Podemos usar inversión para solucionar problemas en los que debemos trazar una circunferencia tangente a otros tres elementos. Estos pueden ser puntos, rectas o circunferencias tomados en cualquier orden. En los casos más sencillos (circunferencia que pasa por tres puntos, circunferencia tangente a tres rectas) no es necesario emplear inversión para solventarlos, y algunos otros se pueden resolver mediante ejes y centros radicales. Pero en otros casos, puede que la inversión sea el método más adecuado.
El método general consiste en los siguientes cuatro pasos:
- Dados los datos, tomamos un centro de inversión en uno de ellos y una circunferencia de autoinversión (también llamada de puntos dobles).
- A partir de esos elementos, hallamos los inversos de los datos
- Trazamos las tangentes a esos elementos
- Hallamos las inversas a esas tangentes
Caso 1: Circunferencias tangentes a una recta, pasando por dos puntos (PPr)
- Sean la recta r y los puntos A y B, queremos dibujar una circunferencia tangente a r que pase por A y B.
- Elegimos B como centro de la inversión y trazamos una circunferencia de autoinversión cualquiera. Hemos elegido la que es tangente a r, ya que de ese modo el punto de tangencia P será doble.
- La circunferencia de diámetro BP es inversa de r.
- Hallamos A’, inverso de A. Nos apoyamos para ello en D, punto de tangencia de la recta AD con la circunferencia de puntos dobles.
- Trazamos por A’ la recta n, tangente a c en T’. Por supuesto, existe otra circunferencia tangente a c pasando por A’, pero en este ejemplo la omitimos para ganar en claridad.
- La circunferencia e, que pasa por A, B y los puntos donde n es secante a la circunferencia de autoinversión, es la solución buscada.
- Nótese que T’ es inverso de T, punto de tangencia de la solución con r, lo que nos proporciona otros posibles procedimientos para hallar la solución.
Caso 2: Circunferencias tangentes a una circunferencia dada, pasando por dos puntos
- Dados los puntos A y B y la circunferencia c, queremos una circunferencia tangente a c que pase por A y B. Este problema tiene dos soluciones, pero daremos sólo una para mayor claridad.
- Tomamos B como centro de inversión y trazamos una circunferencia de puntos dobles que pase por T1, punto de tangencia de la recta r, que pasa por B, con c.
- Hallamos A’, inverso de A. La inversa de la circunferencia dada es ella misma.
- Trazamos por A’ una recta tangente a c.
- Dicha recta, s, corta a la circunferencia de puntos dobles en M y N, por lo que su circunferencia inversa también lo hará. Esa circunferencia, d, es una de las soluciones buscadas.
Caso 3: Circunferencias tangentes a una recta y una circunferencia dadas, pasando por un punto
- Dados el punto P, la circunferencia c y la recta r, buscamos una circunferencia tangente a c y r, pasando por P.
- Tomamos P como centro de inversión, y una circunferencia de puntos dobles que convierta a c en inversa de sí misma (ver caso anterior).
- La inversa de r es una circunferencia que pasa por P y los los puntos dobles M y N. La inversa de c, como hemos visto, es coindicente con ella.
- Trazamos la recta t, tangente a las halladas en el paso anterior.
- La inversa de t es la solución buscada.