VÍDEOS
Enunciado y ejemplos (Archimedes Tube)
Imagínate en un parque observando un montón de palomas. Las cuentas y son 21.
De repente suena un ruido que las asusta; se van volando todas al palomar que está enfrente y se esconden en los agujeros de dicho palomar, pero hay 20 agujeros. No hace falta ser un lince para concluir que “al menos dos de las palomas se han metido en el mismo agujero”. Este hecho, en apariencia sin ninguna importancia, suele recibir el nombre de Principio del palomar o Principio de Dirichlet.
En general, “Si m palomas ocupan n nidos y m es mayor que n, entonces hay al menos un nido con dos o más palomas”.
Dirichlet, uno de los matemáticos importantes del siglo XIX, lo utilizó extensamente trabajando en teoría de números y logró con él resultados curiosos, sorprendentes y profundos.
El Principio del Palomar es un teorema matemático que nos dice que si n palomas se distribuyen en m palomares, siendo n > m, entonces habrá al menos un palomar con más de una paloma. O enunciado de otro modo, si hay más objetos que cajas, al menos habrá una caja en la que haya que introducir más de un objeto. Esto, que a todos nos parece evidente, es al mismo tiempo inmensamente útil.
Lleva consigo no sólo su aplicación a cuestiones triviales, sino también a otras muchas bastante complejas.
Por ejemplo, en un grupo de 13 personas, al menos habrá dos que hayan nacido en el mismo mes, o bien, si consideramos que una persona tiene como máximo 200000 pelos en la cabeza, entonces en un municipio como el de Granada que tiene más de 200000 habitantes, habrá al menos dos personas con el mismo número de pelos.
Veamos varios casos en donde se utiliza el principio del palomar:
NUMÉRICOS
SUMA 11
Prueba que si cogemos 6 números del conjunto {1, 2, 3, …, 9, 10} seguro que hay dos que suman 11 Solución
DIFERENCIA 99
Prueba que, si elegimos 100 números naturales al azar, siempre habrá dos de ellos cuya diferencia sea múltiplo de 99 Solución
PRODUCTO CUADRADO PERFECTO
Dados 17 números de forma que ninguno tiene un factor primo mayor que 7, demostrar que hay al menos dos cuyo producto es un cuadrado perfecto Solución
SUMAS IGUALES
Elige seis números naturales menores que 15. Mostrar que todas las sumas posibles que puedes hacer con estos números no pueden ser distintas.
REUNIÓN DE PERSONAS
En una reunión hay 201 personas de 5 nacionalidades diferentes. Se sabe que, en cada grupo de 6, al menos dos tienen la misma edad. Demostrar que hay al menos 5 personas del mismo país, de la misma edad y del mismo sexo.
GEOMÉTRICOS
PUNTOS EN UN CUADRADO
Dados 5 puntos contenidos en un cuadrado de diagonal 2 cm, siempre habrá al menos 2 de ellos que estén a una distancia menor o igual que 1 cm Solución
PUNTOS EN UN TRIÁNGULO EQUILÁTERO-1
Dado un triángulo equilátero de 2 cm de lado y 5 puntos contenidos en él; habrá al menos dos cuya distancia sea menor o igual que 1 cm Solución
PUNTOS EN UN TRIÁNGULO EQUILÁTERO-2
Si en un triángulo equilátero de lado 10 cm se colocan cinco puntos en su interior, prueba que siempre habrá dos puntos que están como máximo a 5 cm de distancia.
VARIADOS
DADO
¿Cuántas veces se debe lanzar un dado para obtener la misma puntuación por lo menos dos veces? Solución
SALUDOS
En una fiesta con 100 personas, algunos invitados se dan la mano y otros no, pero ¿puedo estar seguro de que al menos dos han saludado al mismo número de gente? ¿Por qué? Solución
PELOS
¡¡Hay 2 personas en el mundo que tienen exactamente el mismo número de pelos en la cabeza!! ¡¡Es más, seguro que podemos encontrar muchas más de 1000 personas con el mismo número de pelos en la cabeza!! Solución
MONEDAS EN CAJAS
Distribuir 44 monedas en 10 cajas de forma que cada caja tenga distinto nº de monedas Solución
MONEDAS DE ORO
Tenemos 100 monedas de oro que tenemos que repartir entre 14 trabajadores. Como no hay 2 que hayan trabajado exactamente lo mismo, las 14 pagas resultantes deberían de ser todas distintas. ¿Es esto posible sin necesidad de partir alguna moneda? Solución
TOMAR MEDICAMENTO
Un hombre se toma durante el mes de abril todos los días (30 en total) por lo menos una aspirina. A lo largo del mes se ha tomado en total 45 aspirinas. Habrá alguna sucesión de días consecutivos en los que en total se habrá tomado 14 aspirinas Solución
AMIGOS
Cada integrante de un grupo de 10 niños es amigo de exactamente 7 del grupo (la amistad es mutua). Pruebe que no es posible dividirlos en 3 grupos de tal manera que en cada uno de los 3 equipos no haya un par de amigos Solución
BOLAS
En una urna hay 20 bolas azules, 15 amarillas y 30 rojas. ¿Cuántas bolas habrá que sacar para tener la seguridad de que habrá algún color repetido?
INVITADOS EN UNA FIESTA
Estas en una fiesta. Uno de los invitados, que ya tiene unas cuantas copas y que sabe que eres un profesor de matemáticas, te dice: Te apuesto 5000 € a que, aunque sólo somos 35 personas, podemos encontrar dos personas cuyas fechas de nacimiento (día y mes) coinciden. ¿Aceptarías la apuesta? ¿Qué probabilidad tiene tu compañero de fiesta de ganar?
OLIMPIADA DE MATEMÁTICAS
En una Olimpiada de Matemáticas los concursantes están ocupando todos los asientos de un salón rectangular donde los asientos están alineados en filas y columnas de tal manera que hay más de dos filas y en cada fila hay más de dos asientos. Al inicio del examen un profesor les sugiere que se deseen suerte dándose la mano; cada uno de los concursantes estrecha la mano de los concursantes que están junto a él (adelante, atrás, a los lados y en diagonal) y sólo a estos. Alguien observa que se dieron 1020 apretones de manos ¿Cuántos concursantes hay?