjugados\" width=\"479\" height=\"239\" align=\"BOTTOM\" border=\"0\"><\/a><\/span><\/span><\/h1>\n<h1 class=\"western\" align=\"JUSTIFY\"><span style=\"color: #333333;font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Trazado de la elipse por envolventes<\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"color: #666666;font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Esta construcci\u00f3n se basa en el hecho de que la circunferencia principal de una elipse, es el lugar geom\u00e9trico de los pies de las perpendiculares trazadas desde los focos a las tangentes a la elipse.<\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"color: #666666;font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Para este trazado partiremos de puntos de la circunferencia principal, como el P, indicado en la figura. Uniremos dicho punto con el foco F, y trazaremos por P la perpendicular al segmento PF, obteniendo la recta t, tangente a la elipse. Repitiendo esta operaci\u00f3n, obtendremos una serie de tangentes que ir\u00e1n envolviendo a la elipse.<\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"color: #666666;font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #2ea3f2\"><a href=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/Elipse-008-construccion-por-envolventes.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/Elipse-008-construccion-por-envolventes.png\" alt=\"Elipse 008 construccion por envolventes\" width=\"420\" height=\"331\" align=\"BOTTOM\" border=\"0\"><\/a><\/span><\/span><\/h1>\n<h1 class=\"western\" align=\"JUSTIFY\"><span style=\"color: #333333;font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Trazado de la elipse a partir de circunferencias afines<\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #666666\">Comenzaremos trazando las circunferencias de centro&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">O<\/span><span style=\"color: #666666\">, y di\u00e1metros&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">AB<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;y&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">CD<\/span><span style=\"color: #666666\">.<\/span><\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #666666\">Seguidamente trazaremos radios como el&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">O1<\/span><span style=\"color: #666666\">, que corta a las circunferencias anteriores en los puntos&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">1<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;y&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">2<\/span><span style=\"color: #666666\">. Por dichos puntos trazaremos las paralelas a&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">CD<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;y&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">AB<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;respectivamente. Dichas paralelas se cortan en el punto&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">3<\/span><span style=\"color: #666666\">, que es de la elipse. El n\u00famero de radios trazados, ser\u00e1n los necesarios para definir suficientemente la elipse.<\/span><\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #2ea3f2\"><a href=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/Elipse-009-construccion-a-partir-de-circunferencias-afines.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/Elipse-009-construccion-a-partir-de-circunferencias-afines.png\" alt=\"Elipse 009 construccion a partir de circunferencias afines\" width=\"420\" height=\"331\" align=\"BOTTOM\" border=\"0\"><\/a><\/span><\/span><\/h1>\n<h1 class=\"western\" align=\"JUSTIFY\"><span style=\"color: #333333;font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Trazado de la elipse a partir de dos di\u00e1metros conjugados por tri\u00e1ngulos semejantes afines<\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #666666\">Partiendo de los ejes conjugados&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">A\u2019B\u2019<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;y&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">C\u2019D\u2019<\/span><span style=\"color: #666666\">, comenzaremos trazando la circunferencia de centro&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">O<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;y di\u00e1metro&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">A\u2019B\u2019<\/span><span style=\"color: #666666\">.<\/span><\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #666666\">Sobre la circunferencia anterior, trazaremos cuerdas perpendiculares a&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">A\u2019B\u2019<\/span><span style=\"color: #666666\">, como la&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">1-2<\/span><span style=\"color: #666666\">. Uniendo&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">2<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;con&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">C\u2019<\/span><span style=\"color: #666666\">, y&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">1<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;con&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">D\u2019<\/span><span style=\"color: #666666\">, obtendremos los tri\u00e1ngulos&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">O2C<\/span><span style=\"color: #666666\">\u2018 y&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">O1D\u2019<\/span><span style=\"color: #666666\">. Solo restar\u00e1 construir en el resto de cuerdas tri\u00e1ngulos semejantes a estos como el&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">MPN<\/span><span style=\"color: #666666\">, de lados paralelos al tri\u00e1ngulo&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">O2C\u2019<\/span><span style=\"color: #666666\">, obteniendo as\u00ed <\/span><\/span><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #666666\">puntosde la elipse<\/span><\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #666666\"> &nbsp;.<\/span><span style=\"color: #2ea3f2\"><a href=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/Elipse-010-construccion-a-partir-de-diametros-conjugados-por-triangulos-afines.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/Elipse-010-construccion-a-partir-de-diametros-conjugados-por-triangulos-afines.png\" alt=\"Elipse 010 construccion a partir de diametros conjugados por triangulos afines\" width=\"423\" height=\"420\" align=\"BOTTOM\" border=\"0\"><\/a><\/span><\/span><\/h1>\n<h1 class=\"western\" align=\"JUSTIFY\"><span style=\"color: #333333;font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Recta tangente y normal en un punto de la elipse<\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #666666\">La tangente a la elipse en un punto de ella&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">P<\/span><span style=\"color: #666666\">, es la bisectriz del \u00e1ngulo exterior que forman los radios vectores en dicho punto.<\/span><\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #666666\">La normal en&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">P<\/span><span style=\"color: #666666\">, es la perpendicular a la tangente en dicho punto.<\/span><\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #2ea3f2\"><a href=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/Elipse-011-tangente-y-normal-en-un-punto-de-la-elipse.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/Elipse-011-tangente-y-normal-en-un-punto-de-la-elipse.png\" alt=\"Elipse 011 tangente y normal en un punto de la elipse\" width=\"461\" height=\"356\" align=\"BOTTOM\" border=\"0\"><\/a><\/span><\/span><\/h1>\n<h1 class=\"western\" align=\"JUSTIFY\"><span style=\"color: #333333;font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Recta tangente a la elipse en un punto, por circunferencia principal<\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #666666\">Siendo&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">P<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;el punto de la elipse, comenzaremos trazando las circunferencias de centro&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">C1<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;y&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">C2<\/span><span style=\"color: #666666\">, puntos medios de los radios vectores del punto&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">P<\/span><span style=\"color: #666666\">, y di\u00e1metro dichos radios vectores.<\/span><\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #666666\">Las circunferencias anteriores resultan ser tangentes interiores a la circunferencia principal, en los puntos&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">T1<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;y&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">T2<\/span><span style=\"color: #666666\">, determinados al unir el centro&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">O<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;de la elipse con los centros&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">C1<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;y&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">C2<\/span><span style=\"color: #666666\">.<\/span><\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #666666\">Se cumple que los puntos&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">T1<\/span><span style=\"color: #666666\">,&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">P<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;y&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">T2<\/span><span style=\"color: #666666\">, est\u00e1n alineados, y determinan la recta&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">t<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;tangente a la elipse buscada.<\/span><\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #666666\">Tambi\u00e9n se verifica que las rectas&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">F-P<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;y&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">O-T2<\/span><span style=\"color: #666666\">, y&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">F\u2019-P<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;y&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">O-T1<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;son respectivamente paralelas.<\/span><\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #2ea3f2\"><a href=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/Elipse-012-tangente-en-un-punto-de-la-elipse.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/Elipse-012-tangente-en-un-punto-de-la-elipse.png\" alt=\"Elipse 012 tangente en un punto de la elipse\" width=\"462\" height=\"299\" align=\"BOTTOM\" border=\"0\"><\/a><\/span><\/span><\/h1>\n<h1 class=\"western\" align=\"JUSTIFY\"><span style=\"color: #333333;font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Rectas tangentes a la elipse desde un punto exterior, por circunferencia focal<\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"color: #666666;font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Esta construcci\u00f3n se basa en la definici\u00f3n de circunferencia focal, como el lugar geom\u00e9trico de los puntos sim\u00e9tricos del otro foco, respecto a las tangentes a la elipse.<\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #666666\">Dado el punto&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">P<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;exterior a la elipse, comenzaremos trazando la circunferencia focal de centro en&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">F<\/span><span style=\"color: #666666\">, y a continuaci\u00f3n la circunferencia de centro en&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">P<\/span><span style=\"color: #666666\">, y radio&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">P-F\u2019<\/span><span style=\"color: #666666\">, la cual corta a la focal en los puntos&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">F\u20191<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;y&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">F\u20192<\/span><span style=\"color: #666666\">. Dichos puntos son los sim\u00e9tricos del&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">F\u2019<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;respecto a las tangentes a la elipse desde el punto&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">P<\/span><span style=\"color: #666666\">.<\/span><\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #666666\">Solo resta trazar las mediatrices de los segmentos&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">F\u2019-F\u20191<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;y&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">F\u2019-F\u20192<\/span><span style=\"color: #666666\">, obteniendo as\u00ed las rectas&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">t1<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;y&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">t2<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;que ser\u00e1n las tangentes a la elipse buscadas.<\/span><\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #666666\">Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">F-F\u20191<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;y&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">F-F\u20192<\/span><span style=\"color: #666666\">, que determinar\u00e1n sobre las tangentes&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">t1<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;y&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">t2<\/span><span style=\"color: #666666\">, los puntos&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">T1<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;y&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">T2<\/span><span style=\"color: #666666\">, puntos de tangencia buscados.<\/span><span style=\"color: #2ea3f2\"><a href=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/Elipse-013-tangenetes-a-la-elipse-desde-un-punto-exterior.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/Elipse-013-tangenetes-a-la-elipse-desde-un-punto-exterior.png\" alt=\"Elipse 013 tangentes a la elipse desde un punto exterior\" width=\"306\" height=\"412\" align=\"BOTTOM\" border=\"0\"><\/a><\/span><\/span><\/h1>\n<h1 class=\"western\" align=\"JUSTIFY\"><span style=\"color: #333333;font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Rectas tangentes a la elipse desde un punto exterior, por circunferencia principal<\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #666666\">Dado el punto&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">P<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;exterior a la elipse, comenzaremos trazando la circunferencia principal, y a continuaci\u00f3n la circunferencia de centro en&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">C<\/span><span style=\"color: #666666\">, y di\u00e1metro&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">P-F<\/span><span style=\"color: #666666\">. Ambas circunferencias se interceptan en los puntos&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">1<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;y&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">2<\/span><span style=\"color: #666666\">.<\/span><\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #666666\">Las rectas&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">P-1<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;y&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">P-2<\/span><span style=\"color: #666666\">, ser\u00e1n las tangentes&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">t1<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;y&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">t2<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;buscadas. Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">O1<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;y&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">O2<\/span><span style=\"color: #666666\">, y por&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">F\u2019<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;las correspondientes paralelas, que determinar\u00e1n sobre las tangentes, los puntos&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">T1<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;y&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">T2<\/span><span style=\"color: #666666\">, puntos de tangencia buscados.<\/span><span style=\"color: #2ea3f2\"><a href=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/Elipse-014-tangenetes-a-la-elipse-desde-un-punto-exterior-por-circunferencia-principal.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/Elipse-014-tangenetes-a-la-elipse-desde-un-punto-exterior-por-circunferencia-principal.png\" alt=\"Elipse 014 tangenetes a la elipse desde un punto exterior por circunferencia principal\" width=\"400\" height=\"253\" align=\"BOTTOM\" border=\"0\"><\/a><\/span><\/span><\/h1>\n<h1 class=\"western\" align=\"JUSTIFY\"><span style=\"color: #333333;font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Rectas tangentes a la elipse, paralelas a una direcci\u00f3n dada, por circunferencia focal<\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"color: #666666;font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Esta construcci\u00f3n es similar a la del trazado de tangentes desde un punto exterior, solo que en este caso el punto es un punto impropio situado en el infinito.<\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #666666\">Dada la direcci\u00f3n&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">d<\/span><span style=\"color: #666666\">, comenzaremos trazando la circunferencia focal de centro en&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">F<\/span><span style=\"color: #666666\">, y a continuaci\u00f3n la recta perpendicular a la direcci\u00f3n&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">d<\/span><span style=\"color: #666666\">, y que pase por el foco&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">F\u2019<\/span><span style=\"color: #666666\">. Dicha recta determina sobre la circunferencia focal, los puntos&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">F\u20191<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;y&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">F\u20192<\/span><span style=\"color: #666666\">.<\/span><\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #666666\">Las mediatrices de los segmentos&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">F\u2019-F\u20191<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;y&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">F\u2019-F\u20192<\/span><span style=\"color: #666666\">, ser\u00e1n las tangentes a la elipse&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">t1<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;y&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">t2<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;buscadas.<\/span><\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #666666\">Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">F-F\u20191<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;y&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">F-F\u20192<\/span><span style=\"color: #666666\">, que determinar\u00e1n sobre las tangentes&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">t1<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;y&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">t2<\/span><span style=\"color: #666666\">, los puntos&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">T1<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;y&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">T2<\/span><span style=\"color: #666666\">, puntos de tangencia buscados.<\/span><span style=\"color: #2ea3f2\"><a href=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/Elipse-015-tangenetes-a-la-elipse-paralelas-a-una-direccion.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/Elipse-015-tangenetes-a-la-elipse-paralelas-a-una-direccion.png\" alt=\"Elipse 015 tangentes a la elipse paralelas a una direccion\" width=\"281\" height=\"296\" align=\"BOTTOM\" border=\"0\"><\/a><\/span><\/span><\/h1>\n<h1 class=\"western\" align=\"JUSTIFY\"><span style=\"color: #333333;font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Rectas tangentes a la elipse, paralelas a una direcci\u00f3n dada, por circunferencia principal<\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #666666\">Dada la direcci\u00f3n&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">d<\/span><span style=\"color: #666666\">, comenzaremos trazando la circunferencia principal, y seguidamente la recta perpendicular a la direcci\u00f3n&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">d<\/span><span style=\"color: #666666\">, y que pase por el foco&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">F\u2019<\/span><span style=\"color: #666666\">. Dicha recta intercepta a la circunferencia principal en los puntos&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">R<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;y&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">S<\/span><span style=\"color: #666666\">, pertenecientes a las tangentes buscadas.<\/span><\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #666666\">Solo restar\u00e1 trazar por&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">R<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;y&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">S<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;las rectas&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">t1<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;y&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">t2<\/span><span style=\"color: #666666\">, paralelas a la direcci\u00f3n dada, siendo estas las tangentes buscadas.<\/span><\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #666666\">Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">OR<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;y&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">OS<\/span><span style=\"color: #666666\">, y por el foco&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">F<\/span><span style=\"color: #666666\">, las correspondientes paralelas. Dichas paralelas determinar\u00e1n sobre las tangentes los puntos&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">T1<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;y&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">T2<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;de tangencia buscados.<\/span><span style=\"color: #2ea3f2\"><a href=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/Elipse-016-tangenetes-a-la-elipse-paralelas-a-una-direccion-por-circunferencia-principal.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/Elipse-016-tangenetes-a-la-elipse-paralelas-a-una-direccion-por-circunferencia-principal.png\" alt=\"Elipse 016 tangenetes a la elipse paralelas a una direccion por circunferencia principal\" width=\"334\" height=\"353\" align=\"BOTTOM\" border=\"0\"><\/a><\/span><\/span><\/h1>\n<h1 class=\"western\" align=\"JUSTIFY\"><span style=\"color: #333333;font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Puntos de intersecci\u00f3n de una recta con una elipse<\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"color: #666666;font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Esta construcci\u00f3n se basa en la definici\u00f3n de la elipse, como el lugar geom\u00e9trico de los centros de circunferencias que pasan por un foco, y son tangentes a la circunferencia focal del otro foco.<\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #666666\">Comenzaremos trazando la circunferencia focal de centro en&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">F<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;y radio&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">2a<\/span><span style=\"color: #666666\">. seguidamente trazaremos una circunferencia cualquiera con centro en la recta&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">r<\/span><span style=\"color: #666666\">, y que pase por el foco&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">F\u2019<\/span><span style=\"color: #666666\">. En nuestro caso hemos trazado la circunferencia de centro&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">C1<\/span><span style=\"color: #666666\">. sobre dicha circunferencia determinaremos el punto&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">P<\/span><span style=\"color: #666666\">, sim\u00e9trico del foco&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">F\u2019<\/span><span style=\"color: #666666\">, respecto a la recta&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">r<\/span><span style=\"color: #666666\">.<\/span><\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #666666\">Los puntos de intersecci\u00f3n buscados, ser\u00e1n los centros de las circunferencias situados en la recta&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">r<\/span><span style=\"color: #666666\">, que pasando por&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">P<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;y&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">F\u2019<\/span><span style=\"color: #666666\">, sean tangentes a la circunferencia focal. Por lo tanto el problema se reduce al trazado de circunferencias que pasando por dos puntos sean tangentes a otra dada, Lo que resolveremos por potencia.<\/span><\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"color: #666666;font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\">En la intersecci\u00f3n de las rectas 1-2 y P-F\u2019, obtendremos el punto Cr, centro radical de todas las circunferencias de centro en r y que pasen por P y F\u2019.<\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #666666\">Tranzando la circunferencia de di\u00e1metro&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">F-Cr<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;y centro en&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">pm<\/span><span style=\"color: #666666\">, determinaremos en la circunferencia focal, los puntos&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">T1<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;y&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">T2<\/span><span style=\"color: #666666\">, puntos de tangencia de las circunferencias buscadas. Determinaremos el centro de dichas circunferencias, uniendo los puntos&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">T1<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;y&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">T2<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;con el foco&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">F<\/span><span style=\"color: #666666\">, rectas que determinar\u00e1n sobre la recta&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">r<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;dada, los puntos&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">I1<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;y&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">I2<\/span><span style=\"color: #666666\">, centro de las circunferencias soluci\u00f3n, y por tanto, puntos de intersecci\u00f3n de la recta&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">r<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;con la elipse.<\/span><span style=\"color: #2ea3f2\"><a href=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/Elipse-017-intersecci\u00f3n-de-una-recta.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/Elipse-017-intersecci\u00f3n-de-una-recta.png\" alt=\"Elipse 017 intersecci\u00f3n de una recta\" width=\"247\" height=\"318\" align=\"BOTTOM\" border=\"0\"><\/a><\/span><\/span><\/h1>\n<h1 class=\"western\" align=\"LEFT\"><span style=\"color: #333333;font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Construcci\u00f3n de la elipse por arcos de circunferencias. Radios de curvatura<\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #666666\">Para determinar el centro de curvatura en un punto&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">P<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;de la elipse, trazaremos la normal en dicho punto, bisectriz de los dos radios vectores de dicho punto.<\/span><\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #666666\">La normal trazada, cortar\u00e1 al eje mayor en el punto&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">1<\/span><span style=\"color: #666666\">. Por dicho punto trazaremos la perpendicular a la normal, que determinar\u00e1 sobre la recta&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">P-O<\/span><span style=\"color: #666666\">, el punto&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">2<\/span><span style=\"color: #666666\">. Por dicho punto trazaremos la paralela al eje menor de la elipse, que interceptar\u00e1 a la normal en el punto&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">Cp<\/span><span style=\"color: #666666\">, centro de curvatura buscado.<\/span><\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #666666\">Partiendo de la normal, podr\u00edamos haber llegado a la misma soluci\u00f3n, determinando el punto&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">3<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;sobre el eje menor. Por dicho punto trazaremos la perpendicular a la normal, que determinar\u00e1 sobre la recta&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">P-O<\/span><span style=\"color: #666666\">, el punto&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">4<\/span><span style=\"color: #666666\">. Por dicho punto trazaremos la paralela al eje mayor de la elipse, que interceptar\u00e1 a la normal en el punto&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">Cp<\/span><span style=\"color: #666666\">, centro de curvatura buscado.<\/span><\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #666666\">Para determinar los centros de curvatura en los extremos de los ejes de la elipse, trazaremos el rect\u00e1ngulo&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">OBMC<\/span><span style=\"color: #666666\">. Seguidamente trazaremos por&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">M<\/span><span style=\"color: #666666\">, la perpendicular a la recta&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">C-B<\/span><span style=\"color: #666666\">, que determinar\u00e1 los puntos&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">CB<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;y&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">Cc<\/span><span style=\"color: #666666\">, respectivamente sobre el eje mayor y menor de la elipse, y que ser\u00e1n los centros de curvatura buscados.<\/span><span style=\"color: #999999\"><a href=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/Elipse-018-construccion-por-arcos-de-circunferencia.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/Elipse-018-construccion-por-arcos-de-circunferencia.png\" alt=\"Elipse 018 construccion por arcos de circunferencia\" width=\"442\" height=\"399\" align=\"BOTTOM\" border=\"0\"><\/a><\/span><\/span><\/h1>\n<h1 class=\"western\"><span style=\"color: #333333;font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\">La Par\u00e1bola<\/span><\/h1>\n<h1 class=\"western\" align=\"JUSTIFY\"><span style=\"color: #333333;font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Definici\u00f3n<\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #666666\">La par\u00e1bola es una curva abierta y plana, que se define como el lugar geom\u00e9trico de los puntos del plano que equidistan de un punto denominado foco, y una recta denominada directriz, observando la figura,&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">FP<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;=&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">PQ<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;=&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">r<\/span><span style=\"color: #666666\">.<\/span><\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #666666\">El&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">eje<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;de la par\u00e1bola es la recta perpendicular a la directriz, que pasa por el foco&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">F<\/span><span style=\"color: #666666\">. La distancia FD, del foco a la directriz, se denomina&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">par\u00e1metro<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;de la par\u00e1bola, el punto medio del segmento&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">FD<\/span><span style=\"color: #666666\">, es el punto&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">V<\/span><span style=\"color: #666666\">, que se denomina v\u00e9rtice de la par\u00e1bola.<\/span><span style=\"color: #2ea3f2\"><a href=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/Parabola-01-definicion.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/Parabola-01-definicion.png\" alt=\"Parabola 01 definicion\" width=\"204\" height=\"310\" align=\"BOTTOM\" border=\"0\"><\/a><\/span><\/span><\/h1>\n<h1 class=\"western\" align=\"JUSTIFY\"><span style=\"color: #333333;font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Propiedades y elementos<\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"color: #666666;font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\">La par\u00e1bola se puede considerar como una elipse, uno de cuyos v\u00e9rtices se encuentra en el infinito, as\u00ed como el centro de la curva. Partiendo de esta consideraci\u00f3n, comprobaremos que las propiedades enunciadas para la elipse, se cumplen igualmente en la par\u00e1bola.<\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #666666\">La&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">circunferencia principal Cp<\/span><span style=\"color: #666666\">, pasar\u00e1 por el v\u00e9rtice&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">V<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;de la curva, y dado que el centro de la curva se encuentra en el infinito, la circunferencia principal resulta ser la recta perpendicular al eje en el v\u00e9rtice&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">V<\/span><span style=\"color: #666666\">. La circunferencia principal, se define como el lugar geom\u00e9trico de los pies de las perpendiculares(<\/span><span style=\"color: #666666\">Q<\/span><span style=\"color: #666666\">), trazadas desde los focos a las tangentes (<\/span><span style=\"color: #666666\">t<\/span><span style=\"color: #666666\">) de la par\u00e1bola. Tambi\u00e9n se puede definir como el punto medio de los segmentos que unen el foco, con la circunferencia focal del otro foco, y las mediatrices de dichos segmentos, son tangentes a la par\u00e1bola.<\/span><\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #666666\">La \u00fanica&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">circunferencia focal Cf<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;de la par\u00e1bola, tendr\u00e1 su centro en el infinito, y deber\u00e1 pasar por el punto&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">D<\/span><span style=\"color: #666666\">, sim\u00e9trico del foco respecto a la tangente el en v\u00e9rtice de la curva, resultando por tanto, una recta coincidente con la&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">directriz<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;de la par\u00e1bola. La circunferencia focal, se define como el lugar geom\u00e9trico de los puntos sim\u00e9tricos del foco&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">F<\/span><span style=\"color: #666666\">, respecto a las tangentes (<\/span><span style=\"color: #666666\">t<\/span><span style=\"color: #666666\">) de la par\u00e1bola.<\/span><\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #666666\">Observando la figura, tambi\u00e9n podemos definir la par\u00e1bola, como el lugar geom\u00e9trico de los centros de circunferencia que pasan por el foco&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">F<\/span><span style=\"color: #666666\">, y son tangentes a la circunferencia focal.<\/span><span style=\"color: #2ea3f2\"><a href=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/Parabola-02-elementos-de-la-parabola.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/Parabola-02-elementos-de-la-parabola.png\" alt=\"Parabola 02 elementos de la parabola\" width=\"261\" height=\"305\" align=\"BOTTOM\" border=\"0\"><\/a><\/span><\/span><\/h1>\n<h1 class=\"western\" align=\"JUSTIFY\"><span style=\"color: #333333;font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Trazado de la par\u00e1bola mediante radios vectores<\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #666666\">Teniendo en cuanta la definici\u00f3n de la par\u00e1bola, buscaremos puntos equidistantes del foco&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">F<\/span><span style=\"color: #666666\">, y la directriz&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">d<\/span><span style=\"color: #666666\">. Para ello determinaremos una serie de puntos sobre el eje,&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">1<\/span><span style=\"color: #666666\">,&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">2<\/span><span style=\"color: #666666\">,&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">3<\/span><span style=\"color: #666666\">, etc., por los que trazaremos paralelas a la directriz. Trazando arcos de circunferencia de centro en&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">F<\/span><span style=\"color: #666666\">, y radio las distancias&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">D1<\/span><span style=\"color: #666666\">,&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">D2<\/span><span style=\"color: #666666\">,&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">D3<\/span><span style=\"color: #666666\">, etc., determinaremos sobre las correspondientes paralelas anteriores, los puntos&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">1\u2032<\/span><span style=\"color: #666666\">,&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">2\u2032<\/span><span style=\"color: #666666\">,&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">3\u2032<\/span><span style=\"color: #666666\">, etc., puntos de la par\u00e1bola buscada.<\/span><\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"color: #666666;font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Con cada pareja de radios vectores, se determinar\u00e1n dos puntos de la par\u00e1bola, uno en cada rama de la misma.<\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"color: #666666;font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Cuanto mayor sea el n\u00famero de puntos, mayor ser\u00e1 la precisi\u00f3n del trazado de la par\u00e1bola, que deber\u00e1 realizarse, o bien a mano alzada o mediante reglas flexibles, o plantillas de curvas especiales.<span style=\"color: #2ea3f2\"><a href=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/Parabola-03-construccion-por-radios-vectores.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/Parabola-03-construccion-por-radios-vectores.png\" alt=\"Parabola 03 construccion por radios vectores\" width=\"173\" height=\"315\" align=\"BOTTOM\" border=\"0\"><\/a><\/span><\/span><\/h1>\n<h1 class=\"western\" align=\"LEFT\"><span style=\"color: #333333;font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Trazado de la par\u00e1bola, por haces proyectivos<\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #666666\">Comenzaremos obteniendo un punto&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">P<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;de la curva por radios vectores, y trazaremos el rect\u00e1ngulo&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">APCV<\/span><span style=\"color: #666666\">, y dividiremos los lados&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">AP<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;y PC en un mismo n\u00famero de partes iguales.<\/span><\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #666666\">Por las divisiones de&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">AP<\/span><span style=\"color: #666666\">, trazaremos paralelas al eje de la curva, y uniremos las divisiones de&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">CP<\/span><span style=\"color: #666666\">, con el v\u00e9rtice&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">V<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;de la curva. La intersecci\u00f3n de estas rectas con las paralelas anteriores, determinar\u00e1n puntos, como el&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">P<\/span><span style=\"color: #666666\">, pertenecientes a la par\u00e1bola buscada. Esto se repetir\u00e1 para la otra rama de la par\u00e1bola.<\/span><span style=\"color: #2ea3f2\"><a href=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/Parabola-04-construccion-por-haces-proyectivos.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/Parabola-04-construccion-por-haces-proyectivos.png\" alt=\"Parabola 04 construccion por haces proyectivos\" width=\"189\" height=\"318\" align=\"BOTTOM\" border=\"0\"><\/a><\/span><\/span><\/h1>\n<h1 class=\"western\" align=\"LEFT\"><span style=\"color: #333333;font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Trazado de la par\u00e1bola, por envolventes<\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"color: #666666;font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Esta construcci\u00f3n se basa en el hecho de que la circunferencia principal, en este caso, la tangente a la curva en el v\u00e9rtice, es el lugar geom\u00e9trico de los pies de las perpendiculares trazadas desde el foco a las tangentes a la par\u00e1bola.<\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #666666\">Para este trazado partiremos de puntos&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">1<\/span><span style=\"color: #666666\">,&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">2<\/span><span style=\"color: #666666\">,&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">3<\/span><span style=\"color: #666666\">, etc, de la circunferencia principal. Uniremos dichos puntos con el foco F, y trazaremos por los puntos anteriores perpendiculares a los segmentosl&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">F1<\/span><span style=\"color: #666666\">,&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">F2<\/span><span style=\"color: #666666\">,&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">F3<\/span><span style=\"color: #666666\">, etc., obteniendo las rectas tangentes a la par\u00e1bola. La curva se determinar\u00e1 mediante tangentes a dichas rectas.<\/span><span style=\"color: #2ea3f2\"><a href=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/Parabola-05-construccion-por-envolventes.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/Parabola-05-construccion-por-envolventes.png\" alt=\"Parabola 05 construccion por envolventes\" width=\"189\" height=\"318\" align=\"BOTTOM\" border=\"0\"><\/a><\/span><\/span><\/h1>\n<h1 class=\"western\" align=\"LEFT\"><span style=\"color: #333333;font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Trazado de la par\u00e1bola, en base a la definici\u00f3n de la curva<\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #666666\">Esta construcci\u00f3n se basa en la definici\u00f3n de la par\u00e1bola, como el lugar geom\u00e9trico de los centros de circunferencia que pasan por el foco&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">F<\/span><span style=\"color: #666666\">, y son tangentes a la circunferencia focal.<\/span><\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #666666\">Comenzaremos trazando las rectas&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">F1<\/span><span style=\"color: #666666\">,&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">F2<\/span><span style=\"color: #666666\">,&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">F3<\/span><span style=\"color: #666666\">, etc., que unen el foco de la curva&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">F<\/span><span style=\"color: #666666\">, con puntos de la directriz&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">d<\/span><span style=\"color: #666666\">.<\/span><\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #666666\">Seguidamente trazaremos las perpendiculares a los segmentos anteriores, en su punto de intersecci\u00f3n con la circunferencia principal, en el caso del segmento&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">F1<\/span><span style=\"color: #666666\">, en el punto&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">s<\/span><span style=\"color: #666666\">. Esta perpendicular resulta ser la mediatriz del segmento&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">F1<\/span><span style=\"color: #666666\">, y tangente a la la curva.<\/span><\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #666666\">Trazando por el punto&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">1<\/span><span style=\"color: #666666\">, una paralela al eje de la curva, dicha paralela interceptar\u00e1 a la tangente anteriormente trazada en el punto&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">T1<\/span><span style=\"color: #666666\">, punto de la par\u00e1bola.<\/span><\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"color: #666666;font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Repitiendo con el resto de puntos, obtendremos los suficientes puntos de la curva para poder ser trazada<\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"color: #666666;font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"> .<span style=\"color: #2ea3f2\"><a href=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/Parabola-06-construccion-a-partir-de-su-definicion.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/Parabola-06-construccion-a-partir-de-su-definicion.png\" alt=\"Parabola 06 construccion a partir de su definicion\" width=\"189\" height=\"318\" align=\"BOTTOM\" border=\"0\"><\/a><\/span><\/span><\/h1>\n<h1 class=\"western\" align=\"JUSTIFY\"><span style=\"color: #333333;font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Recta tangente y normal en un punto de la par\u00e1bola<\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #666666\">La tangente a la par\u00e1bola en un punto de ella&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">P<\/span><span style=\"color: #666666\">, es la bisectriz del \u00e1ngulo que forman los radios vectores en dicho punto.<\/span><\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #666666\">La normal en&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">P<\/span><span style=\"color: #666666\">, es la perpendicular a la tangente en dicho punto.<\/span><\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #2ea3f2\"><a href=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/Parabola-07-tangente-y-normal-en-un-punto.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/Parabola-07-tangente-y-normal-en-un-punto.png\" alt=\"Parabola 07 tangente y normal en un punto\" width=\"211\" height=\"306\" align=\"BOTTOM\" border=\"0\"><\/a><\/span><\/span><\/h1>\n<h1 class=\"western\" align=\"JUSTIFY\"><span style=\"color: #333333;font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Rectas tangentes a la par\u00e1bola desde un punto exterior, por circunferencia focal<\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"color: #666666;font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Esta construcci\u00f3n se basa en la definici\u00f3n de circunferencia focal (directriz), como el lugar geom\u00e9trico de los puntos sim\u00e9tricos del otro foco, respecto a las tangentes a la par\u00e1bola.<\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #666666\">Dado el punto&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">P<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;exterior a la par\u00e1bola, comenzaremos trazando la circunferencia de centro en&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">P<\/span><span style=\"color: #666666\">, y radio&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">P<\/span><span style=\"color: #666666\">\u2013<\/span><span style=\"color: #666666\">F<\/span><span style=\"color: #666666\">, la cual corta a la focal (directriz), en los puntos&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">F1<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;y&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">F2<\/span><span style=\"color: #666666\">. Dichos puntos son los sim\u00e9tricos del&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">F<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;respecto a las tangentes a la par\u00e1bola desde el punto&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">P<\/span><span style=\"color: #666666\">.<\/span><\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #666666\">Solo resta trazar las mediatrices de los segmentos&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">F<\/span><span style=\"color: #666666\">\u2013<\/span><span style=\"color: #666666\">F1<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;y&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">F<\/span><span style=\"color: #666666\">\u2013<\/span><span style=\"color: #666666\">F2<\/span><span style=\"color: #666666\">, obteniendo as\u00ed las rectas&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">t1<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;y&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">t2<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;que ser\u00e1n las tangentes a la par\u00e1bola buscadas.<\/span><\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #666666\">Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas por&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">F1<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;y&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">F2<\/span><span style=\"color: #666666\">, rectas paralelas al eje de la curva, que determinar\u00e1n sobre las tangentes&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">t1<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;y&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">t2<\/span><span style=\"color: #666666\">, los puntos&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">T1<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;y&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">T2<\/span><span style=\"color: #666666\">, puntos de tangencia buscados.<\/span><span style=\"color: #2ea3f2\"><a href=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/Parabola-08-tangente-desde-un-punto-exterior.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/Parabola-08-tangente-desde-un-punto-exterior.png\" alt=\"Parabola 08 tangente desde un punto exterior\" width=\"242\" height=\"307\" align=\"BOTTOM\" border=\"0\"><\/a><\/span><\/span><\/h1>\n<h1 class=\"western\" align=\"JUSTIFY\"><span style=\"color: #333333;font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Rectas tangentes a la par\u00e1bola desde un punto exterior, por circunferencia principal<\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #666666\">Dado el punto&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">P<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;exterior a la par\u00e1bola, comenzaremos trazando la circunferencia principal (tangente en el v\u00e9rtice), y a continuaci\u00f3n la circunferencia de centro en&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">C<\/span><span style=\"color: #666666\">, y di\u00e1metro&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">P<\/span><span style=\"color: #666666\">\u2013<\/span><span style=\"color: #666666\">F<\/span><span style=\"color: #666666\">. Ambas circunferencias se interceptan en los puntos&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">1<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;y&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">2<\/span><span style=\"color: #666666\">.<\/span><\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #666666\">Las rectas&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">P<\/span><span style=\"color: #666666\">\u2013<\/span><span style=\"color: #666666\">1<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;y&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">P<\/span><span style=\"color: #666666\">\u2013<\/span><span style=\"color: #666666\">2<\/span><span style=\"color: #666666\">, ser\u00e1n las tangentes&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">t1<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;y&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">t2<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;buscadas. Para determinar los puntos de tangencia, haremos&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">1<\/span><span style=\"color: #666666\">\u2013<\/span><span style=\"color: #666666\">F1<\/span><span style=\"color: #666666\">=<\/span><span style=\"color: #666666\">1<\/span><span style=\"color: #666666\">\u2013<\/span><span style=\"color: #666666\">F<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;y&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">2<\/span><span style=\"color: #666666\">\u2013<\/span><span style=\"color: #666666\">F2<\/span><span style=\"color: #666666\">=<\/span><span style=\"color: #666666\">2<\/span><span style=\"color: #666666\">\u2013<\/span><span style=\"color: #666666\">F<\/span><span style=\"color: #666666\">, y por&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">F1<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;y&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">F2<\/span><span style=\"color: #666666\">, trazaremos rectas paralelas al eje de la curva, que determinar\u00e1n sobre las tangentes&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">t1<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;y&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">t2<\/span><span style=\"color: #666666\">, los puntos&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">T1<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;y&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">T2<\/span><span style=\"color: #666666\">, puntos de tangencia buscados.<\/span><\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #2ea3f2\"><a href=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/Parabola-09-tangente-desde-un-punto-exterior-por-circunferencia-principal.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/Parabola-09-tangente-desde-un-punto-exterior-por-circunferencia-principal.png\" alt=\"Parabola 09 tangente desde un punto exterior por circunferencia principal\" width=\"243\" height=\"308\" align=\"BOTTOM\" border=\"0\"><\/a><\/span><\/span><\/h1>\n<h1 class=\"western\" align=\"JUSTIFY\"><span style=\"color: #333333;font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Rectas tangentes a la par\u00e1bola, paralelas a una direcci\u00f3n dada, por circunferencia focal<\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"color: #666666;font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Esta construcci\u00f3n es similar a la del trazado de tangentes desde un punto exterior, solo que en este caso el punto es un punto impropio situado en el infinito.<\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #666666\">Dada la direcci\u00f3n&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">d<\/span><span style=\"color: #666666\">, comenzaremos trazando la recta perpendicular a la direcci\u00f3n&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">d<\/span><span style=\"color: #666666\">, y que pase por el foco&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">F<\/span><span style=\"color: #666666\">. Dicha recta determina sobre la circunferencia focal (directriz), el punto&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">F1<\/span><span style=\"color: #666666\">.<\/span><\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #666666\">La mediatriz del segmento&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">F<\/span><span style=\"color: #666666\">\u2013<\/span><span style=\"color: #666666\">F1<\/span><span style=\"color: #666666\">, ser\u00e1 la tangente a la par\u00e1bola&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">t<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;buscada.<\/span><\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #666666\">Para determinar el punto de tangencia, trazaremos pro&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">F1<\/span><span style=\"color: #666666\">, la recta paralela al eje de la curva, que determinar\u00e1n sobre la tangente&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">t<\/span><span style=\"color: #666666\">, el punto&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">T1<\/span><span style=\"color: #666666\">, punto de tangencia buscado.<\/span><\/span><\/h1>\n<h1 class=\"western\" align=\"JUSTIFY\"><span style=\"color: #333333;font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Rectas tangentes a la par\u00e1bola, paralelas a una direcci\u00f3n dada por circunferencia principal<\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #666666\">Dada la direcci\u00f3n&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">d<\/span><span style=\"color: #666666\">, comenzaremos trazando la circunferencia principal (tangente en el v\u00e9rtice), y seguidamente la recta perpendicular a la direcci\u00f3n&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">d<\/span><span style=\"color: #666666\">, y que pase por el foco&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">F<\/span><span style=\"color: #666666\">. Dicha recta intercepta a la circunferencia principal en el punto&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">1<\/span><span style=\"color: #666666\">, perteneciente a la tangente buscada.<\/span><\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #666666\">Solo restar\u00e1 trazar por&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">1<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;la recta&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">t<\/span><span style=\"color: #666666\">, paralela a la direcci\u00f3n dada, siendo esta la tangentes buscada.<\/span><\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #666666\">Para determinar los puntos de tangencia, haremos&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">1<\/span><span style=\"color: #666666\">\u2013<\/span><span style=\"color: #666666\">F1<\/span><span style=\"color: #666666\">=<\/span><span style=\"color: #666666\">1<\/span><span style=\"color: #666666\">\u2013<\/span><span style=\"color: #666666\">F<\/span><span style=\"color: #666666\">, y por&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">F1<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;trazaremos una recta paralela al eje de la curva, que terminar\u00e1 sobre la tangente&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">t<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;el punto&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">T1<\/span><span style=\"color: #666666\">, punto de tangencia buscado.<\/span><\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #2ea3f2\"><a href=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/Parabola-11-tangentes-paralelas-a-una-direccion-dada-por-circunferencia-principal.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"\" src=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/Parabola-11-tangentes-paralelas-a-una-direccion-dada-por-circunferencia-principal.png\" alt=\"Parabola 11 tangentes paralelas a una direccion dada por circunferencia principal\" width=\"326\" height=\"381\" align=\"BOTTOM\" border=\"0\"><\/a><\/span><\/span><\/h1>\n<h1 class=\"western\" align=\"JUSTIFY\"><span style=\"color: #333333;font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Puntos de intersecci\u00f3n de una recta con una par\u00e1bola<\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"color: #666666;font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Esta construcci\u00f3n se basa en la definici\u00f3n de la par\u00e1bola, como el lugar geom\u00e9trico de los centros de circunferencias que pasan por el foco, y son tangentes a la circunferencia focal del otro foco (directriz).<\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #666666\">Comenzaremos trazando una circunferencia cualquiera con centro en la recta&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">r<\/span><span style=\"color: #666666\">, y que pase por el foco&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">F<\/span><span style=\"color: #666666\">. En nuestro caso hemos trazado la circunferencia de centro&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">O<\/span><span style=\"color: #666666\">. Sobre dicha circunferencia determinaremos el punto&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">F1<\/span><span style=\"color: #666666\">, sim\u00e9trico del foco&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">F<\/span><span style=\"color: #666666\">, respecto a la recta&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">r<\/span><span style=\"color: #666666\">.<\/span><\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #666666\">Los puntos de intersecci\u00f3n buscados, ser\u00e1n los centros de las circunferencias situados en la recta&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">r<\/span><span style=\"color: #666666\">, que pasando por&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">F1<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;y&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">F<\/span><span style=\"color: #666666\">, sean tangentes a la circunferencia focal (directriz). Por lo tanto el problema se reduce al trazado de circunferencias que pasando por dos puntos sean tangentes a una recta dada (directriz), Lo que resolveremos por potencia.<\/span><\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #666666\">Prolongando la recta&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">F<\/span><span style=\"color: #666666\">\u2013<\/span><span style=\"color: #666666\">F1<\/span><span style=\"color: #666666\">, determinaremos sobre la directriz el punto&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">Cr<\/span><span style=\"color: #666666\">, centro radical de todas las circunferencias de centro en r y que pasen por&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">F<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;y F1.<\/span><\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #666666\">Con centro en&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">pm<\/span><span style=\"color: #666666\">, punto medio del segmento&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">F<\/span><span style=\"color: #666666\">\u2013<\/span><span style=\"color: #666666\">Cr<\/span><span style=\"color: #666666\">, trazaremos la circunferencia de di\u00e1metro&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">F<\/span><span style=\"color: #666666\">\u2013<\/span><span style=\"color: #666666\">Cr<\/span><span style=\"color: #666666\">, y por&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">F1<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;la perpendicular a dicho di\u00e1metro, determinando sobre la circunferencia anterior el punto&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">1<\/span><span style=\"color: #666666\">.<\/span><\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #666666\">Con centro en&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">Cr<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;trazaremos el arco de circunferencia de radio&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">Cr<\/span><span style=\"color: #666666\">\u2013<\/span><span style=\"color: #666666\">1<\/span><span style=\"color: #666666\">, que nos determinar\u00e1 sobre la directriz, los puntos&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">T1<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;y&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">T2<\/span><span style=\"color: #666666\">. Las perpendiculares a la directriz en dichos puntos, determinar\u00e1n sobre la recta r los puntos&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">I1<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;e&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">I2 <\/span><span style=\"color: #666666\">de intersecci\u00f3n de la recta con la par\u00e1bola.<\/span><\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #666666\">.<\/span><span style=\"color: #2ea3f2\"><a href=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/Parabola-12-puntos-de-interseccion-con-una-recta.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/Parabola-12-puntos-de-interseccion-con-una-recta.png\" alt=\"Parabola 12 puntos de interseccion con una recta\" width=\"267\" height=\"361\" align=\"BOTTOM\" border=\"0\"><\/a><\/span><\/span><\/h1>\n<h1 class=\"western\" align=\"JUSTIFY\"><span style=\"color: #333333;font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Construcci\u00f3n de la par\u00e1bola por arcos de circunferencia. Radios de curvatura.<\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #666666\">Para determinar el centro de curvatura en un punto&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">P<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;de la par\u00e1bola, trazaremos&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">la normal<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;en dicho punto, bisectriz de los dos radios vectores de dicho punto.<\/span><\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #666666\">La normal<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;trazada, cortar\u00e1 al eje en el punto&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">1<\/span><span style=\"color: #666666\">. Por dicho punto trazaremos la perpendicular a&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">la normal<\/span><span style=\"color: #666666\">, que determinar\u00e1 sobre la recta trazada por&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">P<\/span><span style=\"color: #666666\">&nbsp;y paralela al eje, el punto&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">2<\/span><span style=\"color: #666666\">. Por dicho punto trazaremos la perpendicular al eje, que interceptar\u00e1 a la normal en el punto&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">Cp<\/span><span style=\"color: #666666\">, centro de curvatura buscado.<\/span><\/span><\/h1>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><span style=\"color: #666666\">El centro de curva en el v\u00e9rtice de la curva&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">Cv<\/span><span style=\"color: #666666\">, lo determinaremos haciendo&nbsp;<\/span><span style=\"color: #666666\">F<\/span><span style=\"color: #666666\">\u2013<\/span><span style=\"color: #666666\">C<\/span><\/span><\/h1>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<h1><span style=\"font-size: 12pt;font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><strong><span style=\"color: #999999\"><b><a href=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/Parabola-13-construccion-por-arcos-de-circunferencia.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/Parabola-13-construccion-por-arcos-de-circunferencia.png\" alt=\"Parabola 13 construccion por arcos de circunferencia\" width=\"255\" height=\"289\" align=\"BOTTOM\" border=\"0\"><\/a><\/b><\/span><\/strong><\/span><\/h1>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif\">La Hip\u00e9rbola<\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Definici\u00f3n<\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif\">La hip\u00e9rbola es una curva abierta y plana, con dos ramas, que se definen como el lugar geom\u00e9trico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias&nbsp;<strong>r\u2019<\/strong>\u2013<strong>r<\/strong>, a dos puntos fijos&nbsp;<strong>F<\/strong>&nbsp;y&nbsp;<strong>F\u2019<\/strong>, denominados focos, es constante e igual a&nbsp;<strong>2a<\/strong>, siendo&nbsp;<strong>2a<\/strong>&nbsp;la longitud del&nbsp;<strong>eje real<\/strong>&nbsp;<strong>A<\/strong>\u2013<strong>B<\/strong>&nbsp;de la hip\u00e9rbola. Al eje&nbsp;<strong>CD<\/strong>, se le denomina&nbsp;<strong>eje imaginario<\/strong>, siendo su longitud&nbsp;<strong>2b<\/strong>. Ambos ejes se cruzan perpendicularmente en el centro&nbsp;<strong>O<\/strong>, punto medio de los dos ejes. Por lo tanto, la hip\u00e9rbola es sim\u00e9trica, respecto a los dos ejes.<\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Si, como vemos, la distancia focal&nbsp;<strong>F<\/strong>\u2013<strong>F\u2019<\/strong>&nbsp;es igual a&nbsp;<strong>2c<\/strong>, se cumplir\u00e1 que c\u00b2 = a\u00b2 + b\u00b2.<\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Las rectas que unen un punto cualquiera de la elipse&nbsp;<strong>P<\/strong>, con los focos, se denominan&nbsp;<strong>radios vectores<\/strong>&nbsp;<strong>r<\/strong>&nbsp;y&nbsp;<strong>r\u2019<\/strong>, y por definici\u00f3n se cumple que&nbsp;<strong>r\u2019<\/strong>\u2013<strong>r<\/strong>&nbsp;=&nbsp;<strong>2a<\/strong>.<\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Seg\u00fan las dimensiones de los semiejes, se obtendr\u00e1n tres tipos de par\u00e1bolas:<\/span><\/p>\n<ol>\n<li><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Si a &gt; b, se obtendr\u00e1 una curva de ramas cerradas.<\/span><\/li>\n<li><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Si a = b, se obtendr\u00e1 una hip\u00e9rbola equil\u00e1tera.<\/span><\/li>\n<li><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Si a &lt; b, se obtendr\u00e1 una curva de ramas abiertas.<a href=\"http:\/\/localhost\/wordpress\/wp-content\/uploads\/2015\/06\/Hiperbola02.png\"><br \/>\n<\/a><\/span><\/li>\n<\/ol>\n<p><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/Hiperbola-01-definicion.png\"><\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Propiedades y elementos<\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Se denomina&nbsp;<strong>circunferencia principal Cp<\/strong>, a la circunferencia de centro&nbsp;<strong>O<\/strong>, y di\u00e1metro&nbsp;<strong>2a<\/strong>. La circunferencia principal, se define como el lugar geom\u00e9trico de los pies de las perpendiculares(Q), trazadas desde los focos a las tangentes (t) de la hip\u00e9rbola. Tambi\u00e9n se puede definir como el punto medio de los segmentos que unen un foco, con la circunferencia focal del otro foco, y las mediatrices de dichos segmentos, son tangentes a la hip\u00e9rbola.<\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Se denomina&nbsp;<strong>circunferencia focal Cf<\/strong>, a la circunferencia de centro en uno de los focos de la hip\u00e9rbola, y radio&nbsp;<strong>2a<\/strong>. En una hip\u00e9rbola se podr\u00e1n trazar dos circunferencias focales. La circunferencia focal, se define como el lugar geom\u00e9trico de los puntos sim\u00e9tricos del otro foco (<strong>F1<\/strong>), respecto a las tangentes (<strong>t<\/strong>) de la hip\u00e9rbola.<\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Observando la figura, tambi\u00e9n podemos definir la hip\u00e9rbola, como el lugar geom\u00e9trico de los centros de circunferencia que pasan por un foco, y son tangentes a la circunferencia focal del otro foco.<\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/Hiperbola-02-elementos-de-la-hiperbola.png\" alt=\"Hiperbola 02 elementos de la hiperbola\"><\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Trazado de la hip\u00e9rbola mediante radios vectores<\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Teniendo en cuenta la definici\u00f3n de la hip\u00e9rbola, solo necesitaremos coger pares de radios vectores, cuya diferencia sea&nbsp;<strong>2a<\/strong>, para ello determinaremos una serie de puntos sobre el eje real,&nbsp;<strong>1<\/strong>,&nbsp;<strong>2<\/strong>,&nbsp;<strong>3<\/strong>&nbsp;etc., y cogeremos como parejas de radios vectores, los segmentos&nbsp;<strong>A1<\/strong>\u2013<strong>B1<\/strong>,&nbsp;<strong>A2<\/strong>\u2013<strong>B2<\/strong>,&nbsp;<strong>A3<\/strong>\u2013<strong>B3<\/strong>, y as\u00ed sucesivamente, determinando los suficientes puntos de la par\u00e1bola, como para ser definida.<\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Con cada pareja de radios vectores, se determinar\u00e1n cuatro puntos de la hip\u00e9rbola, uno en cada cuadrante de la misma.<\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Cuanto mayor sea el n\u00famero de puntos, mayor ser\u00e1 la precisi\u00f3n del trazado de la hip\u00e9rbola, que deber\u00e1 realizarse, o bien a mano alzada o mediante reglas flexibles, o plantillas de curvas especiales.<\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/Hiperbola-03-construcci%C3%B3n-por-rayos-vectores.png\" alt=\"Hiperbola 03 construcci\u00f3n por rayos vectores\"><\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Trazado de la hip\u00e9rbola por haces proyectivos<\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Comenzaremos obteniendo un punto&nbsp;<strong>P<\/strong>&nbsp;de la curva por radios vectores, y trazaremos el rect\u00e1ngulo&nbsp;<strong>ARPS<\/strong>, y dividiremos los lados&nbsp;<strong>RP<\/strong>&nbsp;y&nbsp;<strong>PS<\/strong>&nbsp;en un mismo n\u00famero de partes iguales. Sobre la prolongaci\u00f3n de&nbsp;<strong>PR<\/strong>&nbsp;y&nbsp;<strong>PS<\/strong>&nbsp;llevaremos esas misma divisiones.<\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Seguidamente trazaremos rectas que unan el v\u00e9rtice&nbsp;<strong>A<\/strong>, con las divisiones de&nbsp;<strong>PR<\/strong>, y el v\u00e9rtice&nbsp;<strong>Br<\/strong>&nbsp;con las divisiones de&nbsp;<strong>PS<\/strong>, obteniendo en sus intersecciones, puntos, pertenecientes a la hip\u00e9rbola buscada. Esto se repetir\u00e1 para la otra rama de la hip\u00e9rbola.<\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/Hiperbola-04-construccion-por-haces-proyectivos.png\" alt=\"Hiperbola 04 construccion por haces proyectivos\"><\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Trazado de la par\u00e1bola por envolventes<\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Esta construcci\u00f3n se basa en el hecho de que la circunferencia principal, es el lugar geom\u00e9trico de los pies de las perpendiculares trazadas desde el foco a las tangentes a la hip\u00e9rbola.<\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Para este trazado partiremos de puntos, de la circunferencia principal. Uniremos dichos puntos con el foco&nbsp;<strong>F\u2019<\/strong>, y trazaremos por ellos, perpendiculares a las rectas trazadas, obteniendo las rectas tangentes a la par\u00e1bola. La curva se determinar\u00e1 mediante tangentes a dichas rectas.<\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Las as\u00edntotas ser\u00e1n las tangentes a la hip\u00e9rbola en el infinito, y que determinaremos trazando el arco de centro en&nbsp;<strong>O<\/strong>&nbsp;y radio&nbsp;<strong>O<\/strong>\u2013<strong>F<\/strong>. En la intersecci\u00f3n de dicho arco con la perpendicular al eje real, trazada por el v\u00e9rtice&nbsp;<strong>A<\/strong>, determinaremos el punto&nbsp;<strong>1<\/strong>, perteneciente a la as\u00edntota, solo restar\u00e1 unir dicho punto con el centro&nbsp;<strong>O<\/strong>&nbsp;de la hip\u00e9rbola.<\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/Hiperbola-05-construcci%C3%B3n-por-envolventes.png\" alt=\"Hiperbola 05 construcci\u00f3n por envolventes\"><\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Recta tangente y normal en un punto de la hip\u00e9rbola<\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif\">La tangente a la hip\u00e9rbola en un punto de ella&nbsp;<strong>P<\/strong>, es la bisectriz del \u00e1ngulo que forman los radios vectores en dicho punto.<\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif\">La normal en&nbsp;<strong>P<\/strong>, es la perpendicular a la tangente en dicho punto.<\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/Hiperbola-06-tangente-y-normal-en-un-punto.png\" alt=\"Hiperbola 06 tangente y normal en un punto\"><\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Recta tangente a la hip\u00e9rbola en un punto, por circunferencia principal<\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Siendo&nbsp;<strong>P<\/strong>&nbsp;el punto de la hip\u00e9rbola, comenzaremos trazando las circunferencias de centro&nbsp;<strong>C1<\/strong>&nbsp;y&nbsp;<strong>C2<\/strong>, puntos medios de los radios vectores del punto&nbsp;<strong>P<\/strong>, y di\u00e1metro dichos radios vectores.<\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Las circunferencias anteriores resultan ser tangentes interiores a la circunferencia principal, en los puntos&nbsp;<strong>T1<\/strong>&nbsp;y&nbsp;<strong>T2<\/strong>, determinados al unir el centro&nbsp;<strong>O<\/strong>&nbsp;de la elipse con los centros&nbsp;<strong>C1<\/strong>&nbsp;y&nbsp;<strong>C2<\/strong>.<\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Se cumple que los puntos&nbsp;<strong>T1<\/strong>,&nbsp;<strong>T2<\/strong>&nbsp;y&nbsp;<strong>P<\/strong>, est\u00e1n alineados, y determinan la recta&nbsp;<strong>t<\/strong>&nbsp;tangente a la hip\u00e9rbola buscada.<\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Tambi\u00e9n se verifica que las rectas&nbsp;<strong>F<\/strong>\u2013<strong>P<\/strong>&nbsp;y&nbsp;<strong>O<\/strong>\u2013<strong>T2<\/strong>, y&nbsp;<strong>F\u2019<\/strong>\u2013<strong>P<\/strong>&nbsp;y&nbsp;<strong>O<\/strong>\u2013<strong>T1<\/strong>&nbsp;son respectivamente paralelas.<\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/Hiperbola-07-recta-tangente-en-un-punto-por-circunferencia-principal.png\" alt=\"Hiperbola 07 recta tangente en un punto por circunferencia principal\"><\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Rectas tangentes a la hip\u00e9rbola desde un punto exterior, por circunferencia focal<\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Esta construcci\u00f3n se basa en la definici\u00f3n de circunferencia focal, como el lugar geom\u00e9trico de los puntos sim\u00e9tricos del otro foco, respecto a las tangentes a la hip\u00e9rbola.<\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Dado el punto&nbsp;<strong>P<\/strong>&nbsp;exterior a la hip\u00e9rbola, comenzaremos trazando la circunferencia focal de centro en&nbsp;<strong>F\u2019<\/strong>, y a continuaci\u00f3n la circunferencia de centro en&nbsp;<strong>P<\/strong>, y radio&nbsp;<strong>P<\/strong>\u2013<strong>F<\/strong>, la cual corta a la focal anterior, en los puntos&nbsp;<strong>F1<\/strong>&nbsp;y&nbsp;<strong>F2<\/strong>. Dichos puntos son los sim\u00e9tricos del&nbsp;<strong>F<\/strong>&nbsp;respecto a las tangentes a la hip\u00e9rbola desde el punto&nbsp;<strong>P<\/strong>.<\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Solo resta trazar las mediatrices de los segmentos&nbsp;<strong>F<\/strong>\u2013<strong>F1<\/strong>&nbsp;y&nbsp;<strong>F<\/strong>\u2013<strong>F2<\/strong>, obteniendo as\u00ed las rectas&nbsp;<strong>t1<\/strong>&nbsp;y&nbsp;<strong>t2<\/strong>&nbsp;que ser\u00e1n las tangentes a la hip\u00e9rbola buscadas.<\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas&nbsp;<strong>F\u2019<\/strong>\u2013<strong>F1<\/strong>&nbsp;y&nbsp;<strong>F\u2019<\/strong>\u2013<strong>F2<\/strong>, que determinar\u00e1n sobre las tangentes&nbsp;<strong>t1<\/strong>&nbsp;y&nbsp;<strong>t2<\/strong>, los puntos&nbsp;<strong>T1<\/strong>&nbsp;y&nbsp;<strong>T2<\/strong>, puntos de tangencia buscados.<\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/Hiperbola-08-tangentes-desde-un-punto-exterior-por-circunferencia-focal.png\" alt=\"Hiperbola 08 tangentes desde un punto exterior por circunferencia focal\"><\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Rectas tangentes a la hip\u00e9rbola desde un punto exterior, por circunferencia principal<\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Dado el punto&nbsp;<strong>P<\/strong>&nbsp;exterior a la hip\u00e9rbola, comenzaremos trazando la circunferencia principal, y a continuaci\u00f3n la circunferencia de centro en&nbsp;<strong>C1<\/strong>, y di\u00e1metro&nbsp;<strong>P<\/strong>\u2013<strong>F<\/strong>. Ambas circunferencias se interceptan en los puntos&nbsp;<strong>1<\/strong>&nbsp;y&nbsp;<strong>2<\/strong>.<\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Las rectas&nbsp;<strong>P<\/strong>\u2013<strong>1<\/strong>&nbsp;y&nbsp;<strong>P<\/strong>\u2013<strong>2<\/strong>, ser\u00e1n las tangentes&nbsp;<strong>t1<\/strong>&nbsp;y&nbsp;<strong>t2<\/strong>&nbsp;buscadas. Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas&nbsp;<strong>O1<\/strong>&nbsp;y&nbsp;<strong>O2<\/strong>, y por&nbsp;<strong>F\u2019<\/strong>&nbsp;las correspondientes paralelas, que determinar\u00e1n sobre las tangentes, los puntos&nbsp;<strong>T1<\/strong>&nbsp;y&nbsp;<strong>T2<\/strong>, puntos de tangencia buscados.<\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/Hiperbola-09-tangentes-desde-un-punto-exterior-por-circunferencia-principal.png\" alt=\"Hiperbola 09 tangentes desde un punto exterior por circunferencia principal\"><\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Rectas tangentes a la hip\u00e9rbola, paralelas a una direcci\u00f3n dada, por circunferencia focal<\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Esta construcci\u00f3n es similar a la del trazado de tangentes desde un punto exterior, solo que en este caso el punto es un punto impropio situado en el infinito.<\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Dada la direcci\u00f3n d, comenzaremos trazando la circunferencia focal de centro en&nbsp;<strong>F\u2019<\/strong>, y a continuaci\u00f3n la recta perpendicular a la direcci\u00f3n&nbsp;<strong>d<\/strong>, y que pase por el foco&nbsp;<strong>F<\/strong>. Dicha recta determina sobre la circunferencia focal, los puntos&nbsp;<strong>F1<\/strong>&nbsp;y&nbsp;<strong>F2<\/strong>.<\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Las mediatrices de los segmentos&nbsp;<strong>F<\/strong>\u2013<strong>F1<\/strong>&nbsp;y&nbsp;<strong>F<\/strong>\u2013<strong>F2<\/strong>, ser\u00e1n las tangentes a la elipse&nbsp;<strong>t1<\/strong>&nbsp;y&nbsp;<strong>t2<\/strong>&nbsp;buscadas.<\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas&nbsp;<strong>F\u2019<\/strong>\u2013<strong>F1<\/strong>&nbsp;y&nbsp;<strong>F\u2019<\/strong>\u2013<strong>F2<\/strong>, que determinar\u00e1n sobre las tangentes&nbsp;<strong>t1<\/strong>&nbsp;y&nbsp;<strong>t2<\/strong>, los puntos&nbsp;<strong>T1<\/strong>&nbsp;y&nbsp;<strong>T2<\/strong>, puntos de tangencia buscados.<\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/Hiperbola-10-rectas-tangentes-paralelas-a-una-direccion-dada-por-circunferecnia-focal.png\" alt=\"Hiperbola 10 rectas tangentes paralelas a una direccion dada por circunferecnia focal\"><\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Rectas tangentes a la hip\u00e9rbola, paralelas a una direcci\u00f3n dada, por circunferencia principal<\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Dada la direcci\u00f3n&nbsp;<strong>d<\/strong>, comenzaremos trazando la circunferencia principal, y seguidamente la recta perpendicular a la direcci\u00f3n&nbsp;<strong>d<\/strong>, y que pase por el foco&nbsp;<strong>F<\/strong>. Dicha recta intercepta a la circunferencia principal en los puntos&nbsp;<strong>1<\/strong>&nbsp;y&nbsp;<strong>2<\/strong>, pertenecientes a las tangentes buscadas.<\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Solo restar\u00e1 trazar por&nbsp;<strong>1<\/strong>&nbsp;y&nbsp;<strong>2<\/strong>&nbsp;las rectas&nbsp;<strong>t1<\/strong>&nbsp;y&nbsp;<strong>t2<\/strong>, paralelas a la direcci\u00f3n dada, siendo estas las tangentes buscadas.<\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas&nbsp;<strong>O1<\/strong>&nbsp;y&nbsp;<strong>O2<\/strong>, y por el foco&nbsp;<strong>F\u2019<\/strong>, las correspondientes paralelas. Dichas paralelas determinar\u00e1n sobre las tangentes los puntos&nbsp;<strong>T1<\/strong>&nbsp;y&nbsp;<strong>T2<\/strong>&nbsp;de tangencia buscados.<\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/Hiperbola-11-rectas-tangentes-paralelas-a-una-direccion-dada-por-circunferecnia-principal.png\" alt=\"Hiperbola 11 rectas tangentes paralelas a una direccion dada por circunferecnia principal\"><\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Puntos de intersecci\u00f3n de una recta con una hip\u00e9rbola<\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Esta construcci\u00f3n se basa en la definici\u00f3n de la hip\u00e9rbola, como el lugar geom\u00e9trico de los centros de circunferencias que pasan por un foco, y son tangentes a la circunferencia focal del otro foco.<\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Comenzaremos trazando la circunferencia focal de centro en&nbsp;<strong>F<\/strong>&nbsp;y radio&nbsp;<strong>2a<\/strong>. seguidamente trazaremos una circunferencia cualquiera con centro en la recta&nbsp;<strong>r<\/strong>, y que pase por el foco&nbsp;<strong>F\u2019<\/strong>. En nuestro caso hemos trazado la circunferencia de centro&nbsp;<strong>C1<\/strong>. sobre dicha circunferencia determinaremos el punto&nbsp;<strong>P<\/strong>, sim\u00e9trico del foco&nbsp;<strong>F\u2019<\/strong>, respecto a la recta&nbsp;<strong>r<\/strong>.<\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Los puntos de intersecci\u00f3n buscados, ser\u00e1n los centros de las circunferencias situados en la recta&nbsp;<strong>r<\/strong>, que pasando por&nbsp;<strong>P<\/strong>&nbsp;y&nbsp;<strong>F\u2019<\/strong>, sean tangentes a la circunferencia focal. Por lo tanto el problema se reduce al trazado de circunferencias que pasando por dos puntos sean tangentes a otra dada, Lo que resolveremos por potencia.<\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif\">En la intersecci\u00f3n de las rectas&nbsp;<strong>1<\/strong>\u2013<strong>2<\/strong>&nbsp;y&nbsp;<strong>P<\/strong>\u2013<strong>F\u2019<\/strong>, obtendremos el punto&nbsp;<strong>Cr<\/strong>, centro radical de todas las circunferencias de centro en&nbsp;<strong>r<\/strong>&nbsp;y que pasen por&nbsp;<strong>P<\/strong>&nbsp;y&nbsp;<strong>F\u2019<\/strong>.<\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Tranzando la circunferencia de di\u00e1metro&nbsp;<strong>F<\/strong>\u2013<strong>Cr<\/strong>&nbsp;y centro en&nbsp;<strong>pm<\/strong>, determinaremos en la circunferencia focal, los puntos&nbsp;<strong>T1<\/strong>&nbsp;y&nbsp;<strong>T2<\/strong>, puntos de tangencia de las circunferencias buscadas. Determinaremos el centro de dichas circunferencias, uniendo los puntos&nbsp;<strong>T1<\/strong>&nbsp;y&nbsp;<strong>T2<\/strong>&nbsp;con el foco&nbsp;<strong>F<\/strong>, rectas que determinar\u00e1n sobre la recta&nbsp;<strong>r<\/strong>&nbsp;dada, los puntos&nbsp;<strong>I1<\/strong>&nbsp;y&nbsp;<strong>I2<\/strong>, centro de las circunferencias soluci\u00f3n, y por tanto, puntos de intersecci\u00f3n de la recta&nbsp;<strong>r<\/strong>&nbsp;con la hip\u00e9rbola.<\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/Hiperbola-12-puntos-de-intersecci%C3%B3n-con-una-recta.png\" alt=\"Hiperbola 12 puntos de intersecci\u00f3n con una recta\"><\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Construcci\u00f3n de la hip\u00e9rbola por arcos de circunferencia. Radios de curvatura<\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Para determinar el centro de curvatura en un punto&nbsp;<strong>P<\/strong>&nbsp;de la hip\u00e9rbola, trazaremos la normal en dicho punto, bisectriz del \u00e1ngulo exterior que forman los dos radios vectores de dicho punto.<\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif\"><strong>La normal<\/strong>&nbsp;trazada, cortar\u00e1 a la prolongaci\u00f3n del eje real en el punto&nbsp;<strong>1<\/strong>. Por dicho punto trazaremos la perpendicular a&nbsp;<strong>la normal<\/strong>, que determinar\u00e1 sobre la recta&nbsp;<strong>O<\/strong>\u2013<strong>P<\/strong>, el punto&nbsp;<strong>2<\/strong>. Por dicho punto trazaremos la paralela al eje imaginario de la hip\u00e9rbola, que interceptar\u00e1 a la normal en el punto&nbsp;<strong>Cp<\/strong>, centro de curvatura buscado.<\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-family: arial, helvetica, sans-serif\">Para determinar los centros de curvatura en los extremos del eje real de la hip\u00e9rbola, trazaremos la perpendicular a la&nbsp;<strong>as\u00edntota<\/strong>&nbsp;en el punto&nbsp;<strong>R<\/strong>. Dicha perpendicular interceptar\u00e1 a la prolongaci\u00f3n del eje real en el punto&nbsp;<strong>CB<\/strong>, centro de curvatura buscado.<\/span><\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/Hiperbola-13-construccion-por-arcos-de-circunferencia.png\" alt=\"Hiperbola 13 construccion por arcos de circunferencia\"><\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2020\/05\/GEOMETR\u00cdA-PLANA-00-curvas-t\u00e9cnicas-ciclicas.pdf\">GEOMETR\u00cdA PLANA 00 curvas t\u00e9cnicas ciclicas<\/a><\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2020\/05\/GEOMETR\u00cdA-PLANA-00-curvas-c\u00f3nicas.pdf\">GEOMETR\u00cdA PLANA 00 curvas c\u00f3nicas<\/a><\/p>\n<p>SISTEMA DI\u00c9DRICO ORTOGONAL<\/p>\n<p><a style=\"font-size: 1rem\" href=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2020\/05\/SISTEMA-DI\u00c9DRICO-ORTOGONAL-01-1.pdf\">SISTEMA DI\u00c9DRICO ORTOGONAL 01<\/a><\/p>\n<p><a style=\"font-size: 1rem\" href=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2020\/05\/SISTEMA-DI\u00c9DRICO-ORTOGONAL-02-m\u00e9todos.pdf\">SISTEMA DI\u00c9DRICO ORTOGONAL 02 m\u00e9todos<\/a><\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2021\/02\/SISTEMA-DI\u00c9DRICO-ORTOGONAL-03-superficies-secciones-desarrollos.pdf\">SISTEMA DI\u00c9DRICO ORTOGONAL 03 superficies secciones desarrollos<\/a><\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2020\/05\/SISTEMA-DI\u00c9DRICO-ORTOGONAL-04-poliedros-regulares-desarrollos.pdf\">SISTEMA DI\u00c9DRICO ORTOGONAL 04 poliedros regulares desarrollos<\/a> &nbsp;<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2021\/02\/SISTEMA-AXONOM\u00c9TRICO-05-de-pieza-a-vistas.pdf\">SISTEMA AXONOM\u00c9TRICO 05 de pieza a vistas<\/a><\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2020\/04\/IMG_20200420_101150-e1587386172798.jpg\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-medium wp-image-525\" src=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2020\/04\/IMG_20200420_101150-e1587386172798-225x300.jpg\" alt=\"\" width=\"225\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2020\/04\/IMG_20200420_101150-e1587386172798-225x300.jpg 225w, https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2020\/04\/IMG_20200420_101150-e1587386172798-768x1024.jpg 768w, https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2020\/04\/IMG_20200420_101150-e1587386172798-18x24.jpg 18w, https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2020\/04\/IMG_20200420_101150-e1587386172798-27x36.jpg 27w, https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2020\/04\/IMG_20200420_101150-e1587386172798-36x48.jpg 36w\" sizes=\"(max-width: 225px) 100vw, 225px\" \/><\/a> <a href=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2020\/04\/IMG_20200420_101221-e1587385912383.jpg\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-medium wp-image-527\" src=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2020\/04\/IMG_20200420_101221-e1587385912383-225x300.jpg\" alt=\"\" width=\"225\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2020\/04\/IMG_20200420_101221-e1587385912383-225x300.jpg 225w, https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2020\/04\/IMG_20200420_101221-e1587385912383-768x1024.jpg 768w, https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2020\/04\/IMG_20200420_101221-e1587385912383-18x24.jpg 18w, https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2020\/04\/IMG_20200420_101221-e1587385912383-27x36.jpg 27w, https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2020\/04\/IMG_20200420_101221-e1587385912383-36x48.jpg 36w\" sizes=\"(max-width: 225px) 100vw, 225px\" \/><\/a> <a href=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2020\/04\/IMG_20200420_101231-e1587386139956.jpg\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-medium wp-image-528\" src=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2020\/04\/IMG_20200420_101231-e1587386139956-225x300.jpg\" alt=\"\" width=\"225\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2020\/04\/IMG_20200420_101231-e1587386139956-225x300.jpg 225w, https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2020\/04\/IMG_20200420_101231-e1587386139956-768x1024.jpg 768w, https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2020\/04\/IMG_20200420_101231-e1587386139956-18x24.jpg 18w, https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2020\/04\/IMG_20200420_101231-e1587386139956-27x36.jpg 27w, https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2020\/04\/IMG_20200420_101231-e1587386139956-36x48.jpg 36w\" sizes=\"(max-width: 225px) 100vw, 225px\" \/><\/a> <a href=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2020\/04\/IMG_20200420_101259-e1587386115916.jpg\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-medium wp-image-529\" src=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2020\/04\/IMG_20200420_101259-e1587386115916-225x300.jpg\" alt=\"\" width=\"225\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2020\/04\/IMG_20200420_101259-e1587386115916-225x300.jpg 225w, https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2020\/04\/IMG_20200420_101259-e1587386115916-768x1024.jpg 768w, https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2020\/04\/IMG_20200420_101259-e1587386115916-18x24.jpg 18w, https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2020\/04\/IMG_20200420_101259-e1587386115916-27x36.jpg 27w, https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2020\/04\/IMG_20200420_101259-e1587386115916-36x48.jpg 36w\" sizes=\"(max-width: 225px) 100vw, 225px\" \/><\/a><\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2021\/02\/SISTEMA-AXONOM\u00c9TRICO-06-de-vistas-a-piezas.pdf\">SISTEMA AXONOM\u00c9TRICO 06 de vistas a piezas<\/a><\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2020\/04\/IMG_20200420_101336-e1587386091258.jpg\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-medium wp-image-530\" src=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2020\/04\/IMG_20200420_101336-e1587386091258-225x300.jpg\" alt=\"\" width=\"225\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2020\/04\/IMG_20200420_101336-e1587386091258-225x300.jpg 225w, https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2020\/04\/IMG_20200420_101336-e1587386091258-768x1024.jpg 768w, https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2020\/04\/IMG_20200420_101336-e1587386091258-18x24.jpg 18w, https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2020\/04\/IMG_20200420_101336-e1587386091258-27x36.jpg 27w, https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2020\/04\/IMG_20200420_101336-e1587386091258-36x48.jpg 36w\" sizes=\"(max-width: 225px) 100vw, 225px\" \/><\/a> <a href=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2020\/04\/IMG_20200420_101349-e1587386067272.jpg\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-medium wp-image-531\" src=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2020\/04\/IMG_20200420_101349-e1587386067272-225x300.jpg\" alt=\"\" width=\"225\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2020\/04\/IMG_20200420_101349-e1587386067272-225x300.jpg 225w, https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2020\/04\/IMG_20200420_101349-e1587386067272-768x1024.jpg 768w, https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2020\/04\/IMG_20200420_101349-e1587386067272-18x24.jpg 18w, https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2020\/04\/IMG_20200420_101349-e1587386067272-27x36.jpg 27w, https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2020\/04\/IMG_20200420_101349-e1587386067272-36x48.jpg 36w\" sizes=\"(max-width: 225px) 100vw, 225px\" \/><\/a> <a href=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2020\/04\/IMG_20200420_101358-e1587386039211.jpg\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-medium wp-image-532\" src=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2020\/04\/IMG_20200420_101358-e1587386039211-225x300.jpg\" alt=\"\" width=\"225\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2020\/04\/IMG_20200420_101358-e1587386039211-225x300.jpg 225w, https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2020\/04\/IMG_20200420_101358-e1587386039211-768x1024.jpg 768w, https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2020\/04\/IMG_20200420_101358-e1587386039211-18x24.jpg 18w, https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2020\/04\/IMG_20200420_101358-e1587386039211-27x36.jpg 27w, https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2020\/04\/IMG_20200420_101358-e1587386039211-36x48.jpg 36w\" sizes=\"(max-width: 225px) 100vw, 225px\" \/><\/a> <a href=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2020\/04\/IMG_20200420_101412-e1587386021136.jpg\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-medium wp-image-533\" src=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2020\/04\/IMG_20200420_101412-e1587386021136-225x300.jpg\" alt=\"\" width=\"225\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2020\/04\/IMG_20200420_101412-e1587386021136-225x300.jpg 225w, https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2020\/04\/IMG_20200420_101412-e1587386021136-768x1024.jpg 768w, https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2020\/04\/IMG_20200420_101412-e1587386021136-18x24.jpg 18w, https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2020\/04\/IMG_20200420_101412-e1587386021136-27x36.jpg 27w, https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2020\/04\/IMG_20200420_101412-e1587386021136-36x48.jpg 36w\" sizes=\"(max-width: 225px) 100vw, 225px\" \/><\/a> <a href=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2020\/04\/IMG_20200420_101421-e1587386001515.jpg\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-medium wp-image-534\" src=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2020\/04\/IMG_20200420_101421-e1587386001515-225x300.jpg\" alt=\"\" width=\"225\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2020\/04\/IMG_20200420_101421-e1587386001515-225x300.jpg 225w, https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2020\/04\/IMG_20200420_101421-e1587386001515-768x1024.jpg 768w, https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2020\/04\/IMG_20200420_101421-e1587386001515-18x24.jpg 18w, https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2020\/04\/IMG_20200420_101421-e1587386001515-27x36.jpg 27w, 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NORMA UNE EN ISO 1994.\" width=\"525\" height=\"295\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/NwTh_tiB3YQ?feature=oembed\" frameborder=\"0\" allow=\"accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share\" referrerpolicy=\"strict-origin-when-cross-origin\" allowfullscreen><\/iframe><\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2020\/04\/cortes-y-secciones.pdf\">CORTES SECCIONES Y ROTURAS<\/a><\/p>\n<p><span style=\"font-size: 1.125rem\">Introducci\u00f3n<\/span><\/p>\n<div class=\"entry-content\">\n<p>En ocasiones, debido a la complejidad de los detalles internos de una pieza, su representaci\u00f3n se hace confusa, con gran n\u00famero de aristas ocultas, y la limitaci\u00f3n de no poder acotar sobre dichas aristas. La soluci\u00f3n a este problema son los cortes y secciones, que estudiaremos en este tema.<\/p>\n<p>Tambi\u00e9n en ocasiones, la gran longitud de determinadas piezas, dificultan su representaci\u00f3n a escala en un plano, para resolver dicho problema se har\u00e1 uso de las roturas, artificio que nos permitir\u00e1 a\u00f1adir claridad y ahorrar espacio.<\/p>\n<p>Las reglas a seguir para la representaci\u00f3n de los cortes, secciones y roturas, se recogen en la norma&nbsp;<strong>UNE 1-032-82<\/strong>,&nbsp;<strong>\u00abDibujos t\u00e9cnicos: Principios generales de representaci\u00f3n\u00bb<\/strong>, equivalente a la norma&nbsp;<strong>ISO 128-82<\/strong>.<\/p>\n<h3>Generalidades sobre cortes y secciones<\/h3>\n<p>Un&nbsp;<strong>corte<\/strong>&nbsp;es el artificio mediante el cual, en la representaci\u00f3n de una pieza, eliminamos parte de la misma, con objeto de clarificar y hacer m\u00e1s sencilla su representaci\u00f3n y acotaci\u00f3n.<\/p>\n<p>En principio el mecanismo es muy sencillo. Adoptado uno o varios planos de corte, eliminaremos ficticiamente de la pieza, la parte m\u00e1s cercana al observador, como puede verse en las figuras.<a href=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/corte-011.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-425\" src=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/corte-011.png\" alt=\"corte 01\" width=\"522\" height=\"275\"><\/a><\/p>\n<p>Como puede verse en las figuras siguientes, las aristas interiores afectadas por el corte, se representar\u00e1n con el mismo espesor que las aristas vistas, y la superficie afectada por el corte, se representa con un rayado. A continuaci\u00f3n en este tema, veremos como se representa la marcha del corte, las normas para el rayado del mismo, etc..<a href=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/corte-021.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-426\" src=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/corte-021.png\" alt=\"corte 02\" width=\"594\" height=\"223\"><\/a><\/p>\n<p>Se denomina&nbsp;<strong>secci\u00f3n<\/strong>&nbsp;a la intersecci\u00f3n del plano de corte con la pieza (la superficie indicada de color rojo), como puede apreciarse cuando se representa una secci\u00f3n, a diferencia de un corte, no se representa el resto de la pieza que queda detr\u00e1s de la misma. Siempre que sea posible, se preferir\u00e1 representar la secci\u00f3n, ya que resulta m\u00e1s clara y sencilla su representaci\u00f3n.<a href=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/seccion-011.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-433\" src=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/seccion-011.png\" alt=\"seccion 01\" width=\"502\" height=\"208\"><\/a><\/p>\n<h3>L\u00edneas de rotura en los materiales<\/h3>\n<p>Cuando se trata de dibujar objetos largos y uniformes, se suelen representar interrumpidos por l\u00edneas de rotura. Las roturas ahorran espacio de representaci\u00f3n, al suprimir partes constantes y regulares de las piezas, y limitar la representaci\u00f3n, a las partes suficientes para su definici\u00f3n y acotaci\u00f3n.<\/p>\n<p>Las roturas, est\u00e1n normalizadas, y su tipos son los siguientes:<\/p>\n<ol>\n<li>Las normas UNE definen solo dos tipos de roturas (<em>figuras 1<\/em>&nbsp;y&nbsp;<em>2<\/em>), la primera se indica mediante una l\u00ednea fina, como la de los ejes, a mano alzada y ligeramente curvada, la segunda suele utilizarse en trabajos por ordenador.<\/li>\n<li>En piezas en cu\u00f1a y piramidales (<em>figuras<\/em>&nbsp;<em>3<\/em>&nbsp;y&nbsp;<em>4<\/em>), se utiliza la misma l\u00ednea fina y ligeramente curva. En estas piezas debe mantenerse la inclinaci\u00f3n de las aristas de la pieza.<\/li>\n<li>En piezas de madera, la l\u00ednea de rotura se indicar\u00e1 con una l\u00ednea en zig-zag (<em>figura 5<\/em>).<\/li>\n<li>En piezas cil\u00edndricas macizas, la l\u00ednea de rotura de indicar\u00e1 mediante las caracter\u00edstica lazada (<em>figura 6<\/em>).<\/li>\n<li>&nbsp;<\/li>\n<li>En piezas c\u00f3nicas, la l\u00ednea de rotura se indicar\u00e1 como en el caso anterior, mediante lazadas, si bien estas resultar\u00e1n de diferente tama\u00f1o (<em>figura 7<\/em>).<\/li>\n<li>En piezas cil\u00edndricas huecas (tubos), la l\u00ednea de rotura se indicar\u00e1 mediante una doble lazada, que patentizar\u00e1n los di\u00e1metros interior y exterior (<em>figura 8<\/em>).<\/li>\n<li>Cuando las piezas tengan una configuraci\u00f3n uniforme, la rotura podr\u00e1 indicarse con una l\u00ednea de trazo y punto fina, como la las l\u00edneas de los ejes (<em>figura 9<\/em>).<\/li>\n<\/ol>\n<h3>Representaci\u00f3n de la marcha de un corte<\/h3>\n<p>Cuando la trayectoria de un corte sea evidente, no ser\u00e1 necesaria ninguna indicaci\u00f3n (<em>figura 1<\/em>). En el caso de que dicha trayectoria no sea evidente o se realice mediante varios planos de corte, el recorrido se indicar\u00e1 mediante una l\u00ednea de trazo y punto fino, que se representar\u00e1 con trazos gruesos en sus extremos y cambios de direcci\u00f3n (<em>figuras 2<\/em>,&nbsp;<em>3<\/em>&nbsp;y&nbsp;<em>4<\/em>).<\/p>\n<p>En los extremos del plano de corte se situar\u00e1n dos letras mayusculas, que servir\u00e1n de referencia del mismo, estas letras podr\u00e1n ser repetidas&nbsp;<em>A-A<\/em>&nbsp;o consecutivas&nbsp;<em>A-B<\/em>. Tambi\u00e9n en los extremos se consignan dos flechas, que indican el sentido de observaci\u00f3n. Sobre la vista afectada del corte, se indicar\u00e1n las letras definidoras del corte.<\/p>\n<p>Un corte puede realizarse por diferentes tipos de planos: un \u00fanico plano (<em>figura 1<\/em>), por planos paralelos (<em>figura 2<\/em>), por planos sucesivos (<em>figura 3<\/em>), y por planos concurrentes (<em>figura 4<\/em>), en este \u00faltimo caso, uno de ellos se gira antes del abatimiento.<a href=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/marcha-de-un-corte1.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-428\" src=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/marcha-de-un-corte1.png\" alt=\"marcha de un corte\" width=\"700\" height=\"525\"><\/a><\/p>\n<h3>Norma para el rayado de los cortes<\/h3>\n<p>Las superficies de una pieza afectadas por un corte, se resaltan mediante un raya de l\u00edneas paralelas, cuyo espesor ser\u00e1 el m\u00e1s fino de la serie utilizada. Bas\u00e1ndonos en las normas UNE, podemos establecer las siguientes reglas, para la realizaci\u00f3n de los rayado:<\/p>\n<ol>\n<li>La inclinaci\u00f3n del rayado ser\u00e1 de 45\u00ba respecto a los ejes de simetr\u00eda o contorno principal de la pieza (<em>figura 1<\/em>).<\/li>\n<li>La separaci\u00f3n entre las l\u00edneas de rayado depender\u00e1 de tama\u00f1o de la pieza, pero nunca deber\u00e1 ser inferior a 0,7 mm. ni superior a 3 mm. (<em>figura 2<\/em>).<\/li>\n<li>En piezas de gran tama\u00f1o, el rayado puede reducirse a una zona que siga el contorno de la superficie a rayar (<em>figura 3<\/em>).<a href=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/rayado-de-los-cortes-011.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-429\" src=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/rayado-de-los-cortes-011.png\" alt=\"rayado de los cortes 01\" width=\"700\" height=\"115\"><\/a><\/li>\n<li>En los casos de cortes parciales o mordeduras, la separaci\u00f3n entre la parte seccionada y el resto de la pieza, se indica con una l\u00ednea fina a mano alzada, y que no debe coincidir con ninguna arista ni eje de la pieza (<em>figura 4<\/em>).<\/li>\n<li>Las diferentes zonas rayadas de una pieza, pertenecientes a un mismo corte, llevar\u00e1n la misma inclinaci\u00f3n y separaci\u00f3n (<em>figura 5<\/em>), igualmente se mantendr\u00e1 el mismo rayado cuando se trate de cortes diferentes sobre una misma pieza (<em>figura 6<\/em>).<\/li>\n<li>En piezas afectadas por un corte por planos paralelos, se emplear\u00e1 el mismo rayado, pudiendo desplazarse en la l\u00ednea de separaci\u00f3n, para una mayor comprensi\u00f3n del dibujo (<em>figura 7<\/em>).<a href=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/rayado-de-los-cortes-021.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-430\" src=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/rayado-de-los-cortes-021.png\" alt=\"rayado de los cortes 02\" width=\"700\" height=\"118\"><\/a><\/li>\n<li>En cortes sobre representaciones de conjuntos, las diferentes piezas se rayar\u00e1n modificando la inclinaci\u00f3n de 45\u00ba, y cuando no pueda evitarse, se variar\u00e1 la separaci\u00f3n del rayado (<em>figura 8<\/em>).<\/li>\n<li>Las superficies delgadas, no se rayan, sino que se ennegrecen. Si hay varias superficies contiguas, se dejar\u00e1 una peque\u00f1a separaci\u00f3n entre ellas, que no ser\u00e1 inferior a 7 mm. (<em>figura 9<\/em>).<\/li>\n<li>Debe evitarse la consignaci\u00f3n de cotas sobre superficies sobre las superficies rayadas. En caso de consignarse, se interrumpir\u00e1 el rayado en la zona de la cifra de cota, pero no en las flechas ni l\u00edneas de cota (<em>figura 10<\/em>).<\/li>\n<li>No se dibujar\u00e1n aristas ocultas sobre las superficies rayadas de un corte. Y solo se admitir\u00e1n excepcionalmente, si es inevitable, o con ello se contribuye decisivamente a la lectura e interpretaci\u00f3n de la pieza (<em>figura 11<\/em>).<a href=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/rayado-de-los-cortes-031.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-431\" src=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/rayado-de-los-cortes-031.png\" alt=\"rayado de los cortes 03\" width=\"700\" height=\"133\"><\/a><\/li>\n<\/ol>\n<h3>Elementos que no se seccionan<\/h3>\n<p>Las normas establecen como piezas no seccionables: los tornillos, tuercas, arandelas pasadores, remaches, eslabones de cadena, chavetas, tabiques de refuerzo, nervios, orejeras, bolas de cojinetes, mangos de herramientas, ejes, brazos de ruedas y poleas, etc.. A modo de ejemplo se incluyen los ejemplos siguientes: tornillo, tuerca y remache (<em>figura 1<\/em>), eslab\u00f3n de cadena (<em>figura 2<\/em>), mango de herramienta (<em>figura 3<\/em>), tabiques de refuerzo (<em>figura 4<\/em>), uni\u00f3n roscada (<em>figura 5<\/em>), y brazos de polea (<em>figura 6<\/em>).<a href=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/rayado-de-los-cortes-041.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-432\" src=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/rayado-de-los-cortes-041.png\" alt=\"rayado de los cortes 04\" width=\"700\" height=\"335\"><\/a><\/p>\n<h3>Tipos de corte<\/h3>\n<p>Los diferentes tipos de cortes que podemos realizar, pueden ser clasificados en tres grandes grupos:<\/p>\n<ol>\n<li><strong>Corte total<\/strong>, es el producido por uno o varios planos, que atraviesan totalmente la pieza, dejando solamente en vista exterior las aristas de contorno (<em>figuras 1<\/em>&nbsp;y&nbsp;<em>2<\/em>).<\/li>\n<li><strong>Semicorte<\/strong>&nbsp;o&nbsp;<strong>corte al cuarto<\/strong>&nbsp;(<em>figura 3<\/em>). Se utilizan en piezas que tienen un eje de simetr\u00eda, represent\u00e1ndose media pieza en secci\u00f3n y la otra mitad en vista exterior. En este tipo de corte nose representar\u00e1n aristas ocultas, con objeto de que la representaci\u00f3n sea m\u00e1s clara. En ocasiones coincide una arista con el eje de simetr\u00eda, en dicho caso prevalecer\u00e1 la arista. En este tipo de corte, siempre que sea posible, se acotar\u00e1n los elementos exteriores de la pieza a un lado, y los interiores al otro.<\/li>\n<li><strong>Corte parcial<\/strong>&nbsp;o&nbsp;<strong><em>mordedura<\/em><\/strong>&nbsp;(<em>figura 4<\/em>). En ocasiones solo necesitamos poder representar peque\u00f1os detalles interiores de una pieza, en estos casos no ser\u00e1 necesario un corte total o al cuarto, y ser\u00e1 suficiente con este tipo de corte. El corte parcial se delimitar\u00e1 mediante una l\u00ednea fina y ligeramente sinuosa.<a href=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/tipos-de-cortes1.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-434\" src=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/tipos-de-cortes1.png\" alt=\"tipos de cortes\" width=\"700\" height=\"149\"><\/a><\/li>\n<\/ol>\n<h3>Secciones abatidas<\/h3>\n<p>Este tipo de secciones se utilizan siempre que no obstaculicen la claridad de la representaci\u00f3n. Est\u00e1n producidas por planos perpendiculares a los de proyecci\u00f3n, y se representan gir\u00e1ndolas 90\u00ba sobre su eje, hasta colocarlas sobre el mismo plano del dibujo. Podremos utilizar los siguientes tipos:<\/p>\n<ol>\n<li><strong>Secciones abatidas sin desplazamiento<\/strong>. Se representar\u00e1n delimitadas por una l\u00ednea fina (<em>figuras 1<\/em>&nbsp;y&nbsp;<em>2<\/em>).<a href=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/tipos-de-secciones-011.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-435\" src=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/tipos-de-secciones-011.png\" alt=\"tipos de secciones 01\" width=\"600\" height=\"119\"><\/a><\/li>\n<li><strong>Secciones abatidas con desplazamiento<\/strong>. Se representar\u00e1n delimitadas por una l\u00ednea gruesa. La secci\u00f3n desplazada puede colocarse en la posici\u00f3n de proyecci\u00f3n normal, cerca de la pieza y unida a esta mediante una l\u00ednea fina de trazo y punto (<em>figura 3<\/em>), o bien desplazada a una posici\u00f3n cualquiera, en este caso se indicar\u00e1 el plano de corte y el nombre de la secci\u00f3n (<em>figura 4<\/em>).<a href=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/tipos-de-secciones-021.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-436\" src=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/tipos-de-secciones-021.png\" alt=\"tipos de secciones 02\" width=\"450\" height=\"208\"><\/a><\/li>\n<li><strong>Secciones abatidas sucesivas<\/strong>. El desplazamiento de la secci\u00f3n se podr\u00e1 realizar a lo largo del eje (<em>figura 5<\/em>); desplazadas a lo largo del plano de corte (<em>figura 6<\/em>), o desplazadas a una posici\u00f3n cualquiera (<em>figura 7<\/em>).<a href=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/tipos-de-secciones-031.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-437\" src=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/tipos-de-secciones-031.png\" alt=\"tipos de secciones 03\" width=\"705\" height=\"173\"><\/a><a href=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/tipos-de-secciones-041.png\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-438\" src=\"http:\/\/www.dibujotecnico.com\/wp-content\/uploads\/2015\/07\/tipos-de-secciones-041.png\" alt=\"tipos de secciones 04\" width=\"650\" height=\"334\"><\/a><\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2026\/03\/SISTEMA-PERSPECTIVA-CONICA.pdf\">SISTEMA PERSPECTIVA C\u00d3NICA<\/a> 07<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>Actividades de repaso y ampliaci\u00f3n:<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2020\/12\/2badt_sv_es_ft-fichas-trabajo.zip\">ACTIVIDADES SM&nbsp; &nbsp; &nbsp; 2badt_sv_es_ft fichas trabajo<\/a><\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>Actividades de profundizaci\u00f3n:<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2021\/10\/01-2bach_triangulos-1.pdf\">01 2bach_triangulos (1)<\/a> <a href=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2021\/10\/02-2bach_cuadrilateros-1.pdf\">02 2bach_cuadrilateros (1)<\/a> <a href=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2021\/10\/2bach_cuadrilateros.pdf\">2bach_cuadrilateros<\/a> <a href=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2021\/10\/2bach_trazadosgeometricos_paraperpcirc.pdf\">2bach_trazadosgeometricos_paraperpcirc<\/a> <a href=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2021\/10\/2bach_triangulos.pdf\">2bach_triangulos<\/a> <a href=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2021\/10\/03-2bach_proporcionalidad-1.pdf\">03 2bach_proporcionalidad-1<\/a> <a href=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2021\/10\/04-2bach_equivalencia.pdf\">04 2bach_equivalencia<\/a> <a href=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2021\/10\/05-2bach_arcocapaz1-1.pdf\">05 2bach_arcocapaz1-1<\/a> <a href=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2021\/10\/05-2bach_arcocapaz2.pdf\">05 2bach_arcocapaz2<\/a> <a href=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2021\/10\/06-2bach_transformaciones1.pdf\">06 2bach_transformaciones1<\/a> <a href=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2021\/10\/06-6a_2bach_traslacion.pdf\">06 6a_2bach_traslacion<\/a> <a href=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2021\/10\/06-6b_2bach_giros.pdf\">06 6b_2bach_giros<\/a> <a href=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2021\/10\/06-6c_2bach_simetria.pdf\">06 6c_2bach_simetria<\/a> <a href=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2021\/10\/06-25_2bach_homologiainiciacion.pdf\">06 25_2bach_homologiainiciacion<\/a> <a href=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2021\/10\/06-26_2bach_homologia1.pdf\">06 26_2bach_homologia1<\/a> <a href=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2021\/10\/06-27_2bach_afinidadiniciacion.pdf\">06 27_2bach_afinidadiniciacion<\/a> <a href=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2021\/10\/06-28_2bach_afinidad1-1.pdf\">06 28_2bach_afinidad1-1<\/a> <a href=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2021\/10\/07-2bach_homotecia.pdf\">07 2bach_homotecia<\/a> <a href=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2021\/10\/08-8_2bach_tangencias1.pdf\">08 8_2bach_tangencias1<\/a> <a href=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2021\/10\/08-9_2bach_tangencias2.pdf\">08 9_2bach_tangencias2<\/a> <a href=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2021\/10\/08-10_2bach_tangenciaslugares.pdf\">08 10_2bach_tangenciaslugares<\/a> <a href=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2021\/10\/08-11_2bach_tangenciasdilatacion-1.pdf\">08 11_2bach_tangenciasdilatacion-1<\/a> <a href=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2021\/10\/08-13_2bach_tangenciaspotencia1.pdf\">08 13_2bach_tangenciaspotencia1<\/a> <a href=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2021\/10\/08-14_2bach_tangenciaspotencia2-1.pdf\">08 14_2bach_tangenciaspotencia2-1<\/a> <a href=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2021\/10\/08-15_2bach_tangenciaspotencia3.pdf\">08 15_2bach_tangenciaspotencia3<\/a> <a href=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2021\/10\/09-16_2bach_elipse.pdf\">09 16_2bach_elipse<\/a> <a href=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2021\/10\/09-17_2bach_elipse_conjugados.pdf\">09 17_2bach_elipse_conjugados<\/a> <a href=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2021\/10\/09-18_2bach_elipse_tangencias.pdf\">09 18_2bach_elipse_tangencias<\/a> <a href=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2021\/10\/09-19_2bach_elipseinterseccion.pdf\">09 19_2bach_elipseinterseccion<\/a> <a href=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2021\/10\/09-20_2bach_parabola.pdf\">09 20_2bach_parabola<\/a> <a href=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2021\/10\/09-21_2bach_parabolatangencias.pdf\">09 21_2bach_parabolatangencias<\/a> <a href=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/files\/2021\/10\/09-22_2bach_parabolainterseccion-1.pdf\">09 22_2bach_parabolainterseccion-1<\/a><\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>01 TRAZADOS EN EL PLANO 02 TRAZADO DE POL\u00cdGONOS repaso 1bach 03 TRANSFORMACIONES GEOM\u00c9TRICAS DT2 &nbsp; &nbsp; &nbsp; TEOR\u00cdA TANGENCIAS &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; EJERCICIO TANGENCIAS (CABALLO DE AJEDREZ) Ejercicio resuelto de tangencias paso a paso. &nbsp; https:\/\/www.mongge.com\/ejercicios\/10689 &nbsp; CURVAS T\u00c9CNICAS&nbsp; Curvas c\u00edclicas Son curvas planas, generadas por un &hellip; <\/p>\n<p class=\"link-more\"><a href=\"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/franmdibujotecnico\/dibujo-tecnico-2\/\" class=\"more-link\">Continuar leyendo<span class=\"screen-reader-text\"> \u00abDIBUJO T\u00c9CNICO 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