Construyendo una bandeja

A partir de una lámina de cartón de 30 cm x 20 cm, se quiere construir una bandeja para dejar el material de escritorio. Para hacerlo recortamos un cuadrado de cada una de las esquinas, tal como aparece en la imagen.

a) Si recortamos en cada esquina un cuadrado de 5 cm de lado, ¿cuál sería la capacidad de la bandeja?

b) Si llamamos x al lado del cuadrado recortado en la esquina, ¿cuál sería la expresión de la capacidad de la bandeja en función de x?

c) En su último viaje, una amiga nos ha traído uno de esos lápices larguísimos que venden de recuerdo en los museos. Si finalmente construimos la bandeja cortando el cuadrado de 5 cm de lado en cada esquina, ¿nos cabrá el lápiz en la bandeja si mide 22 cm (no hace falta colocarlo recto)? ¿Cuál será el lápiz más largo que puede caber si ni siquiera pedimos que esté apoyado en la base de la bandeja?

d) Si utilizamos un lápiz normal de 15 cm de forma hexagonal, ¿cuál será su volumen si el hexágono de la base mide 3 mm de lado?

e) Al sacar punta al lápiz, ¿la forma de qué figura tiene la parte afilada si es totalmente puntiaguda? ¿Cuál sería el volumen de esa parte afilada si mide 1 cm de largo? Teniendo en cuenta esto, ¿qué porcentaje del lápiz se desperdicia al sacar punta?

f) Si en vez de usar una bandeja de cartón, utilizamos una caja cúbica de madera sin tapa, calcula su capacidad si la longitud de su arista es 20 cm y el grosor de la madera es de 1 cm.