MISCEL\u00c1NEA DE CUESTIONES MATEM\u00c1TICAS RELACIONADAS CON EL TALLER<\/p>\n
ESTRUCTURA DE LA P\u00c1GINA:<\/p>\n
*<\/p>\n
Aspectos did\u00e1cticos del juego. <\/p>\n
* An\u00e1lisis de las estrategias y contenidos matem\u00e1ticos de algunos juegos y pasatiempos:<\/p>\n
* Comenzar por el final (El Nim)<\/p>\n
* Codificaci\u00f3n del proceso y modelizaci\u00f3n (Intercambio de caballos, El laberinto sexual)<\/p>\n
* Analog\u00edas e isomorfismos (El Jam)<\/p>\n
* Simetr\u00edas ( Reflexi\u00f3n de espejos)<\/p>\n
* Investigaciones (Los gansos y los zorros)<\/p>\n
* Estudio de casos particulares. El c\u00f3digo Gray (La torre de Hanoi)<\/p>\n
* Generalizaci\u00f3n a otros casos similares (El cuadrado evanescente, Retirada de palillos)<\/p>\n
* Juegos y teor\u00eda de n\u00fameros (El Sim)<\/p>\n
* Juegos y teor\u00eda de grupos (El solitario Ingl\u00e9s)<\/p>\n
* Juegos matem\u00e1ticos y biolog\u00eda.<\/p>\n
*<\/p>\n
Historias y comentarios sobre diversos juegos (Bridg-it, Mancala, Juego de la L, Morris, Desaparecidos, El tangram) <\/p>\n
Aspectos did\u00e1cticos<\/p>\n
Seg\u00fan M\u00aa Luz Callejo, los juegos de estrategia favorecen:<\/p>\n
* Trabajo en grupo.
\n * Comunicaci\u00f3n de ideas.
\n * Capacidad de interrogarse nuevas situaciones.
\n * Contraste de observaciones y conjeturas.
\n * Registro del proceso de resoluci\u00f3n por parte de los jugadores.
\n * Revisi\u00f3n y reflexi\u00f3n sobre el proceso de resoluci\u00f3n.<\/p>\n
Como metodolog\u00eda, propone cinco fases:<\/p>\n
* Orientaci\u00f3n del trabajo.
\n * Trabajo en grupo.
\n * Confrontaci\u00f3n de ideas.
\n * Puesta en com\u00fan .
\n * Aplicaci\u00f3n.<\/p>\n
G\u00f3mez Chac\u00f3n propone esta metodolog\u00eda general:<\/p>\n
* Familiarizarse con el juego.
\n * Exploraci\u00f3n inicial: buscar varias estrategias de resoluci\u00f3n.
\n * Llevar a cabo la estrategia: selecci\u00f3n de posiciones ganadoras, examinar la validez de nuevas conjeturas…
\n * Reflexionar sobre el proceso seguido.<\/p>\n
Luis Ferrero aporta algunas sugerencias did\u00e1cticas para la pr\u00e1ctica de juegos:<\/p>\n
* Graduar la dificultad del juego en funci\u00f3n de los alumnos a los que va dirigido.
\n * Sobre un mismo material de juego se pueden idear juegos distintos modificando adecuadamente las normas.
\n * Cuando dominen un juego hay que animarles a que lo adapten a su gusto variando alguna norma.
\n * Cuando la estrategia ganadora resulte dif\u00edcil, es aconsejable que ensayen casos m\u00e1s simples.<\/p>\n
Existe bastante literatura sobre resoluci\u00f3n de problemas. En funci\u00f3n del \u00e1mbito m\u00e1s o menos profundo o del nivel de especificaci\u00f3n encontraremos esquemas que se centran en pocos criterios se\u00f1alados de forma general (Polya, Bransford y Stein,…), o que detallan m\u00e1s las diversas estrategias ( Fern\u00e1ndez, Schoenfeld,…).Centr\u00e1ndonos en el juego, M\u00aa Luz Callejo resalta las siguientes capacidades en resoluci\u00f3n de problemas, que son estimuladas por los juegos:<\/p>\n
* Establecer analog\u00edas entre problemas.
\n * Empezar por el final.
\n * Resolver primero un problema m\u00e1s sencillo.
\n * Hacer una representaci\u00f3n gr\u00e1fica.<\/p>\n
Fernando Corbal\u00e1n resalta los siguientes:<\/p>\n
* Empezar por el final.
\n * Experimentar y extraer pautas.
\n * Sacar partido de la simetr\u00eda.
\n * Utilizar modelos adecuados de expresi\u00f3n (verbales, gr\u00e1ficos, algebraicos, num\u00e9ricos).
\n * Resolver problemas an\u00e1logos.
\n * Empezar por resolver un problema m\u00e1s sencillo.<\/p>\n
An\u00e1lisis de las estrategias y los contenidos matem\u00e1ticos de algunos juegos y pasatiempos (A modo de muestra)<\/p>\n
COMENZAR POR EL FINAL:<\/p>\n
El nim<\/p>\n
Hay gente que asegura que el juego proviene de Oriente. Este popular juego sufri\u00f3 un duro golpe cuando un matem\u00e1tico de Harvard, llamado Charles Leonard Bouton, dio con el sistema que aseguraba la victoria. Martin Gardner afirma que es un juego reciente, y que recibe el nombre de Bouton, quien lo tom\u00f3 del ingl\u00e9s antiguo, en donde nim significa quitar o robar.<\/p>\n
Dos jugadores retiran bolas alternativamente. Pueden retirar el n\u00famero de bolas que deseen, con la condici\u00f3n de que sean de la misma fila. Pierde el que se ve forzado a retirar la \u00faltima bola.<\/p>\n
Codificaci\u00f3n: a,b,c,d,e representan cada etapa del juego, donde a indica el n\u00famero de bolas que hay en la primera fila, b el de la segunda, etc. Por ejemplo: 1357 corresponde a la situaci\u00f3n de partida.<\/p>\n
Estrategia: Comenzar por el final y estudiar las posiciones perdedoras, ejemplos:<\/p>\n
0022<\/p>\n
0033 <\/p>\n
0044<\/p>\n
1230<\/p>\n
(Si nos tocase mover en estas circunstancias estar\u00edamos perdidos)<\/p>\n
Si continu\u00e1semos marcha atr\u00e1s hasta llegar al inicio obtendr\u00edamos una estrategia ganadora.<\/p>\n
El problema no es simple y se complicar\u00eda si aument\u00e1semos el n\u00famero de bolas o de filas.<\/p>\n
Boulton descubri\u00f3, en 1902, la siguiente regla (independiente del n\u00famero de filas y de bolas) para ganar:<\/p>\n
Expresamos en base 2 el n\u00famero de bolas que hay en cada fila, y sumamos expresando el resultado en base 10. Por ejemplo:<\/p>\n
Si todos los n\u00fameros de la suma son pares la situaci\u00f3n es fatal.<\/p>\n
\u00bfPor qu\u00e9 funciona esta estrategia? Ve\u00e1moslo:<\/p>\n
Si todos los n\u00fameros de la suma son pares, se deduce que, o bien no quedan bolitas, en cuyo caso gan\u00f3 el estratega, o al menos, necesariamente, hay dos filas con piedras (hecho que puede ocurrir habiendo impares, pero no de manera necesaria como es f\u00e1cil comprobar). En este caso el contrario no puede ganar porque s\u00f3lo puede retirar de una fila.<\/p>\n
Queda por analizar el motivo por el que nuestro estratega puede ganar, suponiendo que se encontrara en alg\u00fan momento con un impar en la suma (hecho que se dar\u00eda siempre que iniciara el juego). De otro modo: \u00bfpuede el jugador avispado dejar siempre al c\u00e1ndido oponente en situaci\u00f3n de suma con todos los d\u00edgitos pares?:<\/p>\n
El buen jugador ha de fijarse en la primera columna de la izquierda con un n\u00famero impar (de grupos de potencias de 2), en cada grupo hay bolitas. En cada uno de estos grupos hay bolas suficientes para conseguir que los cuadros siguientes de la misma fila queden llenos o vac\u00edos, de modo que todas las columnas queden con un grupo par de bolas.<\/p>\n
El poeta e inventor dan\u00e9s Piet Hein modific\u00f3 este juego, creando una variante llamada nimbi que no se puede resolver con un planteamiento matem\u00e1tico. La variante consiste en disponer varias hileras con igual n\u00famero de cerillas. Por turno, cada jugador retira el numero de cerillas consecutivas que quiera (no puede tomar ninguna hilera entera si en ella existe un hueco dejado por alguna cerilla retirada previamente). Gana el que retira la \u00faltima.<\/p>\n
CODIFICACI\u00d3N DEL PROCESO Y MODELIZACI\u00d3N<\/p>\n
Intercambio de caballos<\/p>\n
TIENES QUE INTERCAMBIAR LAS FICHAS SITUADAS EN LAS POSICIONES 1 Y 7 CON LAS SITUADAS EN 3 Y 5, MOVIENDO FICHAS ALTERNATIVAMENTE COMO LOS CABALLOS DEL AJEDREZ, CON UN M\u00c1XIMO DE 16 MOVIMIENTOS<\/p>\n
Imaginemos que las l\u00edneas rectas sean hilos. Las ocho casillas ser\u00edan como cuentas de un collar plegado, que al estirarlo forman un c\u00edrculo. Cada jugada en el tablero equivale a un movimiento en el c\u00edrculo. Para permutar entre s\u00ed los caballos habr\u00e1 que moverlos alrededor del c\u00edrculo, siempre en el mismo sentido.<\/p>\n
\u00bfCu\u00e1les son los movimientos que llevan a la soluci\u00f3n?<\/p>\n
Este mismo planteamiento vale para el problema de los gansos y los zorros, que no es m\u00e1s que una generalizaci\u00f3n. Si se realiza el grafo y se juega sobre \u00e9l, la soluci\u00f3n aparecer\u00e1 m\u00e1s f\u00e1cil (h\u00e1gase).<\/p>\n
El laberinto sexual<\/p>\n
El grafo siguiente es equivalente al formado por el laberinto:<\/p>\n
Si los dos jugadores se encuentran en lugares opuestos del borde de una malla cuadrada, y mueve en primer lugar el perseguidor, el juego entra en un ciclo persecutorio infinito. Ejemplos:<\/p>\n
Compru\u00e9bese lo anterior en una malla cuadrada de 16 puntos y ampl\u00edese el estudio a una malla cuadrada de dimensi\u00f3n cualquiera (Observaci\u00f3n: si el chico se mueve por el borde la chica siempre puede escapar por el mismo borde, si se adentra el chico, ella puede buscar una situaci\u00f3n similar a la de partida con una dimensi\u00f3n menor).<\/p>\n
Obs\u00e9rvese que en los casos comentados perder\u00eda la chica si tuviese que comenzar moviendo ella.<\/p>\n
Como consecuencia de lo anterior, el perseguidor no debe iniciar su persecuci\u00f3n avanzando hacia su objetivo: ha de dirigirse, hacia atr\u00e1s, a una de las plazoletas del contorno. Supongamos que lo hace hacia la que hay arriba a la izquierda:<\/p>\n
Cuando el chico ha realizado su primer movimiento la chica se ubicar\u00e1 en A o B, y mantendr\u00e1 situaci\u00f3n de ventaja si \u00e9l se limita a moverse por la parte resaltada del grafo.<\/p>\n
Situaci\u00f3n obligada para nuestro fogoso joven ser\u00e1 la siguiente, que se corresponde en el tablero con dar la vuelta por el per\u00edmetro (movimiento n\u00ba2):<\/p>\n
La chica, tras mover tambi\u00e9n dos veces, estar\u00e1 en una de las posiciones C, E, D o F correspondi\u00e9ndole mover a \u00e9l.<\/p>\n
Si lo hace hacia el punto inferior izquierdo se encontrar\u00e1 en situaci\u00f3n ganadora sea cual sea la posici\u00f3n de la chica. Es f\u00e1cil comprobar que el n\u00famero m\u00e1ximo de movimientos que le restan antes de alcanzarla es de 5.<\/p>\n
El juego admite generalizaciones a distintos tipos de mallas.<\/p>\n
ANALOG\u00cdAS E ISOMORFISMOS<\/p>\n
El jam y el tres en raya<\/p>\n
Cada jugador dispone de un rotulador de un color diferente y elimina por turno una de las autopistas numeradas, dibujando con su color a lo largo de la misma, aunque \u00e9sta pase por una o dos ciudades (c\u00edrculos).<\/p>\n
Gana quien coloree primero tres autopistas que entren en la misma ciudad.<\/p>\n
Hemos numerado los nodos del 3 en raya (obs\u00e9rvese que forman un cuadrado m\u00e1gico). Es f\u00e1cil comprobar que colocar una ficha de un color sobre uno de los d\u00edgitos equivale a tachar, con ese color, una autopista del jam . A los alumnos les sorprende descubrir que ambos juegos son el mismo. Si se desean ver m\u00e1s juegos isomorfos, pueden consultar el libro de Martin Gardner, \u00ab\u00a1aj\u00e1!\u00bb , de Editorial Labor.<\/p>\n
SIMETR\u00cdAS<\/p>\n
Reflexi\u00f3n de espejos<\/p>\n
Encontrar el eje de simetr\u00eda de la figura buscada, y utilizar la t\u00e9cnica de comenzar por el final, son las mejores estrategias para resolver estas cuestiones:<\/p>\n
El cubo de la cara roja<\/p>\n
La soluci\u00f3n de este dif\u00edcil pasatiempo tiene un recorrido sim\u00e9trico.<\/p>\n
Tambi\u00e9n encontramos simetr\u00eda en los movimientos del intercambio de caballos, como puede comprobarse en el apartado de soluciones, y en la actividad de juegos y biolog\u00eda.<\/p>\n
INVESTIGACIONES<\/p>\n
Los zorros y los gansos (Origen escandinavo. Sobre el s. XIII, d. J.)<\/p>\n
Los jugadores mueven alternativamente. La zorra se come a un ganso saltando sobre \u00e9l a la casilla contigua, si esta est\u00e1 en blanco. Puede comerse varios de un s\u00f3lo movimiento (al igual que en las damas).<\/p>\n
Los gansos, que se desplazan sobre las l\u00edneas a un lugar adyacente, no se pueden saltar sobre la zorra, ni com\u00e9rsela. Ganan los gansos si pueden acorralar a la zorra (lo que siempre ocurre si se juega de manera inteligente).<\/p>\n
Para aumentar las posibilidades de la zorra, tambi\u00e9n se juega con 17 gansos, limitados a moverse hacia adelante o a los lados. La zorra tambi\u00e9n puede moverse en diagonal a un lugar contiguo, y gana si se zampa a diez gansos<\/p>\n
* \u00bfCu\u00e1l es el n\u00famero m\u00ednimo de gansos para atrapar a la zorra? (4)
\n * \u00bfCu\u00e1ntas posiciones diferentes sobre el tablero se pueden formar con la zorra y seis gansos? (29904336, si se consideran diferentes las posiciones que resultan de otras mediante reflexiones y rotaciones)<\/p>\n
ESTUDIO DE CASOS PARTICULARES<\/p>\n
La torre de Hanoi<\/p>\n
Hallar la secuencia
\nN\u00ba de discos \t1 \t2 \t…………………………… \tn
\nN\u00ba m\u00ednimo de movimientos \t \t \t…………………………… \t <\/p>\n
Metodolog\u00eda<\/p>\n
* Comenzar por pocos discos.
\n * Observar que antes de terminar el juego con n discos, hay que hacerlo con n -1, siendo An = An-1 + 1 + An-1 = 1 + 2\u00b7An-1
\n * Observar que de A1 = 1; A2 = 3; A3 = 7; A4 = 15; A5 = 15; etc, se sigue que An= 2n – 1.<\/p>\n
EL C\u00d3DIGO GRAY<\/p>\n
Un c\u00f3digo Gray es una manera de representar los naturales en la que cada n\u00famero var\u00eda en un s\u00f3lo s\u00edmbolo respecto del n\u00famero anterior (el lector inteligente deducir\u00e1 que tal ocurre, en consecuencia, con el n\u00famero siguiente). El c\u00f3digo Gray m\u00e1s usual es el llamado c\u00f3digo Gray reflejado: para escribir un n\u00famero binario en Gray reflejado se miran sus cifras de derecha a izquierda, si un d\u00edgito tiene inmediatamente a su izquierda un 0 se deja el d\u00edgito como est\u00e1; si tiene un 1 se cambia. El d\u00edgito m\u00e1s a la izquierda siempre se deja sin alterar (se supone que tiene un cero a su izquierda)<\/p>\n
Ejemplo: 110111 en binario, se escribe como 101100.<\/p>\n
Para pasar de Gray a binario tambi\u00e9n se miran sus cifras de derecha a izquierda, si la suma de todos los que tiene a su izquierda es par, el d\u00edgito no se altera; si es impar se cambia. Naturalmente el \u00faltimo d\u00edgito a la izquierda no se cambia.<\/p>\n
Ejemplo: 111100 en Gray, se escribe como 101000<\/p>\n
Se puede comprobar que de esta manera cada n\u00famero, efectivamente, s\u00f3lo difiere de su antecesor en una sola cifra.<\/p>\n
Este c\u00f3digo, que se utiliz\u00f3 para evitar los errores en la transmisi\u00f3n de se\u00f1ales mediante modulaci\u00f3n por codificaci\u00f3n de impulsos, tambi\u00e9n tiene aplicaciones en la matem\u00e1tica recreativa. En 1872, Louis Gros public\u00f3 en Lyon un art\u00edculo dando a conocer el famoso rompecabezas de los aros chinos, se puede encontrar una aplicaci\u00f3n del c\u00f3digo Gray a la soluci\u00f3n del rompecabezas en el libro de M. Gardner, Rosquillas anudadas y otras diversiones matem\u00e1ticas, Labor, 1987, o en la direcci\u00f3n web de Javier Santos http:\/\/www.geocities.com\/capecanaveral\/hall\/3964\/anilla\/arosc\/arosc.htm<\/p>\n
Aqu\u00ed nos interesa por aportar otra v\u00eda diferente al estudio y soluci\u00f3n de la Torre de Hanoi. Llamaremos A al m\u00e1s peque\u00f1o de los discos, B al que le sigue, hasta llegar a E que es el m\u00e1s grande.<\/p>\n
EDCBA<\/p>\n
EDCBA<\/p>\n
EDCBA<\/p>\n
EDCBA<\/p>\n
EDCBA<\/p>\n
EDCBA<\/p>\n
EDCBA<\/p>\n
0<\/p>\n
111<\/p>\n
1111<\/p>\n
1000<\/p>\n
111110<\/p>\n
10101<\/p>\n
10001<\/p>\n
1<\/p>\n
101<\/p>\n
1110<\/p>\n
11000<\/p>\n
11111<\/p>\n
10111<\/p>\n
10000<\/p>\n
11<\/p>\n
100<\/p>\n
1010<\/p>\n
11001<\/p>\n
11101<\/p>\n
10110<\/p>\n
10<\/p>\n
1100<\/p>\n
1011<\/p>\n
11011<\/p>\n
11100<\/p>\n
10010<\/p>\n
110<\/p>\n
1101<\/p>\n
1001<\/p>\n
11010<\/p>\n
10100<\/p>\n
10011<\/p>\n
En la tablas superior hemos escrito los n\u00fameros Gray que utilizan menos de seis d\u00edgitos; en la primera columna del cero al cuatro, en la segunda del cinco al nueve, en la tercera del diez al catorce, etc.<\/p>\n
La estrategia de soluci\u00f3n del pasatiempo consiste en mover en cada paso el disco A, B, C, D o E que se corresponda con la columna del d\u00edgito que cambia. As\u00ed, en la primera jugada se mueve el disco A, en la segunda el B, en la tercera el A, en la cuarta el C, en la quinta el A de nuevo, en la sexta el B, etc. Tambi\u00e9n se deduce de aqu\u00ed que el n\u00famero de jugadas para n discos es de 2n-1.<\/p>\n
GENERALIZACI\u00d3N A OTROS CASOS SIMILARES<\/p>\n
El cuadrado evanescente (Paradoja aparente)<\/p>\n
Se ha dicho que la Geometr\u00eda es el arte de razonar bien sobre figuras falsas. CHASLES (En otro sentido, claro)<\/p>\n
En esta paradoja interviene los n\u00fameros 5, 8 y 13. Si probamos a plantearla con cuadrados de otras dimensiones, comprobaremos que tambi\u00e9n funciona con los n\u00fameros 8, 13 y 21. Lo anterior huele a los t\u00e9rminos de la sucesi\u00f3n de Fibonacci, en los que cada t\u00e9rmino es la suma de los dos anteriores (vuelve a aparecer la recursividad como en la torre de Hanoi).<\/p>\n
Precisamente, si construimos la paradoja con los n\u00fameros 2, 3 y 5 veremos mejor la trampa que encierra (v\u00e9ase el apartado de soluciones).<\/p>\n
Sean a, b, c tres t\u00e9rminos consecutivos de la sucesi\u00f3n de Fibonacci, se tiene que a + b = c y b2 = a \u00b7 c +1, o b2 = a \u00b7 c -1<\/p>\n
Consideremos una sucesi\u00f3n de t\u00e9rminos no necesariamente enteros, en la que cada t\u00e9rmino se obtenga mediante la suma de los dos anteriores. La pregunta es: \u00bfse podr\u00e1n dar las condiciones a + b = c y b2 = a \u00b7 c?. Es decir, \u00bfse podr\u00e1 cortar el cuadrado de tal forma que al disponer las piezas del rect\u00e1ngulo tenga el \u00e1rea igual al cuadrado?.<\/p>\n
Si despejamos c en ambas igualdades e igualamos, tenemos la ecuaci\u00f3n b2 – ab – a2 = 0.<\/p>\n
Cuya soluci\u00f3n positiva es<\/p>\n
\u00a1Aparece el n\u00famero \u00e1ureo!<\/p>\n
La \u00fanica sucesi\u00f3n de Fibonacci en la que cada t\u00e9rmino es el producto de sus t\u00e9rminos adyacentes es o, equivalentemente<\/p>\n
Recurrencia y ecuaciones polin\u00f3micas<\/p>\n
Se puede utilizar la matem\u00e1tica recreativa para la introducci\u00f3n de importantes cuestiones algebraicas, combinatorias, topol\u00f3gicas, etc. En este apartado y en los siguientes pondremos algunos ejemplos de manifiesto.<\/p>\n
Acabamos de exponer dos casos de ecuaciones recurrentes y, en el caso de las torres de Hanoi, hemos hallado una expresi\u00f3n para su t\u00e9rmino general: An= 2n – 1. Veamos que, en determinados casos particulares, se puede averiguar el t\u00e9rmino general de una sucesi\u00f3n recurrente.<\/p>\n
Si una relaci\u00f3n de recurrencia es del tipo:<\/p>\n
siendo los ci n\u00fameros reales, Se denomina ecuaci\u00f3n caracter\u00edstica de la relaci\u00f3n a la expresi\u00f3n:<\/p>\n
Est\u00e1 claro que la sucesi\u00f3n verifica la relaci\u00f3n de recurrencia sii b es ra\u00edz de la ecuaci\u00f3n caracter\u00edstica. En general, si la ecuaci\u00f3n tiene ra\u00edces no nulas y distintas, entonces cualquier sucesi\u00f3n del tipo:<\/p>\n
, donde las ci son arbitrarias, verifica la relaci\u00f3n de recurrencia. Si se dan k condiciones iniciales , entonces se puede obtener una soluci\u00f3n particular, pues estas condiciones determinan un sistema de ecuaciones lineales en las inc\u00f3gnitas ci:<\/p>\n
Y al ser las ra\u00edces distintas y no nulas, el determinante de la matriz de los coeficientes, que es el producto de por un determinante de Vandermonde, es diferente de cero y obtenemos una soluci\u00f3n particular para An<\/p>\n
Veamos, como ejemplo, c\u00f3mo obtener el t\u00e9rmino general de la sucesi\u00f3n anterior:<\/p>\n
Una sucesi\u00f3n de Fibonacci viene definida en los t\u00e9rminos , la ecuaci\u00f3n caracter\u00edstica asociada es<\/p>\n
. Si concretamos en nuestro ejemplo,<\/p>\n
las condiciones iniciales son d1 = 1, d2 = 2. Tenemos as\u00ed el sistema<\/p>\n
cuyas soluciones son: . As\u00ed pues, el t\u00e9rmino general de la sucesi\u00f3n viene dado por la regla:, que se llama f\u00f3rmula de Binet (1786-1856) porque que la obtuvo. Igual hicieron, de manera independiente, Moivre y D. Bernouilli.<\/p>\n
Dado que , tenemos que<\/p>\n
Por lo tanto para n suficientemente grande.<\/p>\n
Retirada de palillos y, \u00a1como no!, de nuevo EL N\u00daMERO \u00c1UREO<\/p>\n
Hay otro juego, inventado en 1907 por el matem\u00e1tico Wytoff, en el que se tienen dos montones con un n\u00famero de palillos cada uno; supongamos que hay m en uno y n en otro.<\/p>\n
En cada turno, un jugador tiene para elegir tres opciones de juego: retirar los palillos que desee de un mont\u00f3n (pudi\u00e9ndolo dejar vac\u00edo), hacer lo mismo en el otro mont\u00f3n o retirar igual cantidad de palillos de ambos montones.<\/p>\n
Es decir, de (m,n) se puede pasar a:<\/p>\n
(m-t,n)<\/p>\n
(m,n-t) \u00f3<\/p>\n
(m-t,n-t)<\/p>\n
Gana el jugador que retira la \u00faltima cerilla.<\/p>\n
Existen en el juego diferentes posiciones ganadoras: si un jugador, tras tirar, deja el juego en (2,1), el jugador siguiente se ver\u00e1 perdido en cualquiera de sus actuaciones (como es f\u00e1cil comprobar).<\/p>\n
Teorema: Las posiciones ganadoras vienen dadas por las posiciones (an , bn), n = 1, 2, 3, …<\/p>\n
donde {an} y {bn} son las sucesiones de Beatty correspondientes al n\u00famero irracional , que es el<\/p>\n
inverso del n\u00famero \u00e1ureo.<\/p>\n
Sea x un n\u00famero irracional positivo. Sea y su inverso, se llaman sucesiones de Beatty correspondientes al n\u00famero irracional x, a [n(1+x)], [n(1+y)] en donde [z] representa la parte entera de z.<\/p>\n
La demostraci\u00f3n se puede encontrar en el cap\u00edtulo 12 del libro El ingenio en las matem\u00e1ticas, de Ross Honsberger, colecci\u00f3n \u00abLa tortuga de Aquiles\u00bb, DLS-Euler editores.<\/p>\n
JUEGOS Y TEOR\u00cdA DE N\u00daMEROS<\/p>\n
El Sim<\/p>\n
El nombre le viene de su inventor Gustavus Simmons<\/p>\n
Cada jugador, alternativamente, debe unir mediante una recta dos puntos cualesquiera de la figura. Pierde el jugador que se vea forzado a formar un tri\u00e1ngulo con sus rectas.<\/p>\n
Veamos que siempre hay un ganador: supongamos<\/p>\n
que se ha terminado la partida completando las 6×5=30 rectas posibles, 15 rojas y 15 azules. Del v\u00e9rtice superior salen 5 rectas, de las que necesariamente habr\u00e1, al menos, 3 de ellas de igual color: supongamos que es el azul y que se dirigen, por ejemplo, a los v\u00e9rtices 5, 3 y 2:<\/p>\n
Si alguno de los segmentos que unen estos 3 v\u00e9rtices fuera azul, estar\u00eda comprobada la existencia de un tri\u00e1ngulo de un solo color. Si no fuese as\u00ed, los v\u00e9rtices 5, 3 y 2 estar\u00edan conectados por l\u00edneas rojas y llegar\u00edamos a la misma conclusi\u00f3n.<\/p>\n
Generalizaci\u00f3n del juego:<\/p>\n
Teorema de Ramsey.<\/p>\n
Dados unos enteros p1 , p2 ,…….., pt existe un entero N tal que si un conjunto tiene al menos ese n\u00famero de elementos y coloreamos los 2-subconjuntos de ese conjunto con colores {1,….,t} entonces existe un i y un pi -subconjunto tal que todos sus 2-subconjuntos tienen color i.<\/p>\n
Al m\u00ednimo entero N que cumpla las condiciones del teorema se le llamar\u00e1 n\u00famero de Ramsey<\/p>\n
R(p1 , p2 ,…….., pt).<\/p>\n
EL c\u00e1lculo de los n\u00fameros de Ramsey ha obtenido resultados escasos. El n\u00famero que interpreta el resultado del juego es R(3,3) = 6 (el m\u00ednimo n\u00famero de puntos para los que el juego tiene ganador es 6), tambi\u00e9n se conoce que R(3,4) = 9 y que R(4,4) = 18, lo que permite generalizar el juego de las siguientes formas:<\/p>\n
* Jugar con nueve puntos y gana el que antes consiga unir 3 o 4 puntos con un mismo color.
\n * Jugar con 18 puntos y gana el que antes consiga unir 4 puntos con un mismo color.<\/p>\n
Tabla de valores, o cotas de valores, conocidos de n\u00fameros de Ramsey:<\/p>\n
P\\Q \t3 \t4 \t5 \t6 \t7 \t8 \t9 \t10 \t11
\n3 \t6 \t9 \t14 \t18 \t23 \t28-29 \t36 \t40-43 \t46-51
\n4 \t \t18 \t25 \t35-41 \t49-61 \t53-84 \t69-115 \t80-149 \t96-191
\n5 \t \t \t43-49 \t58-87 \t80-143 \t95-216 \t114-316 \t118-442
\n6 \t \t \t \t102-165 \t \t \t \t \t <\/p>\n
Una breve rese\u00f1a de la vida de este interesante matem\u00e1tico, y un comentario m\u00e1s extenso sobre su teorema, se puede encontrar en FERN\u00c1NDEZ GALLARDO P., FERN\u00c1NDEZ P\u00c9REZ J.L.: \u00abEl desorden absoluto es imposible: la Teor\u00eda de Ramsey\u00bb. La Gaceta de la Real Sociedad Matem\u00e1tica Espa\u00f1ola (1999), Vol 2, n\u00ba 2, 263-289.<\/p>\n
JUEGOS Y TEOR\u00cdA DE GRUPOS<\/p>\n
El solitario ingl\u00e9s<\/p>\n
Este juego, que tiene el mismo tablero que el de los zorros y los gansos, lo invent\u00f3 un arist\u00f3crata franc\u00e9s durante su encierro en la Bastilla. Posteriormente se hizo muy famoso en Inglaterra.<\/p>\n
Podemos pensar en alguna variaci\u00f3n sobre el juego original: \u00bfqu\u00e9 ocurrir\u00eda si planteamos como objetivo conseguir que la \u00faltima ficha sobre el tablero ocupe una posici\u00f3n no central, por ejemplo?:<\/p>\n
Existe un m\u00e9todo, basado en el grupo de Klein, que permite demostrar la imposibilidad de alcanzar el objetivo propuesto.<\/p>\n
El grupo de Klein es un grupo conmutativo de cuatro elementos, que llamaremos a, b, ab y 1<\/p>\n
cuya tabla, f\u00e1cil de recordar es:
\n\u00b7 \ta \tb \tab \t1
\na \t1 \tab \tb \ta
\nb \tab \t1 \ta \tb
\nab \tb \ta \t1 \tab
\n1 \ta \tb \tab \t1
\nEn el tablero del solitario escribimos los elementos del grupo dispuestos en la forma que se manifiesta en la figura<\/p>\n
El producto de cada tres cuadros contiguos integrados por a, b y ab, en cualquier orden, vale 1. En consecuencia, el producto de todos los elementos del tablero vale a, como puede f\u00e1cilmente comprobarse.<\/p>\n
Consideremos un movimiento cualquiera de nuestro solitario<\/p>\n
Sean quienes sean los elementos que ocupan las casillas, el producto de las casillas ocupadas, antes y despu\u00e9s del movimiento, es el mismo.<\/p>\n
Como el producto de los elementos existentes en el tablero ha resultado invariante (no var\u00eda con los movimientos), el resultado final no puede ser el de una \u00fanica ficha ocupando un lugar b: la variante propuesta es imposible.<\/p>\n
Para consultar un an\u00e1lisis de las estrategias de este dif\u00edcil solitario (\u00a1desc\u00fabralas usted mismo!) se puede consultar GUZM\u00c1N, M. Cuentos con cuentas, Barcelona, Labor, 1984.<\/p>\n
JUEGOS MATEM\u00c1TICOS Y BIOLOG\u00cdA<\/p>\n
(Tomado de Enrique Mel\u00e9ndez Hevia. (1993). \u00abLa evoluci\u00f3n del metabolismo: hacia la simplicidad\u00bb, Eudema).<\/p>\n
En nuestro organismo se producen procesos biol\u00f3gicos que suponen resolver un problema. Resulta sorprendente conocer que algunos de ellos tengan cierto parecido con los problemas de intercambio con restricciones (recordemos el de la torre de Hanoi o el del lobo, la oveja y la col).<\/p>\n
Como veremos, el cuerpo act\u00faa encontrando la soluci\u00f3n m\u00e1s sensata en el menor n\u00famero de pasos. Tiene la sensatez de no dejarla en manos de nuestra inteligencia.<\/p>\n
En el metabolismo hay m\u00e1s de mil reacciones enzim\u00e1ticas. Estas forman grupos de secuencias de transformaci\u00f3n llamadas rutas metab\u00f3licas. Una ruta metab\u00f3lica puede tener pocos pasos o muchos en funci\u00f3n de lo dif\u00edcil que sea transformar un producto inicial en otro final.<\/p>\n
La fase no oxidativa del ciclo de las pentosas consiste en intercambiar los carbonos de los az\u00facares, de forma que seis pentosas (az\u00facares con 5 carbonos) queden transformadas en cinco hexosas (az\u00facares con 6 carbonos). Para realizar el intercambio, el organismo dispone de enzimas: la trancetolasa (TK) que transfiere dos carbonos de un az\u00facar a otro, la transaldolasa (TA) que transfiere tres y la aldolasa (AL) que une dos az\u00facares en uno solo, con la condici\u00f3n de que uno de ellos tenga tres carbonos. En este proceso hay que considerar el hecho emp\u00edrico de que no existen az\u00facares con uno o dos carbonos.<\/p>\n
Para representar la situaci\u00f3n en nuestra aula de juegos matem\u00e1ticos, dispondremos de seis cajas con cinco bolas iguales en cada una, y un cartel en el que se indiquen las siguientes instrucciones:<\/p>\n
Objetivo: pasando bolas de una caja a otra, dejar cinco cajas con seis bolas y una caja vac\u00eda.<\/p>\n
Normas:<\/p>\n
Se pueden pasar dos o tres bolas de una caja a otra.<\/p>\n
No puede haber cajas que contengan una o dos bolas<\/p>\n
Hay que alcanzar el objetivo realizando \u00fanicamente 7 trasvases.<\/p>\n
Existen infinitas formas, con distinto n\u00famero de pasos, de llevar a cabo la transformaci\u00f3n anterior cumpliendo las reglas. Lo sorprendente es que el organismo procede de la manera m\u00e1s \u00f3ptima. Veamos cu\u00e1l es:<\/p>\n
Si comenzamos por el final, sin perder de vista las reglas, est\u00e1 claro que la \u00fanica situaci\u00f3n previa al objetivo ha de ser de cuatro cajas con seis bolas y dos con tres: 663663. La gracia de este hecho es que dota de simetr\u00eda a la soluci\u00f3n. Si optimizamos el procedimiento 555 —– 663 tendremos la soluci\u00f3n deseada. Ahora la cuesti\u00f3n es muy f\u00e1cil como se muestra en el esquema:<\/p>\n
Solo quedar\u00e1, mediante AL, fundir los dos az\u00facares de tres carbonos en uno de seis.<\/p>\n
NOTA: esta claro que hemos despreciado opciones como la 375 ——- 078 y nos hemos limitado a las dos \u00fanicas que hacen m\u00ednimo el n\u00famero de pasos. El organismo elige la opci\u00f3n a porque le resulta m\u00e1s c\u00f3modo (digo yo) cargar un az\u00facar con 6 carbonos que sobrecargarlo con 9.<\/p>\n
Se puede plantear otra actividad similar al de las pentosas con el ciclo de Calvin en la fotos\u00edntesis. En este caso, las plantas tienen que transformar el CO2 en glucosa; y el juego asociado consiste en pasar de doce cajas, con tres bolas cada una, a seis cajas con cinco bolas y una con seis: <\/p>\n
333333333333 ——- 5555556. Las reglas son ahora TK y AL. Resu\u00e9lvase en 9 pasos o pulse aqu\u00ed para ver la soluci\u00f3n.<\/p>\n
HISTORIAS Y COMENTARIOS SOBRE DIVERSOS JUEGOS<\/p>\n
Juego del Gale o del Bridg-it<\/p>\n
Este juego fue inventado por David Gale, profesor de matem\u00e1ticas de la Universidad de Bran.<\/p>\n
Veamos, por reducci\u00f3n al absurdo, que el primer jugador tiene a su disposici\u00f3n una estrategia ganadora:<\/p>\n
El juego no puede terminar en empate porque si un jugador no ha conseguido atravesar el tablero, habr\u00e1 dejando un hueco por donde pueda atravesarlo el otro<\/p>\n
Supongamos que el segundo jugador puede disponer, desde un principio, de una estrategia segura para ganar.<\/p>\n
El primer jugador traza su primera l\u00ednea en cualquier parte. Despu\u00e9s de que el segundo jugador trace su primera l\u00ednea, el primero finge ser el segundo jugador, y juega con su estrategia ganadora.<\/p>\n
La l\u00ednea trazada por el primer jugador en el primer movimiento no puede entorpecer esta estrategia, ya que si no forma parte de ella carecer\u00e1 de importancia y, si formase parte de la estrategia, cuando llegase el momento de trazarla, lo har\u00eda en otra parte: en consecuencia, el primer jugador puede ganar siempre y esto contradice la primera suposici\u00f3n.<\/p>\n
El juego no puede terminar en empate, como no puede existir una estrategia para el segundo, habr\u00e1 de haberla para el primero.<\/p>\n
Esta prueba, famosa en la teor\u00eda de juegos, se conoce como prueba de existencia.<\/p>\n
Una estrategia que asegura la victoria viene descrita en la presentaci\u00f3n de diapositivas de soluciones del taller.<\/p>\n
El mancala (tambi\u00e9n llamado Bari)<\/p>\n
La palabra mancala proviene de mankalah, versi\u00f3n que se juega en Egipto usando agujeros en la arena y piedras o cagarrutas de camello.<\/p>\n
El tablero de mancala m\u00e1s antiguo que se conoce fue descubierto en ese pa\u00eds y corresponde a una fecha entre 1580 y 1150 a. de C. Se han encontrado tableros en las losas del templo de Hefesto en Atenas, aunque no se puede determinar su fecha (pudo ser construido por los turcos), en Sri Lanka se han encontrado tableros de los primeros siglos de nuestra era y, en Arabia, de \u00e9pocas anteriores a Mahoma.<\/p>\n
Este juego no ha arraigado en Europa. En Siria, Egipto y \u00c1frica occidental lo juega todo el mundo (hay quien lo llama el juego nacional de \u00c1frica), pero lo normal es que lo hagan hombres con hombres, mujeres con mujeres y ni\u00f1os con ni\u00f1os. En el sur de la India, Sri Lanka, Malasia, Indonesia y Filipinas es casi exclusivamente un juego de mujeres. En Sri Lanka se suele jugar m\u00e1s bien por A\u00f1o Nuevo y en las Indias Occidentales tiene un cierto significado religioso, jug\u00e1ndose a veces para entretener el esp\u00edritu del muerto que espera ser enterrado; se cree que la fabricaci\u00f3n de tableros tiene cierto peligro espiritual y que s\u00f3lo pueden hacerlos ancianos viudos.<\/p>\n
Juego de la L<\/p>\n
Lo invent\u00f3 Edward de Bono, conocido en la literatura de resoluci\u00f3n de problemas, y c\u00e9lebre ap\u00f3stol del pensamiento lateral.<\/p>\n
El Morris de nueve peones<\/p>\n
Se han encontrado tableros procedentes del antiguo Egipto (aproximadamente sobre el 1400 a. de C.), de Sri Lanka (900 d. de C.) y en del barco vikingo de Gokstad (900 d. de C.). En el siglo XIV se construyeron art\u00edsticos tableros en forma de cajas, con tapas articuladas, que ten\u00eda por una cara el tablero del ajedrez, por la otra el del morris, y en el interior el backgammond. Ken Follet, en su obra Los pilares de la tierra lo sit\u00faa como un juego popular en la Inglaterra del medievo.<\/p>\n
El chino y el enano que desaparecen<\/p>\n
Estas aparentes paradojas fueron popularizadas por Sam Lloyd, c\u00e9lebre e ingenioso autor de otros muchos pasatiempos matem\u00e1ticos, entre ellos el popular juego del quince, o de problemas como el problema de Lily.<\/p>\n
El Tangram<\/p>\n
Hay quien asegura que este juego es muy antiguo, pero probablemente fue creado en China a principios del XIX. Con el origen de la palabra sucede lo mismo: hemos le\u00eddo que deriva posiblemente de la uni\u00f3n de dos vocablos: tang , que significa chino, y gram que significa dibujo. Hay quien sostiene que procede de tanka, nombre de las muchachas cantonesas que viven en las embarcaciones del Si-Kiang (r\u00edo de las perlas).<\/p>\n
La realidad, menos rom\u00e1ntica, parece indicar que proviene del ingl\u00e9s antiguo en el que trangram significa juguete o rompecabezas.<\/p>\n
Las piezas del tangram se llaman tans y se pueden formar hasta 1600 figuras diferentes.<\/p>\n
Existen versiones diferentes del pasatiempo, que no han tenido la misma popularidad, entre las que se encuentran los modelos que describimos a continuaci\u00f3n:<\/p>\n
Seg\u00fan afirmaba el autor consultado, ll\u00e1mase de damas porque es m\u00e1s caprichoso; no consiste \u00fanicamente en formar figuras geom\u00e9tricas, sino tambi\u00e9n fant\u00e1sticas siluetas de animales, de edificios y de personajes. EST\u00c9VANEZ, N. Entretenimientos matem\u00e1ticos, Garnier, Par\u00eds 1894.
\nVeamos algunos consejos para enfrentarse al juego:<\/p>\n
* Comenzar a practicar con formas sencillas (habitualmente de animales y personas)
\n * Observar bien el contorno: extremos y partes sobresalientes te ayudar\u00e1n a desvelar la posici\u00f3n de las piezas.
\n * Utiliza primero los tri\u00e1ngulos grandes y sigue colocando las piezas por orden decreciente: el tri\u00e1ngulo medio, el romboide, el cuadrado y, por \u00faltimo, los dos tri\u00e1ngulos peque\u00f1os
\n * Ojo: un tri\u00e1ngulo grande puede esconder con piezas peque\u00f1as.
\n * A veces las apariencias enga\u00f1an: las formas que sobresalen de una figura parecen tri\u00e1ngulos peque\u00f1os pero son los v\u00e9rtices del grande.
\n * Cuidado con la pieza romboide pues, al darle la vuelta, cambia de aspecto sustancialmente. En muchos rompecabezas tendr\u00e1s que probar con ambas caras.<\/p>\n
o Conviene conocer c\u00f3mo se pueden formar las piezas b\u00e1sicas (tri\u00e1ngulo, cuadrado,..) de diferentes formas:<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
MISCEL\u00c1NEA DE CUESTIONES MATEM\u00c1TICAS RELACIONADAS CON EL TALLER ESTRUCTURA DE LA P\u00c1GINA: * Aspectos did\u00e1cticos del juego. * An\u00e1lisis de las estrategias y contenidos matem\u00e1ticos de algunos juegos y pasatiempos: * Comenzar por el...<\/p>\n","protected":false},"author":10424,"featured_media":0,"parent":4934,"menu_order":1,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":{"ngg_post_thumbnail":0,"footnotes":"","_mc_calendar":[]},"aioseo_notices":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/iesarroyodelamiel\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/4935"}],"collection":[{"href":"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/iesarroyodelamiel\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/iesarroyodelamiel\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/iesarroyodelamiel\/wp-json\/wp\/v2\/users\/10424"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/iesarroyodelamiel\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=4935"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/iesarroyodelamiel\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/4935\/revisions"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/iesarroyodelamiel\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/4934"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blogsaverroes.juntadeandalucia.es\/iesarroyodelamiel\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=4935"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}