Categoría: Curiosidades
El teorema de los cuatro cuadrados
El teorema de los cuatro cuadrados nos dice que: «Todo número entero positivo puede descomponerse como suma de cuatro cuadrados de números enteros»
Voy a poner unos ejemplos:
- 254 = 15² + 5² + 2² + 0²
- 522211 = 609² + 389² + 3² + 0²
- 8764 = 70² + 62² + 4² + 2²
- 15 = 3² + 2² + 1² + 1²
- 2021 = 42² + 16² + 1² + 0²
- 2022 = 43² + 13² + 2² + 0²
Dicho teorema aparece en el libro Arithmetica de Diofanto pero la demostración primera conocida del mismo se debe a Joseph-Louis Lagrange en 1770 (por eso se le conoce como Teorema de Lagrange).
En el siguiente enlace puedes introducir cualquier número entero positivo en el recuadro superior (grande) y después de dar al botón Sum of squares te aparecerá su descomposición como suma de cuatro cuadrados (si te aparecen menos cuadrados, rellenas con +0² hasta completar los cuatro cuadrados):
Feliz año esfénico 2022
Reproduzco aquí este interesante artículo de Gaussianos que hizo hace un par de días el autor de ese estupendo blog:
Números primos de la forma n! – 1 (factorial de un número menos uno)
El factorial de un número n se define de la siguiente forma: n! = n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*….*3*2*1. Así el factorial de 5, 5!, es 5! = 5*4*3*2*1 = 120. Representa el número de permutaciones ordinarias de n elementos (forma de ordenar n elementos distintos cogiéndolos a todos ellos). Se define 0! = 1 y 1! = 1.
Ejemplo: si queremos ver las permutaciones de los elementos A, B, C y D, tendríamos que estas son 4! = 4*3*2*1 = 24 ; es decir, estas:
ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, ADCB, BACD, BADC, BCAD, BCDA, BDAC, BDCA, CABD, CADB, CBAD, CBDA, CDAB, CDBA, DABC, DACB, DBAC, DBCA, DCAB, DCBA.
Ahora bien:
Si hacemos el factorial de un natural y le quitamos una unidad obtendremos un número de la forma n! – 1 que se corresponde con un número natural.
Por ejemplo: 4! – 1 = 23 (que resulta ser primo).
¿cuál es el número primo mayor hasta la fecha que se corresponde con esa forma: factorial de un natural n menos uno?
Observa la siguiente ilustración (traducción debajo):
Traducción: "Este es el número primo más grande conocido de la forma n!-1, con 23560 dígitos: 6917! - 1. Hasta ahora,
solo hay 21 números primos conocidos de este tipo. Curiosamente, esta propiedad parece bastante común para n pequeños
como n = 3, 4, 6, 7, 12, 14, etc., pero se vuelve extremadamente rara para n más grandes.
¡Divertirse!"
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