En una entrada anterior de este blog se ha explicado la construcción de ternas pitagóricas, ternas de números enteros que son los lados de un triángulo rectángulo, es decir, que verifican el Teorema de Pitágoras.

a) ¿Pueden existir dos triángulos rectángulos con la misma hipotenusa y distintos catetos, siendo la longitud de todos los lados números naturales? En caso negativo, justifica la respuesta. En caso afirmativo, explica algún procedimiento para calcularlos y da algún ejemplo.

b) Si la respuesta del apartado anterior es afirmativa, ¿pueden existir tres triángulos rectángulos con la misma hipotenusa y distintos catetos, siendo la longitud de todos los lados números naturales? En caso negativo, justifica la respuesta. En caso afirmativo, explica algún procedimiento para calcularlos y da algún ejemplo.

Se conoce como ladrillo de Euler a un ortoedro en el que las longitudes de las aristas y de las diagonales de las caras son números naturales. Si además, el máximo común divisor de las aristas es 1, el ortoedro se llama ladrillo de Euler primitivo.

El ladrillo de Euler más pequeño lo descubrió, en el año 1719, el matemático e informático alemán Paul Halcke (1662-1731). Es el siguiente:

Otros ladrillos de Euler tienen por longitudes de aristas y diagonales:

Aristas: 85, 135, 720.   Diagonales: 157, 725, 732.

Aristas: 140, 480, 693.   Diagonales: 500, 707, 843.

Aristas: 160, 231, 792.   Diagonales: 281, 808, 825.

Aristas: 240, 252, 275.   Diagonales: 348, 365, 373.

En estos ortoedros, la diagonal mayor no es un número natural. No se ha encontrado todavía el ortoedro con las longitudes de las aristas, las diagonales de las caras y la diagonal mayor, números naturales. A este ortoedro se le llamaría ortoedro perfecto o ladrillo perfecto de Euler.

La diagonal, D, de un ortoedro, cuyas aristas miden a, b y c unidades, verifica que: 

D² = a² + b² + c²

Existen solamente cuatro ortoedros con a, b, c y D números naturales comprendidos entre 1 y 9, ambos incluidos. Averigua sus medidas.

Los números naturales a, b, c y D forman una cuaterna pitagórica.

El Teorema de Pitágoras afirma que, en cualquier triángulo rectángulo, el área del cuadrado de lado igual a la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los dos cuadrados cuyos lados son iguales a las longitudes de los catetos. Pero también se verifica si en lugar de cuadrados se construyen semicircunferencias, polígonos regulares o polígonos irregulares semejantes, como se puede observar en la siguiente aplicación de GeoGebra.

Haz «click» sobre la imagen para abrir la construcción con GeoGebra y seguirla paso a paso.

Una terna pitagórica es un grupo de tres números naturales a, b y c que verifican: a²=b²+c². Es decir, tres números naturales que pueden ser las medidas de los lados de un triángulo rectángulo y que, por tanto, verifican el Teorema de Pitágoras.

Es muy conocida la terna pitagórica formada por los números 5, 4 y 3, e incluso la formada por 13, 12 y 5. También que los múltiplos de una terna pitagórica también forman una terna pitagórica. Pero, ¿cuántas ternas pitagóricas existen? La siguiente aplicación muestra el procedimiento para construirlas.

Haz «click» sobre la imagen para abrir la construcción con GeoGebra y construir ternas pitagóricas.

El Teorema de Pitágoras afirma que en cualquier triángulo rectángulo, el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.

Para comprobarlo, construye con las cinco piezas dos cuadrados de lados cada uno de los catetos y, posteriormente, construye con las cinco piezas un cuadrado construido sobre la hipotenusa.

• Para desplazarlas se utiliza el punto de color negro que hay en cada una. (Una vez seleccionada una pieza, se puede desplazar con mayor precisión utilizando las flechas de dirección).

• Para girarlas se utiliza el punto de color blanco que tiene cada pieza en un vértice.

(Haciendo «click» sobre la imagen puedes practicar con el puzle realizado en GeoGebra).

Pitágoras: mucho más que un teorema.

La serie “Universo matemático” fue creada por el profesor Antonio Pérez Sanz y producida por RTVE en 2000. Ahora RTVE la pone a disposición de los docentes a través de su menú “a la carta”.

En la misma, durante 10 capítulos, se da un repaso a la historia de las matemáticas a través de sus representantes más significativos: Pitágoras, Newton, Leibniz, Euler, Fermat, Gauss, etc. También hay capítulos monográficos dedicados a las matemáticas y los matemáticos de la revolución francesa o uno especial sobre las mujeres matemáticas. Esta serie fue premiada en el Festival Internacional Científico de Pekín en 2002 y el año siguiente en el Parque de las Ciencias de La Coruña.

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