Contando ceros: ¿en cuántos ceros termina n! ? – ¿En cuántos ceros acaba 2022! ?
Recordemos que el factorial de un número natural n se designa por n! y es el número n! = n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*…*3*2*1.
Se define el factorial de 0 como 0! = 1. Además el factorial de 1 es 1! = 1.
¿Sabrías en cuántos ceros acaba el factorial de 2022?
Pista: 2022! tiene tantas cifras que si lo intentas hacer con la calculadora te sale un mensaje de «Error Cálculo» , «Math error» o similar (se produce un error de rebosamiento de la capacidad de la calculadora pues el número 2022! es mayor que 10^99 «1 seguido de 99 ceros»).
Otra pista: el número de ceros en el que acaba 2022! es un número primo que no llega a 600.
Hola. He intentado resolver el problema de la siguiente manera. El producto de todos los números comprendidos entre la decena y la decena más 1, por ejemplo, el producto desde el 30 al 21 o del 90 hasta el 81 produce un número que acaba en dos ceros. Por lo tanto, hasta el 100! tendríamos un número de la forma ab….c·(100)^10 más un cero extra del producto del número 100, que tiene dos ceros. Por lo tanto 100! acabaría en 21 ceros. Siguiendo el mismo procedimiento, hasta 1000!, como tenemos el producto de de 10 centenas más el tercer cero de 1000 tendríamos 211 ceros. Dos millares nos darían 422 ceros. El producto de 2022*2021 no añadiría ningún cero al final
Conclusión: 2022 factorial terminaría en 422 ceros. ¿Es correcto mi razonamiento?
No es correcto el razonamiento, pues por ejemplo piensa que del 21 al 30 no hay dos ceros. A saber: 21*22*23*24*25*26*27*28*29*30=21*22*23*24*5*5*26*27*28*29*30 (basta agrupar cada uno de los dos cincos del 25 con un número par de la serie anterior respectivamente para que nos den dos ceros que junto con el 30 serían tres ceros y no dos como mencionas).
Para ver el número de ceros tendremos que ver cuántos cinco hay en n!. Te recomiendo que veas la solución en: https://blogsaverroes.juntadeandalucia.es/profematesjac/2022/01/09/solucion-a-contando-ceros-en-cuantos-ceros-acaba-2022/
Gracias y perdona la tardanza en la respuesta.