A partir de aquí se necesitarían objetos geométricos de dimensión superior a tres para colocar los números impares como se ha hecho en las entradas anteriores, por lo que no se podrá ilustrar con un gráfico.

En un objeto geométrico de dimensión cuatro, equivalente al cubo tridimensional, de 1×1×1×1, se podría colocar solamente el primer número impar. Su suma es:  

1 = 1⁸

En un objeto geométrico de dimensión cuatro, equivalente al cubo tridimensional, de 2×2×2×2, se podrían colocar los 16 primeros números impares. Su suma es:  

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29 + 31 = 256 = 2⁸

En un objeto geométrico de dimensión cuatro, equivalente al cubo tridimensional, de 3×3×3×3, se podrían colocar los 81 primeros números impares. Su suma es:  

1 + 3 + 5 + . . . + 157 + 159 + 161 = 6561 = 3⁸

En un objeto geométrico de dimensión cuatro, equivalente al cubo tridimensional, de 4×4×4×4, se podrían colocar los 256 primeros números impares. Su suma es:  

1 + 3 + 5 + . . . + 507 + 509 + 511 = 65536 = 4⁸

En un objeto geométrico de dimensión cuatro, equivalente al cubo tridimensional, de 5×5×5×5, se podrían colocar los 625 primeros números impares. Su suma es:  

1 + 3 + 5 + . . . + 1245 + 1247 + 1249 = 390625 = 5⁸

. . . 

Se puede ampliar la información en el siguiente enlace:

Los números impares y las potencias de los números naturales.

Los números impares y las potencias de los números naturales II.

Se colocan ahora todos los números impares seguidos según la distribución indicada a continuación. Se completan cubos de arista n y, a continuación, se completan tres pirámides de base cuadrada. En este apartado se estudiará únicamente la suma de los números impares situados en los cubos. De la misma forma que sucedía en las potencias de exponente 5, se puede estudiar la suma de los impares situados en las pirámides, pero el estudio realizado en este artículo se centra en el resultado de los primeros.

1 = 1⁷

9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 = 128 = 2⁷

55 + 57 + 59 + . . . + 103 + 105 + 107 = 2187 = 3⁷

193 + 195 + 197 + . . . + 315 + 317 + 319 = 16384 = 4⁷

501 + 503 + 505 + . . . + 745 + 747 + 749 = 78125 = 5⁷

. . . 

Se puede ampliar la información en el siguiente enlace:

Los números impares y las potencias de los números naturales.

Los números impares y las potencias de los números naturales II.

Si se disponen los números impares en cubos de arista n, la suma de todos los números impares utilizados en cada cubo es igual a n⁶. En cada cubo se empieza colocando desde el primer número impar.

1 = 1⁶

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 64 = 2⁶

1 + 3 + 5 + . . . + 49 + 51 + 53 = 729 = 3⁶

1 + 3 + 5 + . . . + 123 + 125 + 127 = 4096 = 4⁶

1 + 3 + 5 + . . . + 245 + 247 + 249 = 15625 = 5⁶

. . . 

Se puede ampliar la información en el siguiente enlace:

Los números impares y las potencias de los números naturales.

Los números impares y las potencias de los números naturales II.

Se disponen los números impares en cuadrados y triángulos de la siguiente forma:

. . .                                                                . . .

La suma de los números situados en los cuadrados es igual a las potencias de exponente 5 de los números naturales. 

1 = 1⁵

5 + 7 + 9 + 11 = 32 = 2⁵

19 + 21 + 23 + . . . + 31 + 33 + 35 = 243 = 3⁵

49 + 51 + 53 + . . . + 75 + 77 + 79 = 1024 = 4⁵

101 + 103 + 105 + . . . + 145 + 147 + 149 = 3125 = 5⁵

Se puede ampliar la información en el siguiente enlace:

Los números impares y las potencias de los números naturales.

Los números impares y las potencias de los números naturales II.

Ya se ha tratado en dos entradas anteriores como se pueden obtener los cuadrados y los cubos de los números naturales sumando números impares.

Si se disponen los números impares en cuadrados de lado n, la suma de todos los números impares utilizados en cada cuadrado es igual a n⁴. En cada cuadrado se empieza colocando desde el primer número impar.

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Se puede ampliar la información en el siguiente enlace:

Los números impares y las potencias de los números naturales.

Los números impares y las potencias de los números naturales II.

Al colocar los números impares formando el siguiente triángulo, al sumar los números situados en cada fila se obtienen los cubos de los números naturales.

Se puede ampliar la información en el siguiente enlace:

Los números impares y las potencias de los números naturales.

Un número cuadrado perfecto es un número que se obtiene al elevar al cuadrado cualquier número natural.  Se puede disponer formando cuadrados y se obtiene también como suma de números impares consecutivos.

Los primeros números cuadrados perfectos son:  1 , 4 , 9 , 16 , 25 , 36 , 49 , 64 , 81 , 100 , …

La sucesión de números impares tiene como término general «a_n = 2n – 1«. Utilizando la suma de los elementos de una progresión aritmética, se obtiene la relación entre la suma de los números impares y los números cuadrados perfectos.