TRASVASES
3 y 5 LITROS
Un lechero dispone únicamente de dos jarras de 3 y 5 litros de capacidad para medir la leche que vende a sus clientes. ¿Cómo podrá medir un litro sin desperdiciar la leche? Solución
4 y 7 LITROS
A Juan le ha mandado su madre a por agua. Lleva dos recipientes, uno de 4 litros y otro de 7 litros. Utilizando solo los recipientes, ¿cómo puede conseguir 6 litros de agua exactamente? Solución
11 y 8 LITROS
Juan le dice a su amigo Carlos: “supón que te doy dos botellas, una en la que caben exactamente 11 litros y otra en la que, exactamente, caben 8 litros. Quiero que vayas a la fuente y me traigas exactamente 15 litros de agua. Te pagaré por ello 10 €, pero tienes que tener en cuenta dos cosas:
a) no puedes usar ningún otro recipiente
b) por cada vez que llenes o vacíes una botella o pases el agua de una a otra, me tendrás que devolver 1 €”. ¿Qué tiene que hacer Carlos para obtener el mayor beneficio?
9 y 4 LITROS
Mide 6 litros de agua con la ayuda de una jarra de 9 litros y otra de 4. Por cierto, las jarras no están graduadas por lo que no es posible llenar hasta la mitad la de cuatro y así tener dos litros. Si te fijas, 6 = 2.9 – 3.4. ¿Tiene esto algo que ver con el problema?
Consejo: Cuando no sepas cómo empezar, intenta empezar por el final y vete hacia atrás. Ayúdate siempre de buenos dibujos.
5, 11 y 13 LITROS
Tartaglia propuso el siguiente problema en su tratado: «Questi et invenzoni diverse»: queremos repartir el contenido de una jarra de 24 litros de vino en tres partes iguales utilizando nada más que la jarra original y otras de 5, 11 y 13 litros respectivamente. ¿Cuáles son los pasos necesarios para conseguir este reparto?
12, 7 y 5 LITROS
Tenemos tres botellas de 12, 7 y 5 litros de capacidad, respectivamente. Se trata de conseguir que dos de las tres botellas contengan exactamente 6 litros cada una.
19, 13 y 7 LITROS
Tienes 3 vasijas que pueden contener un máximo de 19, 13 y 7 litros de agua respectivamente. Inicialmente tienes las de 13 y 7 llenas de agua y la de 19 vacía (es decir, en total 20 litros de agua). Puedes trasvasar agua entre las jarras y debes conseguir tener 2 jarras con 10 litros cada una y la otra (la pequeña, obviamente) vacía. ¿Cómo lo harías?
CRUZAR
LOBO, OVEJA Y COL
Un hombre tenía que cruzar al otro lado de un río un lobo, una oveja y una col. Disponía de una barca para cruzar a la otra orilla, pero con el inconveniente de que en la barca solo caben él y una de sus pertenencias. La barca no puede cruzar sola. Sabe que si el lobo se queda solo en la orilla con la cabra este se la comerá y que si la cabra se queda sola con la col se la comerá. ¿Cómo lo hizo?
MISIONEROS Y CANÍBALES
En el África central se encuentran tres misioneros y tres caníbales intentando cruzar un rio. Para cruzarlo cuentan con una pequeña barca en donde solo caben dos personas. El problema consiste en que, si en algún momento los caníbales llegan a ser mayoría sobre los misioneros, se los comen. Los misioneros tendrán que cuidar incluso que en el momento de embarque o desembarque no lleguen a ser minoría. La barca no puede cruzar sola. ¿Podrán atravesar el río sin que los caníbales se los coman?
PADRES E HIJAS
Hay que cruzar a los tres padres y sus hijas a la otra orilla, pero sin que en ningún momento una niña esté sin la compañía de su padre, a lo sumo con otra niña, pero nunca con el padre de alguna de las otras dos niñas. Para cruzar el río y volver, la barca debe llevar siempre a alguien.
FAMILIA
Una familia compuesta por el padre (80 kg), la madre de igual peso y dos hijos gemelos (40 kg cada uno), se enfrentan con el problema de cruzar un río, en una barca cuya capacidad máxima de carga es precisamente 80 kg. No llevan equipaje alguno, pero sí los acompaña un gato (2 kg). ¿Cómo lograron cruzar todos a la otra orilla.
ADULTOS Y NIÑOS
Un grupo de tres personas adultas se desplaza por la selva. Al cabo de cierto tiempo encuentran un río que deben cruzar, pero no pueden atravesarlo nadando. Al otro lado ven a dos niños con una pequeña canoa que se ofrecen a ayudarles. La canoa es tan pequeña que en cada viaje solamente caben los dos niños o una persona adulta. ¿Serías capaz de ayudarles a resolver este problema?
CUATRO AMIGOS
Cuatro amigos han de cruzar un lago en una barca de remos. El barquero que les había alquilado la barca les había dicho que ésta sólo podía cargar un máximo
de 100 kg, justo lo que pesaba Carlos. Los otros tres pesaban, sin embargo, mucho menos; Francisco pesaba 52 kg, Juan pesaba 46 kg. Pablo pesaba 49 kg. Éste, además, no sabía remar. Tras mucho pensar, dieron con una manera de cruzar los cuatro, aunque les supuso varios viajes.
¿Cómo lo hicieron? Tú deberás conseguirlo en el menor número de viajes posible.
FAMILIA Y LINTERNA
Una familia, se ha perdido en el campo, tienen que cruzar un puente y se ha hecho de noche. Sólo pueden cruzar dos personas cada vez, y deben llevar la linterna encendida con ellos. Cada miembro de la familia camina a distinta velocidad, y cuando cruzan dos personas juntas van a la velocidad de la persona más lenta.
El tiempo que les cuesta cruzar el puente a cada uno de los miembros es: 1 segundo al hermano mayor, 3 segundos al hermano pequeño, 6 segundos a la madre de los chicos, 8 segundos al padre y 12 a la abuela. ¿Les puedes ayudar a cruzar el puente?
PESADAS
27 BOLAS
Una bolsa contiene 27 bolas de billar que parecen idénticas. Sin embargo, nos han asegurado que hay una defectuosa que pesa más que las otras. Disponemos de una balanza, pero no de un juego de pesas, de manera que lo único que podemos hacer es comparar pesos. Demuestra que se puede localizar la bola defectuosa con solo tres pesadas Solución
PESAR DE 1 a 4 kg
Claude Gaspar Bachet de Méziriac (1581-1638), considerado el hombre más sabio de toda Francia, tradujo Arithmetica al latín. Era un lingüista brillante, poeta y estudioso de los clásicos; a Bachet le apasionaban los acertijos matemáticos. Su primera publicación fue una compilación de acertijos: Problemes plaisans et délectables qui se font par les nombres. Uno de los problemas que planteaba tenía que ver con pesas:
Queremos pesar cuarenta objetos de 1, 2, 3, 4, …, 38, 39, 40 kilogramos, usando una balanza de dos platillos. ¿Cuál es el menor número de pesas que se necesita y cuál el peso de cada una? Explica cómo obtener cada pesada Solución
CUATRO PESAS
Un tendero dispone de una balanza y cuatro pesas distintas, y estas pesas son tales que le permiten pesar cualquier número exacto de kilogramos desde 1 a 40. ¿Qué pesa cada una de las pesas? Solución
13 BOLAS
Tenemos 13 bolas aparentemente iguales en forma, tamaño, color, etc., pero nos aseguran que una de ellas pesa diferente a las otras 12, no nos dicen si pesa más o menos. Con una balanza de dos platillos y en tan sólo tres 3 pesadas debemos de localizar esa bola Solución
CAJAS CON NARANJAS
Tenemos 10 cajas numeradas del 1 al 10, y cada caja contiene 10 naranjas. Todas las naranjas pesan 100 gramos cada una, excepto las de una caja que pesan 110 gramos cada una. Con una sola pesada de una báscula digital (no de balanza) en la que podemos coger todas las naranjas que queramos, ¿es posible saber que caja es la que contiene las naranjas más pesadas? Solución
12 BOLAS
Tenemos 12 bolas. Una de ellas pesa distinto que el resto. Averígüa en 3 pesadas cual es la bola distinta y si pesa más o menos que sus compañeras. Solución
MONEDAS DE ORO
Había un viejo muy tacaño que tenía muchas monedas de oro. Los hijos y su familia lo presionaban para que las metiera en el Banco para obtener intereses y mantenerlas protegidas. El caso es que el viejito pone las monedas en 10 saquitos. En la noche uno de los hijos toma una bolsa y falsifica las monedas (quedan igual) y las pone las nuevas en el saco. El hijo se gasta las monedas. Al otro día en el Banco el hijo le cuenta al padre lo que hizo y el padre muy desilusionado manda a traer al encargado del Banco una báscula y le dice al hijo que si adivina en que saco están las monedas falsas se puede quedar con todas las monedas y si no adivina no le vuelve a hablar. Puede pesar todas las monedas de los sacos que quiera en la báscula, pero solo puede usar la báscula una vez. Se sabe que las monedas verdaderas pesan 1 g cada una y las falsas un 10% menos. Solución
10 CESTAS
Tenemos 10 cestas de bombones y cada bombón ha de pesar 10 gramos. Al disponernos a venderlos hay una cesta en la que los bombones sólo pesan 9 gramos, pero el inconveniente es que no sabemos de qué cesta se trata. El reto consiste en descubrir la cesta que tiene los bombones de 9 gramos con una sola pesada (podemos usar la balanza una sola vez). Solución
10 MONEDAS DE ORO
En la Edad Media, un señor feudal tenía 10 feudos cuidados por un siervo cada uno. Estos siervos, a cambio, tenían que pagarle al final de cada mes 10 monedas de oro, de 10 gramos cada una, al señor feudal. Cierto mes se corrió el rumor de que un siervo iba a engañarle en el pago, con monedas de 9 gramos. El día de la entrega, el señor feudal realizo una sola pesada con una balanza romana, y dejando a todos boquiabiertos dijo quién era el que lo engañaba. ¿Cómo realizó el señor feudal la pesada? Solución
10 BOLSAS
Tenemos 10 bolsas numeradas del 1 al 10 con 10 monedas cada una. Todas las monedas pesan lo mismo, por ejemplo 1 g, salvo las de una bolsa, que pesan el doble, 2 g. ¿Cómo averiguar la bolsa con monedas más pesadas con una sola pesada?
8 MONEDAS
Tengo 8 monedas iguales a simple vista, pero hay 1 que pesa más que las otras. ¿Cómo averiguar en dos pesadas de balanza la que pesa más?
10 BOLAS
Se tienen 10 bolas y una balanza. De las 10 bolas, existe una que pesa diferente a las otras. El problema es que no se sabe cuál es, ni se sabe si pesa más o pesa menos que las demás bolas. ¿Cómo determinaríamos esa bola usando la balanza sólo 4 veces? (además hay que determinar si la bola pesa más o menos que las demás).
8 PELOTAS
Con una balanza de dos platos, como la del dibujo, y con sólo dos pesadas, queremos averiguar entre 8 pelotas cuál es la que pesa un poco más que las demás.
PERLAS
Averigua el número mínimo de pesadas necesarias para detectar, con una balanza, una perla que pesa menos que las demás.
CUATRO PESAS
Tenemos una balanza y cuatro pesas de 3, 6, 8 y 12 gramos, respectivamente. Queremos pesar todas las cantidades comprendidas entre 1 y 12 gramos en una sola pesada. ¿Cómo lo harías?
TRES PESAS
Con una balanza de platillos se puede pesar de 1 hasta 13 kilos utilizando solamente tres pesas A, B y C. Indica de cuántos kilos han de ser las pesas A, B y C y, cómo realizarías cada una de las pesadas anteriores utilizando estas pesas.
OTRA VEZ PESADAS DE 1 kg A 40 kg
Estamos en el siglo XV (por ejemplo) y para pesar (mi padre diría para medir las masas) los objetos se utiliza la balanza. Los objetos que tenemos que medir van desde 1 kg hasta 40 kg (números enteros). Tenemos que construir las masas que utilizaremos para equilibrar la balanza. ¿Cuál sería el mínimo juego de masas que podríamos utilizar? Nota. – Sólo se construye una ‘pesa’ de cada tipo.
Pista: El problema tiene dos soluciones (una permitiendo que se pueden poner las ‘pesas’ en los dos platillos de la balanza y otra sin permitirlo).
24 MONEDAS DE ORO
El pirata Calomauel ha encontrado un cofre con 24 monedas de oro en su interior. Aparentemente, son todas exactamente iguales, pero junto a ellas hay una nota, escrita con tintas de varios colores, que dice: “Una de las monedas no es totalmente de oro y pesa menos que las demás”. Calomauel ofrece todas las monedas a aquel de sus ayudantes que sea capaz de descubrir la defectuosa en tres pesadas con una báscula de platillos que hay en el barco, pero sin hacer uso de las pesas. ¿Serías capaz de hacerlo tú?
27 BOLAS DE BILLAR
Una bolsa contiene 27 bolas de billar que parecen idénticas. Sin embargo, nos han asegurado que hay una defectuosa que pesa más que las otras. Disponemos de una balanza, pero no de un juego de pesas, de manera que lo único que podemos hacer es comparar pesos. Demuestra que se puede localizar la bola defectuosa con solo tres pesadas.
81 BOLAS
Se tienen 81 bolas semejantes, entre las cuales hay una más pesada que las otras. No se sabe cuál es y se trata de hallarla mediante cuatro pesadas solamente, realizadas en una balanza que carece de pesas.
8 MONEDAS
Tengo 8 monedas, todas de igual aspecto. Una, sin embargo, es falsa y pesa menos que las otras. ¿Es posible determinar cuál es la moneda falsa realizando solamente dos pesadas con una balanza de dos platillos? ¿Cómo cambiaría el problema si solo supiéramos que la moneda falsa tiene un peso distinto a las demás, pero no sabemos si es mayor o menor?
DIEZ SACOS
Diez sacos están llenos de monedas. Todas ellas son aparentemente iguales, pero sin embargo todas las de uno de los sacos son falsas. La única manera de distinguir las monedas falsas es pesándolas, ya que éstas pesan 19 gramos mientras que las buenas pesan 20 gramos. ¿Podrías averiguar con una sola pesada qué saco es el que contiene las falsas monedas? ¡Ánimo!
CUATRO CANTONERAS
Tienes cuatro cantoneras y una de ellas pesa diferente y las otras tres lo mismo. Si dispones de la misma balanza anterior, ¿cuántas pesadas serían necesarias, en el peor de los casos (como mínimo), para encontrar la que pesa diferente y averiguar si pesa más o menos?
SEIS CANTONERAS
Se tienen seis cantoneras de la misma forma y tamaño, pero una de ellas pesa diferente a las demás, que pesan todas igual. Dispones de una balanza de dos brazos con la que puedes comparar los pesos de las cantoneras colocando las que quieras en cada plato. ¿Cuántas pesadas se necesitarían, como mínimo, y cómo procederíamos para averiguar la cantonera que pesa diferente, indicando si pesa más o menos?
NUEVE CANTONERAS 1
Se tienen nueve cantoneras de la misma forma y tamaño, pero una de ellas pesa unos decigramos menos que las demás, que pesan todas igual. Dispones de una balanza de dos brazos, sin pesas, con la que puedes comparar los pesos de las cantoneras colocando las que quieras en cada plato. ¿Cuál será el número mínimo de pesadas que deberás hacer para saber cuál es la cantonera que pesa menos?
NUEVE CANTONERAS 2
Se tienen nueve cantoneras de la misma forma y tamaño, pero una de ellas pesa diferente a las demás, que pesan todas igual. Dispones de una balanza de dos brazos con la que puedes comparar los pesos de las cantoneras colocando las que quieras en cada plato. ¿Cuántas pesadas se necesitarían, como mínimo, y cómo procederíamos para averiguar la cantonera que pesa diferente, indicando si pesa más o menos?
Nota: Os dividimos en grupos de tres alumnos. Cada grupo tenéis que resolver el problema de forma conjunta y además os entregamos una balanza y las nueve cantoneras para que hagáis las pruebas que consideréis conveniente.
DOCE CANTONERAS
Disponemos de doce cantoneras, iguales en forma y tamaño, y una balanza con dos brazos. Sabemos que una de las cantoneras pesa diferente a las demás, que pesan todas iguales, pero no sabemos si pesa más o menos que las demás. ¿Cómo podemos averiguar cuál es la cantonera defectuosa y si pesa más o menos con un total de tres pesadas?
VARIADO
RELOJ DE ARENA
Un reloj de arena tiene la forma de un triángulo equilátero. En su interior está formado por tres recipientes idénticos. Cada uno se comunica con los otros dos. El recipiente de arriba pasa la arena simultáneamente a los otros dos de forma constante. Los dos recipientes de abajo se llenan así a la misma velocidad. Si el recipiente de arriba tiene toda la arena, entonces la pasa a los otros dos en 16 minutos. ¿Cómo se puede con ayuda de este reloj de arena medir las duraciones de 1 min., 2 min., 3 min… y así sucesivamente hasta 16 minutos? Solución
CINCO NIÑAS
Cinco niñas cuyos nombres son J, B, A, M, L, descubrieron que pesándose de dos en dos e intercambiándose una cada vez, podían conocer el peso de todas ellas gastando una sola moneda (por ejemplo, primero se pesan juntas J y M, luego se baja J y se sube A, y así se pesan juntas M y A, a continuación se baja una de ellas y se sube otra, sin que nunca se repita la misma pareja). Una vez pesadas todas las parejas, sus pesos resultaron ser: 129,116,125,114, 124,121,123,118,120,122. ¿Sabrías calcular el peso de cada una de las cinco niñas?
MONTÓN DE VASOS
Sobre la mesa tienes un montón de vasos. Unos, boca abajo; otros, boca arriba. Quieres ponerlos todos boca arriba, pero invirtiendo, de cada vez, dos vasos al tiempo. ¿Lo podrás hacer? ¿Y si te impones la obligación de invertirlos de tres en tres?
HILERA DE COPAS
Tenemos sobre la mesa una hilera de copas.
Hay 5 boca arriba alternándose con 4 que están boca abajo. Se trata de ir dando vuelta a las copas, siempre de dos en dos, hasta conseguir que queden 4 boca arriba y 5 boca abajo. ¿Serás capaz de conseguirlo?
SEIS COPAS
Colocamos en fila seis copas, de modo que las tres primeras estén llenas y las otras tres vacías. ¿Cómo podemos alternarlas moviendo una sola copa?
CIEN PERSONAS
Hay 100 personas sentadas en una larga hilera. Se levantan todas. Luego, las personas que ocupan puestos pares, es decir, la 2ª, 4ª, 6ª,…, 98ª y 100ª se vuelven a sentar. Seguidamente, cogiendo de tres en tres las personas que están de pie se sientan y viceversa. Luego lo mismo de 4 en 4, de 5 en 5 y así sucesivamente. Averigua cuántas personas se quedan de pie y cuántas sentadas. ¿Qué puesto ocupan las que están de pie?
