Diofanto fue un matemático griego del siglo III. Se dedicó al estudio de la Teoría de Números.

Una ecuación diofántica es una ecuación lineal de la forma ax+by=c, con a, b y c números enteros y las soluciones {x₀, y₀} también números enteros. Una ecuación diofántica tiene solución entera si y solo si el máximo común divisor de los coeficientes a y b divide al término independiente c.

Ejemplo 1. La ecuación 2x+3y=7 tiene solución entera porque m.c.d.(2,3)=1 es divisor de 7.

Algunas soluciones enteras son:  {x=–4, y=5}, {x=–1, y=3}, {x=2, y=1}, {x=5, y=–1}, …

Ejemplo 2. La ecuación 4x+6y=5 no tiene solución entera porque m.c.d.(4,6)=2 no es divisor de 5.

Ninguna pareja de números enteros, {x₀, y₀}, puede ser solución de la ecuación porque la expresión 4x₀+6y₀ es siempre un número par.

Una ecuación de segundo grado es una ecuación de la forma  ax²+bx+c=0  con  a≠0. Las dos soluciones  x₁  y  x₂  de la ecuación verifican que:

x₁ + x₂ = –b/a       y       x₁ · x₂ = c/a

Si  a=1,  la ecuación queda de la forma  x²+bx+c=0  y las dos soluciones  x₁  y  x₂  de la ecuación verifican que:

x₁ + x₂ = –b       y       x₁ · x₂ = c

Estas relaciones permiten resolver una ecuación con soluciones enteras, mentalmente.

Ejemplo. Calcula mentalmente las soluciones de la ecuación  x²–11x+28=0.

Las soluciones  x₁  y  x₂  de la ecuación verifican:

x₁ + x₂ = –b     →     x₁ + x₂ = –(–11) = 11     y     x₁ · x₂ = c     →     x₁ · x₂ = 28 

Las soluciones son 4 y 7.

Actividades. Calcula mentalmente las soluciones de las ecuaciones:

a)  2x²–16x+30=0        b)  x²–2x–8=0        c)  x²+x–12=0        d)  x²+10x+25=0

René Descartes (1596-1650) publicó en su libro «La geometría», la forma de resolver geométricamente ecuaciones de segundo grado con soluciones positivas. Las soluciones negativas se ignoraban porque se consideraban falsas.

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