Problema de la Semana

Concurso de Problemas matemáticos IES Santiago Ramón y Cajal 2018-19.

Semana 5. Hasta el 23 de noviembre de 2018.

1º y 2º ESO:

  • Problema 1 (1 pto)

¿Cuántos cuadriláteros se ven en la figura?

  • Problema 2 (2 pts)

El área del rectángulo ABCD es 10. Los puntos M y N son los puntos medios de los lados AD y BC. ¿Cuál es el área del cuadrilátero MBND?

  • Problema 3 (3 pts)
En Fabulandia, cada día soleado es precedido inmediatamente por 2 días consecutivos de lluvia. Además, 5 días después de cualquier día de lluvia, hay otro día de lluvia. Hoy es soleado en Fabulandia. ¿A lo sumo, durante cuántos días podemos predecir el tiempo en Fabulandia con seguridad?
  • Problema 4 (4 pts)
En el lado AB del triángulo ABC se toman los puntos D y F, y en el lado BC el punto E de tal manera que los triángulos ADC, DEC, DFE y FBE tienen el mismo área (la figura no está a escala). Se sabe que FB = 15. Calcular AD.

3º y 4º ESO:

  • Problema 1 (1 pto)
En el lado AB del triángulo ABC se toman los puntos D y F, y en el lado BC el punto E de tal manera que los triángulos ADC, DEC, DFE y FBE tienen el mismo área (la figura no está a escala). Se sabe que FB = 15. Calcular AD.
  • Problema 2 (2 pts)
Un litro de limonada tiene el 10 % de extracto de zumo de limón, el 15 % de azúcar y el 75 % de agua. Si se le añade un cuarto de litro de líquido que contiene el 50 % de extracto de zumo de limón y el 50 % de agua, ¿cuál es el porcentaje de azúcar en la mezcla resultante?
  • Problema 3 (3pts)
En un triángulo rectángulo la bisectriz de uno de los ángulos agudos divide al lado opuesto en dos segmentos de longitudes 4 y 5. El área del triángulo es:
  • Problema 4 (4 pts)
La sucesión, 1, 2, 3, 4 …, de triángulos rectángulos isósceles de la figura, continúa hacia la izquierda de la misma manera que en los cuatro primeros casos mostrados. Si AB = AC = 1. ¿cuánto vale la hipotenusa del triángulo que ocupa el lugar 2014?

1º y 2º Bachillerato:

  • Problema 1 (1 pto)
Los lados del hexágono regular grande de la figura son el doble de los lados del hexágono regular pequeño. El  área del hexágono pequeño es 4 centímetros cuadrados. ¿Cuál es el área del hexágono grande?
  • Problema 2 (2 pts)
Camino 8 km a una velocidad de 4 km/h. A continuación corro algún tiempo a 8 km/h. ¿Cuánto tiempo he de correr para que la velocidad promedio de todo el recorrido sea 5 km/h?
  • Problema 3 (3 pts)

Sea ABC un triángulo tal que AB = 6, AC = 8, y BC = 10; y M el punto medio de BC. AMDE es un cuadrado y MD corta a AC en el punto F Hallar el área de AFDE.

  • Problema 4 (4 pts)
Tenemos 9 canguros en el zoo, cuya piel es de color plata u oro. Cuando se juntan 3 cualesquiera de ellos, la probabilidad de que ninguno sea plateado es 2:3. ¿Cuántos canguros son dorados?
 
 

Semana 4. Hasta el 9 de noviembre de 2018.

1º ESO:

Un número natural tiene tres cifras. Multiplicándolas resulta 135. ¿Qué resultado hubiéramos obtenido si las hubiésemos sumado?

2º ESO:
Dos campanas empiezan a sonar al mismo tiempo. La primera suena cada 3 segundos, y la segunda, cada 2 segundos. Cuando suenan al mismo tiempo no se distinguen sus sonidos y se cuentan como un único toque. En total se han sentido 13 toques. ¿Cuánto tiempo ha transcurrido entre el primero y el último?

3º ESO:

Seis amigos comparten un piso con dos cuartos de baño, que utilizan cada mañana empezando a las 7h en punto. Nunca hay más de una persona utilizando cada cuarto de baño. Tardan 8, 10, 12, 17, 21 y 22 minutos, respectivamente, en utilizar el cuarto de baño. ¿Cuál es la hora más temprana a la que pueden terminar de usarlos?

4º ESO:

Se superponen un círculo y un cuadrado de lado 1, de modo que el área del cuadrado que no está
tapada por el círculo es igual al área del círculo que no está tapada por el cuadrado. Calcular el radio del
círculo.

1º Bachillerato:

En una isla las ranas son siempre verdes o azules. El número de ranas azules aumenta el 60%, mientras
que el de ranas verdes decrece un 60%. Sucede entonces que la nueva razón de ranas azules a verdes
es la misma que la que antes había de ranas verdes a azules. ¿En qué porcentaje ha cambiado el
número total de ranas?

2º Bachillerato:

La etiqueta de un paquete de crema de queso dice: 24% de materia grasa total. En otra parte de la
misma etiqueta se lee: 64% de grasa en el producto seco. ¿Cuál es el porcentaje de agua en este
queso?

 

 

Semana 3. Hasta el 26 de octubre de 2018.

1º ESO:

El canguro es una nueva pieza de ajedrez, parecida al caballo, pero que mueve 3 casillas verticalmente y una horizontalmente o bien mueve 3 casillas horizontalmente y una verticalmente, como se ve en la figura. ¿Cuántos movimientos como mínimo necesita para moverse desde el centro hasta la casilla marcada con una A?

2º ESO:

Carmen tiene un libro nuevo de 239 páginas. Se quiere leer 3 páginas cada día de lunes a viernes y 5 páginas cada sábado y cada domingo. Empieza el libro un domingo, ¿qué día de la semana lee la última página?

3º ESO:

En la figura tenemos tres cuadrados, cada uno de lado de longitud 1 cm. ¿Cuál es el área de la región gris?

4º ESO:

1º Bachillerato:

En el planeta X, todos los habitantes tienen al menos 2 orejas. En un crater coinciden tres de sus habitantes llamados Imi, Dimi y Trimi. Imi dice: «puedo ver 8 orejas,» Dimi dice: «yo veo 7 orejas.» Finalmente, Trimi dice: «pues yo sólo veo 5 orejas.» Si ninguno de ellos ve sus propias orejas. ¿Cuántas orejas tiene Trimi?

2º Bachillerato:

En un rectángulo ABCD, M1 es el punto medio de CD, M2 es el punto medio de AM1, M3 es el punto medio de BM2 y M4 es el punto medio de M3C. Hallar la proporción entre las áreas del rectángulo ABCD y el cuadrilátero M1M2M3M4.

Semana 2. (15-19 de octubre de 2018)

1º ESO:

Un trozo de papel, que tiene la forma mostrada en la figura, se dobla a lo largo de las líneas de puntos para formar una caja sin tapa. Se coloca la caja sobre la mesa con la parte abierta hacia arriba. ¿Qué cara está plenamente en contacto con la mesa?

2º ESO:

Una vaca atada a un poste con una cuerda de 4 m de largo se come en 2 días toda la hierba que puede alcanzar. Si la cuerda tuviera 6 m de largo, ¿cuántos días adicionales podría seguir comiendo?

3º ESO:

La figura muestra cuatro rectángulos iguales situados dentro de un cuadrado. El perímetro de cada rectángulo es 16 cm. ¿Cuál es el perímetro del cuadrado exterior?

4º ESO:

Los números a y b verifican que ninguno vale -1 y satisfacen la expresión

¿Cuánto vale el producto ab?

1º Bachillerato:

La tabla 3×3 de la figura está formada por 9 cuadrados de lado 1 y en los dos de ellos (los que se ven en la figura) se han inscrito sendas circunferencias: ¿Cuál es la mínima distancia entre las dos circunferencias?

2º Bachillerato:

Los rectángulos S1 y S2 de la figura tienen la misma área. ¿Cuál es el valor del cociente x/y ?

(pregunta a tu profe de lengua por qué se escribe «el área» pero «las áreas»).

Semana 1. (9-11 de octubre de 2018)

1º ESO:

En la figura tenemos 10 islas y 12 puentes. Todos ellos están abiertos al tráfico. ¿Cuál es el menor número de puentes que debemos cerrar para impedir el tráfico terrestre entre A y B?

2º ESO:

Cogemos 10 fruteros con manzanas. En cualquier par de fruteros hay, a lo sumo, 5 manzanas. ¿Cuál es el
máximo número posible de manzanas en total? Solución

3º ESO:

La figura muestra cuatro corazones superpuestos. Las áreas de los corazones son 1 cm2, 4 cm2, 9 cm2 y 16 cm2. ¿Cuánto mide, en cm2, el área rosa?

4º ESO:

Durante un día entero (desde media noche hasta un minuto antes de la siguiente medianoche), ¿cuántas
veces se superponen las agujas horaria y minutera de un reloj?

1º Bachillerato:

En una caja hay 203 fichas rojas, 117 blancas y 28 azules. ¿Cuántas hay que sacar, como mínimo, para estar seguros de que se han extraído tres fichas del mismo color?

2º Bachillerato:

Tres círculos mutuamente tangentes exteriores de centros A, B y C tienen radios que miden 3, 2, 1, respectivamente. ¿Cuánto vale el área del triángulo ABC?

PROBLEMAS ANTIGUOS

Semana 24-30 de septiembre de 2018:

1º ESO:

En la figura, los círculos son bombillas conectadas entre sí, que inicialmente están todas apagadas. Cuando se toca una bombilla, ésta y todas las directamente conectadas con ella se encienden. ¿Cuál es el menor número de bombillas que hay que tocar para que se enciendan todas?
2º ESO:
La linterna de un faro está encendida durante 3 segundos y apagada durante 2 segundos. Esta cadencia se repite sucesivamente. En otro faro, los tiempos de encendido y apagado de su linterna son 4 segundos y 2 segundos, respectivamente. En un momento dado, los dos faros se encienden al mismo tiempo. ¿Cuántos segundos pasarán hasta que esto ocurra de nuevo por primera vez?
 
3º ESO:
Un rectángulo grande se compone de nueve rectángulos idénticos cuyos lados más largos miden 10 cm. ¿Cuál es el perímetro del rectángulo grande?

4º ESO:

Se han inscrito en una competición 11 mujeres y 19 hombres. Los organizadores quieren formar 8 equipos, de tal manera que todos ellos tengan el mismo número de personas y en cada equipo haya el mismo número de mujeres que de hombres. ¿Cuántas personas más, como mínimo, se deben inscribir para que esto sea posible?
 
1º Bachillerato:
Algunos de los anillos de la figura forman cadenas. ¿Cuántos anillos hay en la cadena más larga?
2º Bachillerato:
Dos cubos de volúmenes V y W se incrustan parcialmente uno en el otro. La parte del cubo de volumen V que no es común a los dos cubos es el 90% de su volumen. La parte del cubo del volumen W que no es común a los dos cubos es el 85% de su volumen. ¿Cuál es la relación entre V y W?

Semana 17-23 Septiembre 2018:

1º ESO:

La imagen muestra el calendario de un cierto mes. Una mancha de tinta cubre la mayor parte de las fechas. ¿Qué día de la semana es el 25 de ese mes?

3º ESO:

El cuadrado ABCD tiene lados de longitud 3 cm. Los puntos M y N se encuentran en AD y AB respectivamente, de modo que CM y CN dividen al cuadrado en tres regiones de igual área. ¿Cuál es la longitud del segmento DM?
 
4º ESO:
En una familia, el promedio de las edades del padre, la madre y sus dos hijos es 20 años. La suma de las edades de una abuela y un abuenlo es 124 años. ¿Cuál es la media de edad de los seis miembros de esta familia?
1º Bachillerato:
La distancia desde la parte superior del gato dormido en el suelo a la parte superior del gato sentado en la mesa es 150 cm. La distancia desde la parte superior del gato sentado en el suelo a la parte superior del gato durmiendo sobre la mesa es 110 cm. ¿Cuál es la altura de la mesa?
 
2º Bachillerato:
Cuatro rombos idénticos y dos cuadrados se juntan para formar un octógono regular. ¿Cuál es la medida del mayor ángulo de cada rombo?
 

Semana 16-22 Abril 2018:

(Problema que propuse a mis alumnos de 4º ESO en Praga como trabajo extra de curso. Es de una considerable dificultad. El alumno D. David Kristek lo resolvió impecablemente).

Dada una función a trozos:

Demostrar que f(x) se puede expresar como suma de n-1 valores absolutos más una expresión sin los valores absolutos.

es decir, que podemos encontrar números

que dependerán de los números

 

Ayuda:

Dada la función

demostrar que se puede escribir como 

Semana 9-15 Abril 2018:

(Problema propuesto en la facultad de Matemáticas de la Universidad Carolina de Praga a los alumnos de primer curso). Este problema es un poco más complicado que los anteriores. Recomendable a alumnos de Bachillerato y a profesores.

Dada la función: hallar su recorrido sin hacer uso de herramientas analíticas (límites, derivada, etc) ni tecnológicas (estas últimas es algo más obvio), es decir, exclusivamente mediante herramientas algebraicas.

Solución

Semana 2 -8 Abril 2018:

Problema atribuido a Herón de Alejandría.

Dados dos puntos A y B del plano, a un mismo lado de un espejo (representado por una recta), determinar qué punto del espejo C es el que hace que la suma de distancias AC más CB sea mínima.

Solución

Semana 26 Marzo – 1 Abril 2018:

(Problema propuesto por el profesor D.Manuel Pérez)

Hallar el mayor número natural que no se puede escribir como suma de un múltiplo de 5 más un múltipo de 8, es decir, que no se puede escribir de la forma 5n+8m, donde n y m son números naturales.

Solución

Semana 19-25 Marzo 2018:

(Problema obtenido de la Universidad Politécnica de Madrid, de su web Aula de Pensamiento Matemático)

Juan es un frutero al que le encantanlos juegos y los retos. Un día se encontraba colocando una remesa de 1000 naranjas que acababan de llegar en 10 cajas. Un compañero que estaba con él le dijo: «¿A que no eres capaz de colocar las naranjas en las cajas de manera que cuando venga el primer cliente, y te pida el número de naranjas que te pida, se las puedes dar con una serie de cajas, pero sin mover ninguna naranja de sitio?»

Después de pensar un momento, Juan respondió: «Claro que sí puedo, mira qué fácil.»

¿Cómo habrá repartido Juan las 1000 naranjas en las 10 cajas?»

Solución

Semana 12-18 Marzo 2018:

(Problema obtenido del libro 100 enigmas de álgebra y aritmética. Marie Berrondo-Agrell)

Si divides la edad de la abuelita por 7, quedan 2; si la divides por 3, queda 1; y por 5 no queda nada de nada. ¿Qué edad tiene la abuelita?

Solución.

Solución

Sobre Congruencias