3. Límites, cotinuidad y asíntotas

DOMINIO: al hallar el dominio tendremos que tener en cuenta el contexto del problema en que se encuentre la función y los trozos en los que está definida, y tendremos que quitar aquellos puntos que anulen al denominador.

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES: 

Para la representación de funciones definidas a trozos tenemos que tener en cuenta que su representación está constituida por distintos fragmentos. Para cada uno de los fragmentos podemos realizar una tabla de valores  (es recomendable que entre esos valores estén los extremos del intervalo que determina ese fragmento). 

Si uno de los trozos es una función cuadrática, además de la tabla de valores, hallaremos su vértice. Para ello usaremos que la abscisa del vértice es:

x_v=-b/2a

LÍMITES EN UN PUNTO:

Para hallar un límite en un punto, basta con sustituir el valor dado en la función. Si obtenemos un resultado de la forma k/0, debemos estudiar los límites laterales.

LÍMITES EN EL INFINITO:

Al hacer el límite en el infinito de un polinomio basta observar qué ocurre con el término de mayor grado.

En el caso de tener un cociente de polinomios  obtendremos como resultado ∞/∞. En este caso distinguiremos las siguientes posibilidades:

• Grado del numerador > Grado del denominador: el límite es ∞ (el signo se determina respetando la regla de los signos.)
• Grado del numerador <Grado del denominador: el límite es 0
• Grado del numerador = Grado del denominador: el límite es el cociente de los coeficientes principales.

Para que una función sea continua en el punto x=a deben coincidir:

• El límite cuando x tiende a a por la izquierda.
• El límite cuando x tiene a a por la derecha.
• f(a).

Los valores en los que tendremos que estudiar la continuidad son:

• Los puntos que anulen al denominador.
• Los puntos de cambio de trozo.

ASÍNTOTAS HORIZONTALES: hallamos los límites en el infinito. Si el resultado es un número a, y=a es una asíntota horizontal.

ASÍNTOTAS VERTICALES: se estudian en los puntos que anulan al denominador. Si al realizar el límite aparece un resultado infinito, entonces sí hay asíntota vertical.

ASÍNTOTAS OBLICUAS: no pueden haber asíntotas horizontales y oblicuas a la vez. Para hallar las asíntotas oblicuas  debemos realizar los siguientes límites:

Ejercicios de dominio y representación:

Ejercicios de límites:

Ejercicios de continuidad:

Ejercicios de asíntotas: