Se conoce como ortoedro de oro a un ortoedro cuyas aristas están en proporción áurea. El mejor ejemplo será un ortoedro cuyas aristas miden 1, φ y φ² centímetros.

Longitud de las diagonales de las caras y de la diagonal mayor en centímetros:

Superficie en centímetros cuadrados:

Volumen en centímetros cúbicos:

Al inscribir una elipse en un rectángulo áureo, el cociente entre el eje mayor y el eje menor coincide con el número de oro. Esta elipse se conoce como elipse de oro o elipse áurea. En la imagen se puede observar la elipse, su ecuación y sus elementos.

Si en un rectángulo áureo se unen los puntos medios de sus lados, se obtiene un rombo cuyas diagonales guardan la proporción del número de oro. Este rombo se conoce como rombo de oro o rombo áureo.

Haz «click» sobre la imagen para abrir la construcción con GeoGebra y seguirla paso a paso.

Sabiendo que:

se puede obtener la sucesión de potencias de exponente negativo del número de oro:

En esta sucesión de potencias se observa que:

• el valor absoluto de los coeficientes de f y los términos independientes son los términos de la sucesión de Fibonacci.

• cualquier potencia de exponente entero, positivo o negativo, se obtiene sumando las dos anteriores, igual que sucede con la construcción de la sucesión de Fibonacci.

El poeta andaluz Rafael Alberti, (1902-1999), miembro de la generación del 27, escribió el siguiente soneto dedicado al número de oro (divina proporción).

A ti, maravillosa disciplina

media, extrema razón de la hermosura

que claramente acata la clausura

viva en la malla de tu ley divina.

A ti, cárcel feliz de la retina

áurea sección, celeste cuadratura

misteriosa fontana de mesura

que el universo armónico origina.

 A ti, mar de los sueños angulares

flor de las cinco formas regulares

dodecaedro azul, arco sonoro.

 Luces por alas un compás ardiente.

Tu canto es una esfera transparente,

A ti, divina proporción de oro.

Sabiendo que:

se puede obtener la sucesión de potencias del número de oro:

En esta sucesión de potencias se observa que:

• los coeficientes de f y los términos independientes son los términos de la sucesión de Fibonacci.

• cualquier potencia de exponente mayor o igual que 3 se obtiene sumando las dos anteriores, igual que sucede con la construcción de la sucesión de Fibonacci.

Se puede dividir una circunferencia en dos ángulos de forma que el cociente entre el mayor y el menor sea el número de oro. Al menor de los dos ángulos se le conoce como ángulo de oro.

Para dividir la circunferencia de esta forma, hay que resolver el sistema:

Y se obtienen como soluciones:

La circunferencia queda dividida de la siguiente forma:

Un decágono regular es un polígono con diez lados iguales y con los ángulos interiores iguales. Si unimos todos los vértices con el centro se obtienen diez triángulos isósceles. El ángulo distinto mide 36º y los otros dos ángulos iguales miden 72º cada uno. Volvemos a tener uno de los triángulos isósceles con proporciones áureas. Si dividimos el lado mayor de estos triángulos (radio de la circunferencia circunscrita) entre el lado menor (lado del decágono) se obtiene el número de oro.

Es decir, si construimos un decágono de lado una unidad, entonces el radio de la circunferencia circunscrita es igual al número de oro.

En un pentágono de 1 cm de lado se encuentran los dos triángulos isósceles anteriores que verifican que el cociente de sus lados es el número de oro. En cualquier otro pentágono regular se encuentran triángulos semejantes.

En cualquier pentágono regular, el cociente entre la longitud de una diagonal y la longitud del lado es el número de oro. Si el lado del pentágono mide 1 cm, la longitud de la diagonal es el número de oro.

Al trazar las diagonales en un pentágono cualquiera, todos los triángulos que se forman son triángulos semejantes a alguno de los dos anteriores.

En esta figura solo hay cuatro longitudes distintas de segmentos, AC, AB, AG y FG, que verifican:

Y solamente tres ángulos distintos: 36º, 72º y 108º.

No existe un triángulo escaleno con las proporciones áureas, pero si existe un triángulo isósceles en el que la razón entre el lado distinto y los lados iguales sea el número de oro, es decir, un triángulo semejante al triángulo cuyos lados miden 1, 1 y f.

Vamos a calcular los ángulos. Se calcula el ángulo α con el teorema del coseno.

Y ahora se pueden calcular los dos ángulos iguales.

El triángulo buscado es cualquier triángulo semejante al triángulo siguiente: