Introducción: espacios dimensionales

Estamos acostumbrados a reconocer el punto, la recta y el plano como elementos de la geometría. También puede sernos útil interpretar esos elementos como espacios dimensionales.

Qué es un espacio dimensional?

Es un espacio que se define por el número de coordenadas necesarias para determinar en él la posición de un punto.

Ejemplo: En el espacio tridimensional que ocupamos, son necesarias tres coordenadas (altura, desplazamiento, profundidad) para determinar sin ambigüedades la posición de un punto .

Espacios 0-dimensionales o de grado 0

Son los puntos. Un punto situado en un espacio de 0 dimensiones no necesita ninguna coordenada para determinar su posición en él: o son coincidentes o no lo son, puesto que ambos son idénticos. Cualquier otra relación (distancia, por ejemplo) se definiría en un espacio mayor (de 1, 2 o 3 dimensiones).

Atendiendo a esa definición, los puntos se consideran infinitamente pequeños. Sólo pueden tener una propiedad: su posición en un espacio mayor. No tienen grosor, altura o anchura, ni por tanto partes de arriba ni abajo, izquierda ni derecha, delante ni detrás.

En Dibujo Técnico (DT en adelante) representamos los puntos como pequeñas marcas, cruces, aspas o círculos. Los puntos que deban nombrarse lo serán con letras mayúsculas en orden alfabético desde la A, o numéricamente desde el 1.

Espacios unidimensionales o de grado 1

Las líneas rectas. Para determinar la posición de un punto contenido en una recta (con respecto a un origen de coordenadas) basta una sola coordenada: su distancia al origen. Si la recta está ordenada (Tiene dirección) esa coordenada puede ser positiva o negativa.

Las rectas se consideran infinitamente largas e infinitamente delgadas.

Un punto que se mueve en una dirección uniforme genera una recta. La intersección de dos rectas es un punto. Una recta también se define como la intersección de dos planos.

Una recta es imposible de representar en su totalidad, como también lo es la semirrecta. En DT representamos la recta como un segmento más o menos largo cuyos extremos no coinciden con puntos representados, para evitar que se confundan con semirrectas o segmentos, que se trazan de modo que su origen (semirrecta) o sus extremos (segmento) queden claramente indicados.

Por razones de normalización una recta puede representarse con diferentes trazados.

Las rectas y semirrectas que deban ser nombradas lo serán con letras minúsculas en orden alfabético desde la r.

Una recta posee no sólo posición, sino también dirección. Puede determinarse mediante dos puntos contenidos en ella o mediante un punto y una dirección.

Dos rectas en un espacio tridimensional pueden ser coplanarias (pertenecen al mismo plano) o no. Son coplanarias las rectas concurrentes y las paralelas. No lo son las que se cruzan. Consideramos que las rectas paralelas son concurrentes en el infinito. Esto es congruente si consideramos la recta como una circunferencia de radio infinito.

Dos rectas coplanarias pueden ser paralelas o coincidentes si tienen la misma dirección. En esos casos, el ángulo entre ellas es igual a cero. Si las direcciones son diferentes, podemos medir la inclinación de una con respecto a la otra en grados sexagesimales. Cuando ese grado es igual a 90º (un cuarto de circunferencia) esas rectas son perpendiculares entre sí y pueden constituirse en ejes de coordenadas.

Los ángulos formados por dos rectas son 4 en total, iguales los opuestos y complementarios (su suma vale 180º) los adyacentes.

En el espacio dos rectas pueden ser perpendiculares aunque no sean coplanarias. Lo serán si una de ellas puede estar contenida en un plano perpendicular a la otra. Cualquier recta de ese plano será perpendicular a la primera.

Espacios bidimensionales o de grado 2

Los planos. Para determinar la posición de un punto en un plano necesitamos sólo dos coordenadas, que se establecen con respecto a dos ejes cartesianos arbitrarios, aunque es costumbre considerar a uno vertical y al otro horizontal.

Los planos se consideran infinitamente extensos e infinitamente delgados.

Una recta que se mueve en una dirección uniforme genera un plano. La intersección de dos planos, como ya vimos, es una recta. La intersección de tres planos es un punto.

La representación del plano en el papel, la pizarra o la pantalla del ordenador plantea un problema: al ser infinitamente extenso, su única representación posible sobre una superficie bidimensional coincidiría punto por punto con dicha superficie. Solucionamos esto o bien dibujando las intersecciones del plano con elementos conocidos, o bien trazando unos bordes ficticios de ese plano, generalmente con forma cuadrada o rectangular, que nos ayuden a visualizar su posición y dirección.

Cualquier recta contenida en un plano lo divide en dos semiplanos, que pueden quedar orientados con los valores (distancias, coordenadas) positivos a un lado y los negativos al otro. Dos rectas perpendiculares entre sí dividen el plano en cuatro cuadrantes y, como hemos visto, pueden actuar como ejes cartesianos.

Al hablar de la recta dijimos que dos rectas paralelas se cortan en un punto del infinito. Dos rectas paralelas pertenecientes a un plano se cortan siempre en un punto del plano situado en el infinito, que pertenece a la recta límite del plano. Dicha recta límite quedaría definida como el lugar geométrico de los puntos del infinito de las rectas pertenecientes al plano.

Podemos visualizar esa recta límite imaginándonos de pie sobre una superficie bidimensional horizontal ilimitada. La línea de horizonte sería la recta límite. No se nos escape que esa línea de horizonte es en realidad una circunferencia de radio infinito, que es por definición una recta.

Los planos que deban ser nombrados lo serán mediante letras griegas o mediante las letras P, Q, T, U, W.

En un espacio mayor, un plano queda definido por tres puntos

Con respecto a un punto, la única relación posible de un plano es la de distancia, que será siempre perpendicular al plano tal como definimos al hablar de la recta.

Con respecto a una recta las relaciones posibles son:

  • pertenencia
  • distancia, si el plano y la recta son paralelos
  • ángulo, si ambos son concurrentes

Una recta se considera paralela a un plano si puede ser paralela a una recta contenida en el plano

El ángulo entre un plano y una recta se considera el menor de todos los posibles, y se calcula fácilmente mediante un plano que, conteniendo a la recta, sea perpendicular al plano inicial. El ángulo formado entre la recta y la intersección de ambos planos es el valor buscado.

Dos planos paralelos se cortan en sus respectivas rectas límite.

Un plano es perpendicular a una recta cuando todas sus rectas lo son.

El ángulo entre dos planos se mide considerando el menor de todos los posibles. Se calcula mediante un plano auxiliar perpendicular a la intersección de ambos. Las intersecciones de ese plano con los dados determinan el ángulo buscado, que recibe el nombrede ángulo diédrico.

Dos planos perpendiculares entre sí dividen el espacio en 4 cuadrantes. Tres planos perpendiculares entre sí actúan como planos de referencia para establecer las coordenadas de un punto en el espacio.

Espacio tridimensional o de grado 3

No podemos hablar en geometría euclidiana de espacios tridimensionales en plural porque sólo podemos percibir uno, en el que nos desenvolvemos. Sin embargo a nivel puramente teórico podemos definir, imaginar o representar otros.

Desde nuestra perspectiva en un espacio tridimensional podemos ver infinitos espacios bidimensionales, unidimensionales y cero-dimensionales. Todos esos elementos los percibimos por su intersección con el espacio tridimensional. Podemos ver su forma, sus límites y sus relaciones con otros elementos

No podemos, sin embargo, percibir los límites del espacio o su relación con otros posibles espacios tridimensionales.

La única posibilidad de percibir esos límites y relaciones sería desde un hipotético espacio de 4 o más dimensiones. Podemos tratar de imaginar algunos aspectos de esas relaciones haciendo una trasposición de las que se dan entre espacios de diferente número de dimensiones.

Por ejemplo, si representamos un hexaedro en un plano como dos cuadrados unidos por sus vértices, podemos imaginar la representación tridimensional de una figura equivalente (llamada hipercubo) como dos hexaedros unidos por sus vértices. Al igual que en el caso anterior, el tamaño y posición de un cubo con respecto a otro no sería fijo, sino variable en función de la posición con respecto a nosotros.

Más: si la intersección entre dos rectas es un punto, y entre dos planos una recta… la intersección entre dos espacios tridimensionales debería ser un plano. Si pudiésemos ver desde nuestro espacio tridimensional esa hipotética intersección, esta tendría la forma de un plano infinito en el que los objetos del espacio que corta al nuestro se representarían al corte, como las líneas de cota de un mapa o las imágenes de un TAC.

Valga esto último simplemente como ejercicio de gimnasia mental que nos ayude a percibir las relaciones entre espacios dimensionales. Existe una novela, Flatland (Planilandia en español), escrita por el matemático Edwin Abbott en 1884 que imagina las relaciones entre seres bidimensionales que habitan en un plano, y sus dificultades para explicar las intersecciones entre su universo plano y otros espacios dimensionales. Se ha producido una película de animación a partir de la novela, pero no conozco versión en español.

Por otra parte, según la Teoría de Cuerdas, el universo estaría formado por partículas que vibran en once dimensiones (diez espaciales y una temporal). Sin embargo esta teoría tiene serios detractores, muchos de los cuales la consideran una pseudociencia.

Sea o no ciencia, el ejercicio mental de tratar de imaginar espacios dimensionales diferentes (ver videos), sea el mundo plano de Flatland o el universo descrito por la Teoría de Cuerdas

Recursos sobre el tema