Geometría en la naturaleza
El intento por dominar racionalmente el espacio, dio lugar a la Geometría. Los griegos, se preocuparon por reflexionar sobre la naturaleza de los números y la geometría. Según Álvarez (2007):
La Escuela Jónica fundada por Tales de Mileto fue la primera en comenzar el estudio científico de la Geometría. Más tarde fue la escuela pitagórica fundada por Pitágoras, a ellos se le atribuyen numerosos descubrimientos matemáticos, como el Teorema de Pitágoras, la aritmética, la música, la geometría plana y la geometría esférica. (p. 105).
La continua observación del hombre lo ha conducido a abstraer las matemáticas de la naturaleza. A continuación veremos algunos ejemplos de la geometría inmersa en nuestro alrededor.
Copo de nieve
Figura 1. Copo de nieve.
Los copos de nieve adoptan comúnmente una forma geométrica basada en el hexágono, aunque dependiendo de las condiciones de humedad y temperatura, se pueden llegar a formar copos de nieve cuya geometría está basada en el triángulo o el dodecágono.
Petunia
Figura 2. Petunia.
En esta figura se observa como los pétalos de la petunia forman un pentágono. Aunque no es un pentágono en sí, la flor nos recuerda mucho a dicho polígono regular.
Panel de abejas
Figura 3. Panel de abejas.
Si consideramos la imagen de este panal en relación a la geometría, podemos ver que las abejas construyen sus panales vibrando en resonancia con la geometría de la Creación del Universo. Las abejas construyen las celdillas de los panales con una geometría hexagonal. Y se dice que desde el punto de vista arquitectónico, todas las caras del hexágono están unidad entre sí permitiendo una distribución de manera que no queden huecos libres, aprovechamiento así todo el espacio.
Aloe Espiral
Figura 4. Aloe espiral en sentido antihorario.
El aloe espiral es una planta de forma circular y con una fascinante disposición de las hojas en espiral. Crece hasta 3 metros de ancho, con docenas de hojas superpuestas en espiral en sentido de las agujas del reloj o al contrario. Por desgracia es una especie que se encuentra en peligro de extinción en su tierra natal, Lesoto, un pequeño país rodeado completamente por Sudáfrica.
Hojas
Figura 5. Hoja de helecho.
En esta fotografía se muestra una hoja de un árbol en la que se puede apreciar su forma triangular, dando lugar a la geometría fractal.
Telaraña
Figura 6. Telaraña.
Tejida con esmero, la telaraña con su geometría perfecta se transforma en una trampa mortal para los insectos que tengan la mala suerte de caer en ella. Allí, les espera la araña, cuidadosa, vigilante, siempre a la espera en su trampa silenciosa e invisible. Al amanecer, las gotas de rocío se depositan en ella colmándola de traslúcidos y etéreos diamantes, haciendo aun más hermosa su fúnebre estructura.
Los Altos del Golán, Israel
Figura 6. Piscina de los hexágonos Figura 7. Rocas en forma de hexágono
Ya hemos dejado muestra de la presencia del hexágono en la Naturaleza. Se trata de una piscina en Israel, Brehat HaMeshushim (la piscina de los hexágonos), en los Altos del Golán, sobre el río Nahal Zvitan, que sigue se solidifica con la mínima energía posible, formando un polígono, el más cercano a la forma redonda.
CONCLUSIÓN
La naturaleza está compuesta por formas geométricas y mágicas, sucesiones de números que asombran al ser humano. Un ejemplo de ello son las plantas, que adoran las formas geométricas, las flores de una petunia son pentágonos perfectos (Fig. 2), las hojas de la capuchina muestran los radios de la circunferencia, las palmeras desarrollan sus hojas en semicírculos…. También encontramos otras muchas formas como son el copo de nieve (Fig. 1) o creaciones de animales como el panel de abeja (Fig. 3). Podemos encontrar muchas formas irregulares en la naturaleza, y también podemos encontrar muchas otras muy regulares las cuales pueden ser descritas con detallada precisión matemática, como la concha del nautilo por ejemplo, que puede ser asociada con una espiral logarítmica. Se pretende hacer ver que las matemáticas están en todos lados y que no se trata de cuentas y números solamente sino que, constantemente estamos interactuando con las matemáticas sin apenas darnos cuenta de ello. En conclusión podemos ver como la geometría se encuentra en nuestro alrededor constantemente y que forma parte de la creación, una creación muy detallada y compleja que incluso nosotros mismos la formamos.
PROYECTO
En este proyecto de clase, vamos a explorar cómo la geometría se encuentra presente en la naturaleza y en otros conocimientos matemáticos. Los estudiantes tendrán la oportunidad de investigar y analizar las diferentes formas y patrones que se encuentran en el mundo natural, y cómo estos se relacionan con conceptos matemáticos como la geometría y el cálculo. Además, se fomentará la creatividad de los estudiantes al desarrollar composiciones escritas y artísticas inspiradas en estos descubrimientos. El objetivo principal del proyecto es que los estudiantes comprendan cómo las matemáticas y la geometría están presentes en nuestro entorno y cómo podemos apreciar y utilizar estos conocimientos en nuestra vida diaria.
| Criterios | Excelente | Sobresaliente | Aceptable | Bajo |
|---|---|---|---|---|
| Investigación y análisis | El estudiante presenta una investigación exhaustiva y análisis profundos de formas y patrones en la naturaleza. | El estudiante presenta una investigación detallada y análisis claros de formas y patrones en la naturaleza. | El estudiante presenta una investigación básica y análisis adecuados de formas y patrones en la naturaleza. | El estudiante presenta una investigación limitada y análisis superficiales de formas y patrones en la naturaleza. |
| Presentación y organización | El estudiante presenta de manera clara y organizada sus hallazgos utilizando recursos visuales y verbales adecuados. | El estudiante presenta de manera clara sus hallazgos utilizando recursos visuales y verbales adecuados. | El estudiante presenta de manera adecuada sus hallazgos utilizando recursos visuales y verbales limitados. | El estudiante presenta de manera confusa o desorganizada sus hallazgos sin usar recursos visuales ni verbales adecuados. |
| Composición escrita y artística | El estudiante crea una composición escrita y artística original y bien elaborada, demostrando una comprensión profunda de la geometría y otros conceptos matemáticos. | El estudiante crea una composición escrita y artística bien elaborada, demostrando una comprensión clara de la geometría y otros conceptos matemáticos. | El estudiante crea una composición escrita y artística adecuada, demostrando una comprensión básica de la geometría y otros conceptos matemáticos. | El estudiante crea una composición escrita y artística limitada, sin demostrar una comprensión clara de la geometría y otros conceptos matemáticos. |
| Participación y colaboración | El estudiante participa activamente en todas las actividades del proyecto y colabora eficientemente con sus compañeros. | El estudiante participa activamente en la mayoría de las actividades del proyecto y colabora de manera adecuada con sus compañeros. | El estudiante participa de manera limitada en las actividades del proyecto y colabora de manera limitada con sus compañeros. | El estudiante muestra poca participación y colaboración en las actividades del proyecto. |
Geometría en el arte
• Matemática y Artehan estado siempre estrechamente vinculadas: el número de oro, las simetrías, las proporciones, la geometría, son elementos presentes en el arte; no en vano muchos grandes artistas de la historia han sido grandes matemáticos; se han apoyado en la matemática para expresar la realidad con un lenguaje artístico.La geometría en el Arte. Arte y Matemáticas.visita guiada1º y 2º de la E.S.O.• Geometría viene del griego ge = tierra y de metrón = medida. Es decir, es la ciencias que estudia la medida de la Tierra. En definitiva, la exploración del mundo exterior.• EUCLIDES, en el siglo III a.de C. condensó todo el conocimiento matemático de la antigüedad en los trece volúmenes de los “Elementos” que contenían el estudio de las figuras geométri–cas y sus relaciones, configuraciones y proporciones.• PLATÓN, consideraban la geometría como una ciencia pura que existía por derecho propio. “Que no entre aquí quien no sepa de geometría”, se leía en la puerta de la Academia. Era inevitable que otras ciencias y el arte, adoptaran sus descubrimientos. • Los números son la base, son las palabras de la geometría. Si hay que contar, tienen una importancia absoluta (tres es vez y media más que dos y un cuarto menos que cuatro) pero a la hora de medir, su importancia es relativa, se debe contar con un criterio, una medida absoluta, específica para cada rama de la ciencia. Para el geómetra es la circunferencia de la tierra, para el informático el bit, para el físico la velocidad de la luz, para el artista, el hombre es la medida de todas las cosas.• La geometría abunda en la naturalezay se manifiesta a distintos niveles. Las formas esféricas se dan en gran va–riedad de organismos unicelulares flotantes en el agua, como por ejemplo los huevos de los peces. La forma cilíndrica se encuentra fundamentalmente en el reino vegetal: troncos de árboles, tallos de plantas, etc.. La espuma formada por pompas de jabón en contacto unas con otras, forma, en sección, hexágonos, excepto en la capa exterior que por estar en contacto con el aire, curva su superficie. El esquema hexagonal se da con mucha frecuencia bajo muy variadas circunstancias (paneles de las abejas, cristales de nieve, esque–letos de los radiolos, y en flores como la lila y el tulipán). ¿Se te ocurre algún otro ejemplo? • Los griegos, de quienes viene toda nuestra cultura occiden–tal y, por tanto, nuestra manera de asimilar el espacio exterior, sentaron las bases de la geometría y la filosofía, si bien se apo–yaron en experiencias anteriores de Egipto y Babilonia. Ambas se desarrollaron juntas y a partir de la geometría empezó el desarrollo de las demás ciencias. No inventaron la geometría, pero la convirtieron en un instrumento racional para adquirir co–nocimiento del mundo. Concibieron el punto como un elemento sin dimensiones, la línea como una serie de puntos, el plano como un conjunto de líneas y el volumen como un conjunto de planos. Desarrollaron un método de demostrar sus afirmaciones por deducción lógica (por ejemplo, el teorema de Pitágoras).
• Observa. Muchas veces habrás observado que infinidad de objetos tienen formas geométricas tan definidas, que no es preciso forzar la imagina–ción para descubrir en ellos círculos, óvalos, cua–drados, triángulos, etc. Levanta ahora la cabeza y mira alrededor tuyo, ¿reconoces alguna forma geométrica en tu cuarto, tu casa, o ciudad…? Puedes recopilar fotos de tu entorno y trazar en–cima encima con un rotulador, todas las formas geométricas que observas.“Cubos de la memoria” de Ibarrola en Llanes.• Juegos on-line. -¿Qué casilla falta para completar un cubo? Descúbrelo en:www.harcourtschool.com/activity/elab2002/grade_4/021.html-Vistas:http://www.isftic.mepsyd.es/w3/eos/MaterialesEducativos/mem2002/geometria_vistas/pelicula1.swf• Divina proporción o sección áurea es una proporción geométrica —que se remonta a Platón y Euclides— usada frecuentemente por artistas y arquitectos (consciente o inconscientemente) en la composición de pinturas y edificios, e interpretada como la “ley universal de la armonía” en el arte y la naturaleza. Consiste en dividir una línea de modo que la parte más corta sea a la más larga como la más larga es a toda la línea. Se atribuye un carácter estético especial a los objetos que siguen la razón áurea, así como una importancia mística. La divina proporción en Youtube: http://www.youtube.com/watch?v=j9e0auhmxnc• Relaciona los siguientes prefijos y sufijos con su significado. ¿Se te ocurre alguna palabra con ellos?1. edro2. gono3. poli4. hexa5. hepta6. deca7. penta8. nono9. tetra10. bi11. equi12. octa13. tri14. dodecaa. tresb. cuatroc. dosd. docee. ochof. variosg. igualh. sietei. cara o ladoj. nuevek. seisl. diezm. ángulon. cincopalabras• Busca construcciones y edificaciones a lo largo de la historia, en las que identifiques figuras geométricas. Un ejemplo, un zigurat, ¿sabes lo que es?La geometría en el Arte. Arte y Matemáticas.visita guiada
La geometría en el Arte. Arte y Matemáticas.visita guiada• Identifica en las siguientes imágenes, el mayor número de figuras geométricas posible.• Examina las diferentes partes de una pirámide.-¿Cuántos bloques tiene en total la pirámide de Lewit?-Cuenta los bloques por líneas de simetría. ¿Cómo es el número de bloques en cada columna en relación al número de bloques de la columna adyacente? ¿Existe algún patrón entre ellos? Este patrón se denomina serie aritmética.Sol Lewitt fue un artista ligado al arte minimalista, un estilo conocido por su uso de formas geométricas simples junto con el empleo de materiales industriales, para crear obras a gran escala, a menudo frías e impersonales. Investiga y encuentra más obras de este artista. AristaLínea de simetríaVérticeCaraAlturaPirámide de Sol LeWitt• Construye un dodecaedro vistoso y fácil de hacer con la técnica del origa–mi: con varios trozos de papel plegados de la misma forma y entrelazados entre sí. Aprende a hacerlo en http://www.youtube.com/watch?v=JexZ3NIaoEw&feature=player_embeddedImagen 1. “Plaza de Trascorrales (Oviedo)” de Sócrates QuintanaImagen 2. “Bodegón” cubista de Joaquín Torres GarcíaFormasnº de ladosImagen 1.Formasnº de ladosImagen 2.
La geometría en el Arte. Arte y Matemáticas.visita guiada•M.C. ESCHER(1898 – 1972) artista gráfico holandés, es un ejem–plo privilegiado de la relación entre el arte y las matemáticas. Inventó un sistema propio que utilizó como base de datos para elaborar a lo largo de los años sus famosos mosaicos periódicos. Se relacionó con los matemáticos Penrose y Coxeter, y aplicó sus investigaciones para crear construcciones geométricas. Sus obras atraen hoy en día a matemáticos, grafistas y expertos de la comunicación visual. Puedes conocer más sobre él y su obra en http://www.mcescher.com, su web oficial.• Vocabulario:• Reproducir las tres dimensiones.Cuando se reproduce en una pintura una escena tomada del natural, un retrato, un paisaje, etc, hay que resolver el problema de proyectar el espacio tridimensional en una superficie de dos dimensiones. Un problema de geometría. Un ejercicio básico para ayudar a comprenderlo puede ser construir un visor (un marco de cartulina negra y un acetato sobre el que trazamos los ejes de simetría). Podemos mirar a través de él aquello que queremos reproducir, una mano por ejemplo, y contornearlo con un rotulador permantente. Este visor, es un artificio simplificado de otro mayor inventado por ALBERTO DURERO(1471-1528)para dibujar proporcionadamente y en perspectiva, trasladando los puntos de contacto a una cuadrícula.Pero, ¿cómo podemos entonces construir la ilusión de las tres dimensiones? los artistas del siglo XV descubrieron la solución: la perspectiva cónica. Artistas como LEONE BATTISTA ALBERTI (1404-1472), PIERO DELLA FRANCESCA (1416-1492) y PAOLO UCCELLO (1397-1475)fueron unos verdaderos geómetras de su tiempo. Fueron los primeros en descubrir las leyes de construcción con un solo punto de fuga o perspectiva cónica. Los pintores aprendieron a ajustar sus perspectivas a voluntad, y a proyectar correctamente las sombras, todo con el fin de darle al cuadro mayor realismo posible.ARTE EN DOS DIMENSIONES:arte plano, como dibujos, pinturas, y fotografías.CUBISMO:estilo artístico iniciado por Picasso en 1907, caracterizado por la re-interpretación de las formas en términos de contornos geométricos desde múltiples perspectivas.POLÍGONO:figura geométrica limitada por segmentos consecutivos no alineados, llamados lados. Pueden ser regulares o irregulares.POLIEDRO:es un cuerpo geométrico cuyas caras son planas y encierran un volumen finito.PRISMA:sólido terminado por dos polígonos paralelos e iguales que se denominan bases, y por tanto paralelogramos como lados tengan las bases, lo que se denominan lados.el arte que ocupa un espacio, como la arquitectura y la escultura.ARTE EN TRES DIMENSIONES:* Materiales y ejercicios elaborados por Editorial Pintar-Pintar para elMuseo de Bellas Artes de Asturias.
PERSPECTIVA CÓNICA
PERSPECTIVA CÓNICA. PROCEDIMIENTO.
PERSPECTIVA CÓNICA. CONSIDERACIONES BÁSICAS
PERSPECTIVA CÓNICA FRONTAL Y OBLICUA Videotutorial LÁMINA C1 y LÁMINA C4
PERSPECTIVA CÓNICA FRONTAL Videotutorial LÁMINA C2
DIBUJO URBANO. PERSPECTIVA CÓNICA OBLICUA Videotutorial LÁMINA C3 y LÁMINA C5
SOLUCION LÁMINA C1A. Haz click aquí.
