4. Derivadas y aplicaciones

La derivada de una función en un punto coincide con la pendiente de la
recta tangente esa función en ese punto.

De donde se deduce que:

• Si f'(a) > 0 , la función es creciente en x = a.
• Si f'(a) < 0 , la función es decreciente en x = a.
• Si hay un máximo o mínimo relativo en x = a, entonces f'(a) = 0.

DERIVADA DE LAS OPERACIONES  CON FUNCIONES:

• Producto por un escalar:

• Suma y resta:

• Producto:

• Cociente:

• Regla de la cadena:

La regla de la cadena se aplica a la composición de funciones (cuando una función está dentro de otra) y lo que viene a decir es que primero se deriva la función que lo engloba todo (la que está más hacia fuera), dejando dentro de esta derivada lo que había dentro de la función, y luego se multiplica por la deriva de la función que estaba en el interior.

Como ya hemos dicho, la derivada de una función en un punto coincide con la pendiente de la recta tangente a la función en dicho punto. Con lo cual, la ecuación de la recta tangente viene dada por:

Para que una función sea derivable en un punto debe cumplirse las siguientes condiciones:

• Que f sea continua en x = a.
• Que las derivadas laterales coincidan.

Los puntos en los que estudiaremos la derivabilidad serán los mismos que en los que estudiábamos la continuidad, es decir, los puntos de cambio de trozo y los que anulen al denominador.

Para estudiar la monotonía de una función seguiremos los siguientes pasos:

1. Derivamos la función.
2. Resolvemos la ecuación f'(x) = 0.
3. Estudiamos los signos de f’. Si f'(a) > 0 , la función es creciente en x = a; y si f'(a) < 0 , la función es decreciente en x = a.

Para estudiar los extremos basta con observar la monotonía.

Para estudiar la monotonía de una función seguiremos los siguientes pasos:

1. Derivamos la función.
2. Resolvemos la ecuación f»(x) = 0.
3. Estudiamos los signos de f». Si f»(a) > 0, la función es convexa en x = a; y si f»(a) < 0, la función es cóncava en x = a.

Recordemos que:

• Si f'(a) > 0 , la función es creciente en el punto x = a.
• Si f'(a) < 0 , la función es decreciente en el punto x = a.
• Si hay un máximo o mínimo relativo en x = a, entonces f'(a) = 0.
• La derivada de una función en un punto coincide con la pendiente de la ecuación de la recta tangente a la función en ese punto, m = f'(a).
• Si f’ ‘(a) > 0 , la función es convexa en x = a.
• Si f’ ‘(a) < 0 , la función es cóncava en x = a.
• Si hay un punto de inflexión en x=a, entonces f’ ‘(a) = 0.

Esquema-resumen

Ejercicios de derivadas :

Ejercicios de recta tangente:

Ejercicios de derivabilidad:

Ejercicios de monotonía y extremos:

Ejercicios de curvatura:

Ejercicios de parámetros:

Ejercicios con todo mezclado: