Triángulo isósceles
El triángulo ABC es isósceles con AB=AC. La bisectriz del ángulo B corta en el punto D al lado AC. Calcula el ángulo A sabiendo que BC=BD.
enero 2022
Números de tres cifras
Calcula todos los números de tres cifras distintas que verifican que el cociente entre las cifras de las centenas y las cifras de las decenas es igual al cociente entre las cifras de las decenas y las cifras de las unidades.
Historias de terror
Cuidado si te encuentras con el infinito.
Tobías Dantzig
«Las matemáticas son el juez supremo; de sus decisiones no hay apelación».
Tobías Dantzig.
Letonia, 19 de febrero de 1884 – Los Ángeles, 9 de agosto de 1956.
Matemático ruso-estadounidense.
Relaciones de Cardano Vieta
Una ecuación de segundo grado es una ecuación de la forma ax2+bx+c=0 con a≠0. Las dos soluciones x1 y x2 de la ecuación verifican que:
x1 + x2 = –b/a y x1 · x2 = c/a
Si a=1, la ecuación queda de la forma x2+bx+c=0 y las dos soluciones x1 y x2 de la ecuación verifican que:
x1 + x2 = –b y x1 · x2 = c
Estas relaciones permiten resolver una ecuación con soluciones enteras, mentalmente.
Ejemplo. Calcula mentalmente las soluciones de la ecuación x2–11x+28=0.
Las soluciones x1 y x2 de la ecuación verifican:
x1 + x2 = –b → x1 + x2 = –(–11) = 11 y x1 · x2 = c → x1 · x2 = 28
Las soluciones son 4 y 7.
Actividades. Calcula mentalmente las soluciones de las ecuaciones:
a) 2x2–16x+30=0 b) x2–2x–8=0 c) x2+x–12=0 d) x2+10x+25=0
Curvas de Watt
Curvas de sexto grado construidas por el ingeniero escocés James Watt (1736-1819).
Se puede construir también de la siguiente forma:
• Se dibujan dos circunferencias de radio b, cuyos centros están a una distancia igual a 2a.
• Con centro un punto P de una de las circunferencias, se dibuja otra circunferencia de radio 2c.
• Esta circunferencia corta a la segunda en dos puntos Q y Q’.
• Al desplazar el punto P por la primera circunferencia, los puntos medios de los segmentos PQ y PQ’ determinan la curva de Watt.
• Repitiendo la construcción con distintos valores de a, b y c se obtienen todas las posibles curvas.
Haz «click» sobre la imagen para abrir la construcción de GeoGebra.
La cabra
Una cabra está atada con una cuerda en la esquina de una caseta que se encuentra rodeada de pasto. La caseta tiene forma rectangular de 8 metros de largo y 4 metros de ancho. La cabra puede pastar toda la superficie que le permita la longitud de la cuerda. Calcula la superficie de la región que puede pastar si la longitud de la cuerda es de:
a) 4 m. b) 6 m. c) 8 m. d) 10 m. e) 12 m. e) 14 m.
Cifras distintas y cifras iguales
Calcula todos los números de tres cifras distintas cuyo triple es igual a un número de tres cifras iguales, pero distintas a las del número inicial.
Otras propiedades de la sucesión de Fibonacci
Dos propiedades más que verifican los términos de la sucesión de Fibonacci:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, …
• Relación del producto de dos términos con el producto de los dos términos intermedios.
| 1 · 3 = 1 · 2 + 1 | 1 · 5 = 2 · 3 – 1 | 2 · 8 = 3 · 5 + 1 |
| 3 · 13 = 5 · 8 – 1 | 5 · 21 = 8 · 13 + 1 | 8 · 34 = 13 · 21 – 1 |
| 13 · 55 = 21 · 34 + 1 | 21 · 89 = 34 · 55 – 1 | 34 · 144 = 55 · 89 + 1 |
| . . . |
Esta relación se puede expresar de la forma:
an · an+3 = an+1 · an+2 – (–1)n
• Relación de la suma de los cuadrados de dos términos con la suma de los cuadrados de los dos términos intermedios.
| 12 + 32 = 2 · ( 12 + 22 ) | 12 + 52 = 2 · ( 22 + 32 ) | 22 + 82 = 2 · ( 32 + 52 ) |
| 32 + 132 = 2 · ( 52 + 82 ) | 52 + 212 = 2 · ( 82 + 132 ) | 82 + 342 = 2 · ( 132 + 212 ) |
| 132 + 552 = 2 · ( 212 + 342 ) | 212 + 892 = 2 · ( 342 + 552 ) | 342 + 1442 = 2 · ( 552 + 892 ) |
| . . . |
Esta relación se puede expresar de la forma:
an2 + an+32 = 2 · ( an+12 + an+22 )
Cubo con lazos
M.C. Escher. Cubo con lazos. 1957.
Litografía, 30’9 × 30’5 cm.
