Una ecuación de segundo grado es una ecuación de la forma  ax²+bx+c=0  con  a≠0. Las dos soluciones  x₁  y  x₂  de la ecuación verifican que:

x₁ + x₂ = –b/a       y       x₁ · x₂ = c/a

Si  a=1,  la ecuación queda de la forma  x²+bx+c=0  y las dos soluciones  x₁  y  x₂  de la ecuación verifican que:

x₁ + x₂ = –b       y       x₁ · x₂ = c

Estas relaciones permiten resolver una ecuación con soluciones enteras, mentalmente.

Ejemplo. Calcula mentalmente las soluciones de la ecuación  x²–11x+28=0.

Las soluciones  x₁  y  x₂  de la ecuación verifican:

x₁ + x₂ = –b     →     x₁ + x₂ = –(–11) = 11     y     x₁ · x₂ = c     →     x₁ · x₂ = 28 

Las soluciones son 4 y 7.

Actividades. Calcula mentalmente las soluciones de las ecuaciones:

a)  2x²–16x+30=0        b)  x²–2x–8=0        c)  x²+x–12=0        d)  x²+10x+25=0

Coloca los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8  en los cuadrados y círculos, sin repetir ninguno, de forma que el número colocado en cada círculo sea igual a la suma de los números colocados en los cuadrados contiguos.

(Haciendo «click» sobre la imagen puedes practicar con el juego realizado en GeoGebra).

Coloca los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 en los nueve círculos, sin repetir ninguno, de forma que la suma de los números colocados en cada uno de los lados del triángulo sea la misma. Hay varias soluciones.

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Coloca los números 1, 2, 4, 8, 16 y 32 en los seis círculos, sin repetir ninguno, de forma que el producto de los números colocados en cada uno de los lados del triángulo sea el mismo.

Se pueden obtener soluciones con dos productos distintos

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Coloca los números 1, 2, 3, 4, 5 y 6 en los seis círculos, sin repetir ninguno, de forma que la suma de los números colocados en cada uno de los lados del triángulo sea la misma.

Se pueden obtener soluciones con dos sumas distintas.

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Con las operaciones aritméticas de sumar, restar, multiplicar y dividir, calcula el número que se indica utilizando una sola vez los seis números que se dan. Se pueden utilizar paréntesis si se necesitan.

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Con las operaciones aritméticas de sumar, restar, multiplicar y dividir, calcula el número que se indica utilizando una sola vez los cuatro números que se dan. Se pueden utilizar paréntesis si se necesitan.

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Coloca los divisores de 12: 1, 2, 3, 4, 6 y 12, en los seis círculos azules, sin repetir ninguno, de forma que el producto de los números colocados en las tres circunferencias rojas sea el mismo.

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Coloca los números 1, 2, 3, 4, 5 y 6 en los seis círculos rojos, sin repetir ninguno, de forma que la suma de los números colocados en las tres circunferencias azules sea la misma.

(Haciendo «click» sobre la imagen puedes practicar con el juego realizado en GeoGebra).

Sabiendo que la longitud de una circunferencia se calcula con la fórmula: L=2πr y que el área del círculo se obtiene con la fórmula A=πr², realiza mentalmente las siguientes actividades dando el resultado en función del número π:

     Actividad 1.

a) Calcula la longitud de la circunferencia cuando r = 1 cm.

b) Calcula el área del círculo cuando r = 1 cm.

     Actividad 2.

a) Calcula la longitud de la circunferencia cuando r = π cm.

b) Calcula el área del círculo cuando r = π cm.

     Actividad 3.

a) Calcula la longitud de la circunferencia cuando r = π² cm.

b) Calcula el área del círculo cuando r = π² cm.

     Actividad 4.

a) Calcula la longitud de la circunferencia cuando r = 1/π cm.

b) Calcula el área del círculo cuando r = 1/π cm.

     Actividad 5.

a) ¿Cuál es el valor de r para que la longitud de la circunferencia sea 1 cm?

b) ¿Cuál es el valor de r para que el área del círculo sea 1 cm²?

     Actividad 6.

a) ¿Cuál es el valor de r para que la longitud de la circunferencia sea π cm?

b) ¿Cuál es el valor de r para que el área del círculo sea π cm²?

     Actividad 7.

a) ¿Cuál es el valor de r para que la longitud de la circunferencia sea π² cm?

b) ¿Cuál es el valor de r para que el área del círculo sea π² cm²?

     Actividad 8.

a) ¿Para qué valor de r coinciden la longitud y el área?

b) ¿Para qué valor de r la longitud de la circunferencia es el doble del área del círculo?

c) ¿Para qué valor de r el área del círculo es el doble de la longitud de la circunferencia?

     Actividad 9.

a) ¿Cuál debe ser la longitud del lado de un cuadrado para que tenga la misma superficie que una circunferencia de radio r?

b) ¿Cuál debe ser la longitud del radio de una circunferencia para que tenga la misma superficie que un cuadrado de lado l?