Concurso de Problemas matemáticos IES Santiago Ramón y Cajal 2018-19.
Semana 5. Hasta el 23 de noviembre de 2018.
1º y 2º ESO:
- Problema 1 (1 pto)
¿Cuántos cuadriláteros se ven en la figura?
Problema 2 (2 pts)
El área del rectángulo ABCD es 10. Los puntos M y N son los puntos medios de los lados AD y BC. ¿Cuál es el área del cuadrilátero MBND?
- Problema 3 (3 pts)
- Problema 4 (4 pts)
3º y 4º ESO:
- Problema 1 (1 pto)
- Problema 2 (2 pts)
- Problema 3 (3pts)
- Problema 4 (4 pts)
1º y 2º Bachillerato:
- Problema 1 (1 pto)
- Problema 2 (2 pts)
- Problema 3 (3 pts)
Sea ABC un triángulo tal que AB = 6, AC = 8, y BC = 10; y M el punto medio de BC. AMDE es un cuadrado y MD corta a AC en el punto F Hallar el área de AFDE.
- Problema 4 (4 pts)
Semana 4. Hasta el 9 de noviembre de 2018.
1º ESO:
Un número natural tiene tres cifras. Multiplicándolas resulta 135. ¿Qué resultado hubiéramos obtenido si las hubiésemos sumado?
2º ESO:
Dos campanas empiezan a sonar al mismo tiempo. La primera suena cada 3 segundos, y la segunda, cada 2 segundos. Cuando suenan al mismo tiempo no se distinguen sus sonidos y se cuentan como un único toque. En total se han sentido 13 toques. ¿Cuánto tiempo ha transcurrido entre el primero y el último?
3º ESO:
Seis amigos comparten un piso con dos cuartos de baño, que utilizan cada mañana empezando a las 7h en punto. Nunca hay más de una persona utilizando cada cuarto de baño. Tardan 8, 10, 12, 17, 21 y 22 minutos, respectivamente, en utilizar el cuarto de baño. ¿Cuál es la hora más temprana a la que pueden terminar de usarlos?
4º ESO:
Se superponen un círculo y un cuadrado de lado 1, de modo que el área del cuadrado que no está
tapada por el círculo es igual al área del círculo que no está tapada por el cuadrado. Calcular el radio del
círculo.
1º Bachillerato:
En una isla las ranas son siempre verdes o azules. El número de ranas azules aumenta el 60%, mientras
que el de ranas verdes decrece un 60%. Sucede entonces que la nueva razón de ranas azules a verdes
es la misma que la que antes había de ranas verdes a azules. ¿En qué porcentaje ha cambiado el
número total de ranas?
2º Bachillerato:
La etiqueta de un paquete de crema de queso dice: 24% de materia grasa total. En otra parte de la
misma etiqueta se lee: 64% de grasa en el producto seco. ¿Cuál es el porcentaje de agua en este
queso?
Semana 3. Hasta el 26 de octubre de 2018.
1º ESO:
El canguro es una nueva pieza de ajedrez, parecida al caballo, pero que mueve 3 casillas verticalmente y una horizontalmente o bien mueve 3 casillas horizontalmente y una verticalmente, como se ve en la figura. ¿Cuántos movimientos como mínimo necesita para moverse desde el centro hasta la casilla marcada con una A?
2º ESO:
Carmen tiene un libro nuevo de 239 páginas. Se quiere leer 3 páginas cada día de lunes a viernes y 5 páginas cada sábado y cada domingo. Empieza el libro un domingo, ¿qué día de la semana lee la última página?
3º ESO:
En la figura tenemos tres cuadrados, cada uno de lado de longitud 1 cm. ¿Cuál es el área de la región gris?
4º ESO:
1º Bachillerato:
En el planeta X, todos los habitantes tienen al menos 2 orejas. En un crater coinciden tres de sus habitantes llamados Imi, Dimi y Trimi. Imi dice: «puedo ver 8 orejas,» Dimi dice: «yo veo 7 orejas.» Finalmente, Trimi dice: «pues yo sólo veo 5 orejas.» Si ninguno de ellos ve sus propias orejas. ¿Cuántas orejas tiene Trimi?
2º Bachillerato:
En un rectángulo ABCD, M1 es el punto medio de CD, M2 es el punto medio de AM1, M3 es el punto medio de BM2 y M4 es el punto medio de M3C. Hallar la proporción entre las áreas del rectángulo ABCD y el cuadrilátero M1M2M3M4.
Semana 2. (15-19 de octubre de 2018)
1º ESO:
Un trozo de papel, que tiene la forma mostrada en la figura, se dobla a lo largo de las líneas de puntos para formar una caja sin tapa. Se coloca la caja sobre la mesa con la parte abierta hacia arriba. ¿Qué cara está plenamente en contacto con la mesa?
2º ESO:
Una vaca atada a un poste con una cuerda de 4 m de largo se come en 2 días toda la hierba que puede alcanzar. Si la cuerda tuviera 6 m de largo, ¿cuántos días adicionales podría seguir comiendo?
3º ESO:
La figura muestra cuatro rectángulos iguales situados dentro de un cuadrado. El perímetro de cada rectángulo es 16 cm. ¿Cuál es el perímetro del cuadrado exterior?
4º ESO:
Los números a y b verifican que ninguno vale -1 y satisfacen la expresión
¿Cuánto vale el producto ab?
1º Bachillerato:
La tabla 3×3 de la figura está formada por 9 cuadrados de lado 1 y en los dos de ellos (los que se ven en la figura) se han inscrito sendas circunferencias: ¿Cuál es la mínima distancia entre las dos circunferencias?
2º Bachillerato:
Los rectángulos S1 y S2 de la figura tienen la misma área. ¿Cuál es el valor del cociente x/y ?
(pregunta a tu profe de lengua por qué se escribe «el área» pero «las áreas»).
Semana 1. (9-11 de octubre de 2018)
1º ESO:
En la figura tenemos 10 islas y 12 puentes. Todos ellos están abiertos al tráfico. ¿Cuál es el menor número de puentes que debemos cerrar para impedir el tráfico terrestre entre A y B?
2º ESO:
Cogemos 10 fruteros con manzanas. En cualquier par de fruteros hay, a lo sumo, 5 manzanas. ¿Cuál es el
máximo número posible de manzanas en total? Solución
3º ESO:
La figura muestra cuatro corazones superpuestos. Las áreas de los corazones son 1 cm2, 4 cm2, 9 cm2 y 16 cm2. ¿Cuánto mide, en cm2, el área rosa?
4º ESO:
Durante un día entero (desde media noche hasta un minuto antes de la siguiente medianoche), ¿cuántas
veces se superponen las agujas horaria y minutera de un reloj?
1º Bachillerato:
En una caja hay 203 fichas rojas, 117 blancas y 28 azules. ¿Cuántas hay que sacar, como mínimo, para estar seguros de que se han extraído tres fichas del mismo color?
2º Bachillerato:
Tres círculos mutuamente tangentes exteriores de centros A, B y C tienen radios que miden 3, 2, 1, respectivamente. ¿Cuánto vale el área del triángulo ABC?
PROBLEMAS ANTIGUOS
Semana 24-30 de septiembre de 2018:
1º ESO:
4º ESO:
Semana 17-23 Septiembre 2018:
1º ESO:
La imagen muestra el calendario de un cierto mes. Una mancha de tinta cubre la mayor parte de las fechas. ¿Qué día de la semana es el 25 de ese mes?
3º ESO:
Semana 16-22 Abril 2018:
(Problema que propuse a mis alumnos de 4º ESO en Praga como trabajo extra de curso. Es de una considerable dificultad. El alumno D. David Kristek lo resolvió impecablemente).
Dada una función a trozos:
Demostrar que f(x) se puede expresar como suma de n-1 valores absolutos más una expresión sin los valores absolutos.
es decir, que podemos encontrar números
que dependerán de los números
Ayuda:
Dada la función
demostrar que se puede escribir como
Semana 9-15 Abril 2018:
(Problema propuesto en la facultad de Matemáticas de la Universidad Carolina de Praga a los alumnos de primer curso). Este problema es un poco más complicado que los anteriores. Recomendable a alumnos de Bachillerato y a profesores.
Dada la función:
hallar su recorrido sin hacer uso de herramientas analíticas (límites, derivada, etc) ni tecnológicas (estas últimas es algo más obvio), es decir, exclusivamente mediante herramientas algebraicas.
Semana 2 -8 Abril 2018:
Problema atribuido a Herón de Alejandría.
Dados dos puntos A y B del plano, a un mismo lado de un espejo (representado por una recta), determinar qué punto del espejo C es el que hace que la suma de distancias AC más CB sea mínima.
Semana 26 Marzo – 1 Abril 2018:
(Problema propuesto por el profesor D.Manuel Pérez)
Hallar el mayor número natural que no se puede escribir como suma de un múltiplo de 5 más un múltipo de 8, es decir, que no se puede escribir de la forma 5n+8m, donde n y m son números naturales.
Semana 19-25 Marzo 2018:
(Problema obtenido de la Universidad Politécnica de Madrid, de su web Aula de Pensamiento Matemático)
Juan es un frutero al que le encantanlos juegos y los retos. Un día se encontraba colocando una remesa de 1000 naranjas que acababan de llegar en 10 cajas. Un compañero que estaba con él le dijo: «¿A que no eres capaz de colocar las naranjas en las cajas de manera que cuando venga el primer cliente, y te pida el número de naranjas que te pida, se las puedes dar con una serie de cajas, pero sin mover ninguna naranja de sitio?»
Después de pensar un momento, Juan respondió: «Claro que sí puedo, mira qué fácil.»
¿Cómo habrá repartido Juan las 1000 naranjas en las 10 cajas?»
Semana 12-18 Marzo 2018:
(Problema obtenido del libro 100 enigmas de álgebra y aritmética. Marie Berrondo-Agrell)
Si divides la edad de la abuelita por 7, quedan 2; si la divides por 3, queda 1; y por 5 no queda nada de nada. ¿Qué edad tiene la abuelita?
Solución.