Los problemas definidos por Apolonio de Perga (S. II a. C.) resuelven casos en los que se busca una circunferencia tangente a otros tres elementos, que pueden ser puntos, rectas o circunferencias. Aunque algunos de ellos los hemos estudiado ya, los recopilamos aquí para facilitar su consulta.

01. Circunferencia que pasa por tres puntos dados (PPP)

  1. Dados los puntos A, B y C, queremos trazar una circunferencia que pase por los tres.
  2. Los puntos dados, al ser puntos de la circunferencia, equidistan de su centro. Por tanto, las mediatrices de los segmentos AB, BC y AC nos dan dicho centro.
  3. Conocido el centro, el radio de la circunferencia buscada será igual a OA, OB u OC.

02. Circunferencia que pasa por dos puntos y es tangente a una recta (PPR)

  1. Dados los puntos A y B, y la recta r, buscamos una circunferencia que, pasando por los puntos, sea tangente a la recta.
  2. La mediatriz de AB contendrá los centros de cualquier circunferencia que los contenga.
  3. Trazamos una circunferencia auxiliar cualquiera que pase por A y B. Esta circunferencia y las soluciones buscadas comparten eje radical.
  4. Trazamos dicho eje radical y el centro radical CR, en la intersección con r. Dicho punto tendrá igual potencia con respecto a la circunferencia auxiliar y las dos soluciones. Calculamos esa potencia, que será igual a CRT2
  5. Trasladamos la distancia CRT sobre r, obteniendo los puntos de tangencia con la recta de las circunferencias buscadas.
  6. Trazamos por T1 y T2 las perpendiculares a r que cortarán a la mediatriz de AB en los centros de las circunferencias deseadas.
  7. Conocidos los centros y los puntos de tangencia, podemos trazar las soluciones.

3. Circunferencias tangentes a dos rectas dadas y que pasen por un punto
(RRP).

  1. Conocidos el punto P y las rectas r y s, queremos hallar las circunferencias tangentes a ambas rectas y que pasen por P.
  2. Cualquier circunferencia tangente a dos rectas concurrentes tendrá su centro en la bisectriz del ángulo que forman.
  3. Trazamos por P una perpendicular a esa bisectriz. Dicha recta es eje radical de las circunferencias buscadas, y corta a s (o a r) en un punto (CR) que tiene igual potencia con respecto a cualquier par de circunferencias que tengan centro en la bisectriz y pasen por P, incluyendo las soluciones.
  4. Dibujamos una circunferencia auxiliar para calcular dicha potencia (CRT2).
  5. Trasladamos la distancia CRT sobre s para hallar los puntos de tangencia buscados.
  6. Obtenemos los centros de las circunferencias buscadas.
  7. Trazamos las soluciones.

4. Circunferencias tangentes a tres rectas dadas (RRR).

  1. Conocidas tres rectas, queremos trazar las circunferencias tangentes a las tres.
  2. Los centros de las circunferencias buscadas pertenecerán a las bisectrices de los ángulos definidos por cada par de rectas.
  3. Hallamos los centros.
  4. Buscamos los puntos de tangencia.
  5. Trazamos las circunferencias.

5. Circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a otra
circunferencia (PPC).

  1. Dados los puntos A y B y la circunferencia c, queremos una circunferencia que, pasando por A y B, sea tangente a c.
  2. Trazamos el LG de los posibles centros de circunferencia que pasan por A y B.
  3. La circunferencia auxiliar d comparte centro radical con c y las dos soluciones posibles.
  4. Hallamos dicho centro radical, CR.
  5. La distancia CRT12 es la potencia de CR con respecto a c, y por tanto también con respecto a las circunferencias que buscamos.
  6. Trasladamos la distancia CRT1 sobre la circunferencia c para obtener el punto de tangencia T2
  7. Hallamos los centros de las circunferencias buscadas.
  8. Y finalmente trazamos las circunferencias.

6. Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a dos
circunferencias (PCC).

7. Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a una recta y a una
circunferencia (PRC).

Este problema tiene cuatro soluciones, pero por claridad mostramos aquí sólo una de ellas. Su solución pasa por trazar las inversas de c y r tomando A como centro de inversión. Si tomamos como potencia de inversión la del punto A con respecto a c, la inversa de c será ella misma, lo que simplificará bastante el problema.

  1. Tenemos un punto A, una recta r y una circunferencia c. Queremos una circunferencia que, pasando por A, sea tangente a c y a r.
  2. Hallamos T, punto de tangencia con c de una recta que pasa por A.
  3. Trazamos la circunferencia de puntos dobles con centro en A y radio AT. De este modo la inversa de c es ella misma.
  4. Hallamos la inversa de r, que es la circunferencia que pasa por A, M y N.
  5. Trazamos una recta tangente a ambas inversas (hay cuatro posibles rectas tagentes, lo que nos proporciona cuatro posibles soluciones al problema).
  6. La circunferencia inversa de esta última recta es tengente a c y a r, y pasa por A.

8. Circunferencias tangentes a dos rectas y a una circunferencia (RRC).

En este caso procedemos por dilatación, trazando dos rectas paralelas a las dadas a una distancia igual al radio de la circunferencia. Así el problema queda reducido a uno ya conocido (RRP). Una vez resuelto, deshacemos la dilatación.

Lo tenéis detallado aquí: Apolonio RRC.

9. Circunferencias tangentes a una recta y a dos circunferencias (RCC).

De nuevo lo resolvemos por dilatación en una magnitud igual al radio de la circunferencia menor, de manera que esta quede reducida a un punto, con lo que el problema queda convertido al ya explicado PCR.

Podéis verlo aquí: Apolonio RCC.

10. Circunferencias tangentes a tres circunferencias (CCC).

Este es otro problema que resolvemos convirtiéndolo en otro por dilatación. Si restamos a las tres circunferencias dadas el radio de la menor, esta quedará reducida a un punto, por lo que el problema queda convertido en el sexto (PCC). No olvidemos deshacer la dilatación tras resolver el problema.

Aquí lo tienes detallado: Apolonio CCC.