El curso pasado ya estudiamos algunos ejemplos de homología, y de sus casos particulares:
- Homología afín, o afinidad. En este tipo de transformación homológica, el centro de afinidad está situado en el infinito, de manera que los haces proyectivos son paralelos.
- Homotecia. En este caso es el eje de homología el que está situado en el infinito, y por tanto dos rectas homólogas (que deben cortarse en el eje) son siempre paralelas.
Aunque también mencionamos la existencia de dos rectas límite, no llegamos a profundizar en ese concepto.
Rectas límite en una homología
Una recta límite es el lugar geométrico de los puntos límite de las rectas de un plano homológico de otro. Para comprender esto necesitamos definir el concepto de punto límite.
Punto límite de una recta r’, homológica de otra, r.
Sabemos que, en una homología, un punto A de una recta r será homológico de un punto A’, perteneciente a r’, si r y r’ són homológicas y A y A’ están alineados con el centro de homología V. En el gráfico animado que se incluye abajo, consideramos que r y r’ son homológicas. Por tanto los puntos A y A’, también. El deslizador situado en la parte superior izquierda del gráfico modifica la posición de A en la recta.
Observa que cuanto mayor sea la distancia entre A y el eje, mayor lo será también entre el eje y A’. Pero el incremento de esa distancia es diferente en ambos puntos. Mientras A puede alejarse a una velocidad uniforme, A’ lo hace cada vez más despacio, hasta llegar casi a detenerse.
Lógicamente, el ángulo que forma la semirrecta VA con r cambia según A se aleja, llegando a ser de 0º cuando A esté en el infinito. Esto hace que A’ no pueda alejarse más allá de cierta posición en la semirrecta. A esa posición se la conoce como punto límite de r’, y puede definirse como el homólogo de un punto del infinito de la recta r.
El punto límite de una recta r’ homológica de otra, r, se halla mediante la intersección de r’ con una paralela a r que pase por V.
Pues bien, consideremos todas las posibles rectas que podemos dibujar en un semiplano. A cada una de ellas corresponderá una recta homóloga en el otro semiplano, cada una con su propio punto límite. El lugar geométrico de todos esos puntos límite es una recta paralela al eje que recibe el nombre de recta límite (RL’).
En realidad toda homología posee dos rectas límite, pues lo que acabamos de explicar es también válido en sentido contrario: al igual que r’ tiene un punto A’ homológico de un punto A de r situado en el infinito, r también tiene un punto homológico de un punto del infinito de r’. Esta segunda recta límite, (RL) es también paralela al eje. Otra característica de las rectas límite es que la distancia entre cada una de ellas y el centro de homología es igual a la distancia ente la otra y el eje.
Hallar las rectas límite en una homología
Dada la homología determinada por el centro V, los puntos A y A’ y el eje dado, se pide hallar las rectas límite
- Trazamos las rectas homólogas r y r’
- Una paralela por V a r’, que corte a r, nos dará su punto límite. Por él, y paralelo al eje, obtendremos RL.
- Igualmente, una paralela a r por V cortará a r’ en su punto límite, lo que nos dará RL’
Resolución de una homología conocidos el eje, el centro y una recta límite
Dados el centro de homología V, la recta límite RL, el punto A y el eje, halla A’, homólogo de A
- Traza una recta cualquiera que pase por A y corte a RL (en B)
- Dibuja una recta por V y B, y una paralela a ella por el punto doble de la que pasa por A
- Esta última y la que pasa por A son homólogas, por lo que el punto A’ estará en ella, alineado con V y A
Cómo situar el centro de una homología para obtener un ángulo
De una homología se conocen la recta límite RL, el eje y dos rectas r y s. Queremos situar el centro de homología (V) de manera que r’ y s’ sean perpendiculares.
- Trazamos el arco capaz de 90º para el segmento MN (puntos límite de r y s).
- Tomamos un punto cualquiera del arco c y los unimos con M y N.
- Sabemos que VM y VN serán paralelos a r’ y s’ respectivamente. Las trazamos.
- Por supuesto, el punto A, intersección de r y s, será transformado de A’, intersección de r’ y s’
Mediante homología, transforma cualquier triángulo en equilátero
Sean el triángulo ABC, la recta límite y el eje de una homología, queremos situar V para que A’B’C’ sea equilátero
- Trazamos las rectas AC y BC, que nos dan M y N en la recta límite
- Dibujamos el arco capaz de 60º para MN
- Trazamos la recta AB, que nos da O en RL. Arco capaz de 60º para NO. V es el centro de homología buscado
- Los pasos 5 a 10 resuelven el problema como de costumbre