Publicación del libro digital interactivo «Cuadrados mágicos aditivos y multiplicativos«, dentro del proyecto iCartesiLibri de la Red Educativa Digital Descartes.

En este libro se exponen algunos de los cuadrados mágicos aditivos más conocidos, la forma de construirlos, sus propiedades y la forma de generar, a partir de ellos, otros cuadrados mágicos con las mismas características. También se explica como construir, a partir de los cuadrados mágicos aditivos, otros cuadrados mágicos multiplicativos con propiedades similares a los primeros. 

Para cada uno de los procedimientos de construcción descritos, se pueden construir una gran cantidad de ejemplos utilizando las escenas interactivas del Proyecto Descartes.

«Cuadrados mágicos aditivos y multiplicativos«

• Cuadrado mágico aditivo de orden 4 con constante mágica 2024. 

Los números utilizados:

326 – 350 – 374 – 398 – 422 – 446 – 470 – 494 – 518 – 542 – 566 – 590 – 614 – 638 – 662 – 686

forman una progresión aritmética con diferencia d=24.

La suma de los números de cada fila, de cada columna y de las dos diagonales es igual a 2024. Además, tiene las propiedades del cuadrado mágico conocido como Chautisa Yantra.

• Cuadrado mágico multiplicativo de orden 4 con constante mágica 2024².

Con los 16 divisores de 2024 se puede construir un cuadrado mágico multiplicativo de orden 4 con constante mágica 2024².

El producto de los números de cada fila, de cada columna y de las dos diagonales es igual a 2024². Además, tiene las propiedades del cuadrado mágico conocido como Chautisa Yantra, multiplicando en lugar de sumando.

En la fachada de entrada al I.E.S. José de Mora de Baza, Granada, hay tres cuadrados mágicos multiplicativos, desde el jueves 3 de marzo de 2022.

Los cuadrados están construidos utilizando todos los divisores de números que se pueden expresar como potencias de 6. En la parte inferior de cada uno de ellos se indica la constante mágica, también es una potencia de 6.

• El primero de ellos, de orden 3, está construido con los divisores de 36=6² y tiene constante mágica 6³. Ya existía con anterioridad, pero es el origen del estudio y generalización que da lugar a los otros dos.

• El segundo, de orden 4, está construido con los divisores de 216=6³ y tiene constante mágica 6⁶=46656. Tiene todas las propiedades del cuadrado mágico aditivo conocido como Chautisa Yantra.

• El tercero, de orden 5, está construido con los divisores de 1296=6⁴ y tiene constante mágica 6¹⁰=60466176. Contiene en su interior un cuadrado mágico multiplicativo de orden 3, de constante mágica 6⁶=46656.

Estos dos cuadrados mágicos han sido construidos, en el año 2021, por el profesor de Matemáticas, Luis Barrios Calmaestra.

Los mosaicos han sido realizados por el alumnado de primer curso de Bachillerato de Artes, trabajo facilitado por el profesor de Artes, Ángel Montero. Se han utilizado baldosas de terracota pigmentadas y vidriadas, sometidas a una cocción de 980º.

Cuadrado mágico multiplicativo de orden 3

Con los nueve divisores del número 36=2²·3²=6²: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 y 36, se puede construir el siguiente cuadrado mágico multiplicativo de orden 3, de constante mágica 216=2³·3³=6³.

• El producto de los números situados en cada fila es igual a 216=6³.

• El producto de los números situados en cada columna es igual a 216=6³.

• El producto de los números situados en cada diagonal es igual a 216=6³.

• El producto de los siguientes grupos de cuatro números es 1296=6⁴.

Al realizar giros o simetrías en el cuadrado se obtiene otro cuadrado mágico con las mismas características.

Cuadrado mágico multiplicativo de orden 4

Con los dieciséis divisores del número 216=2³·3³=6³: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 27, 36, 54, 72, 108 y 216, se puede construir el siguiente cuadrado mágico multiplicativo de orden 4, de constante mágica 46656=2⁶·3⁶=6⁶.

• El producto de los números situados en cada fila es igual a 46656=6⁶.

• El producto de los números situados en cada columna es igual a 46656=6⁶.

• El producto de los números situados en cada diagonal es igual a 46656=6⁶.

• El producto de los cuatro números situados en las esquinas es igual a 46656=6⁶. También el producto de los números situados en los cuatro cuadrados centrales.

• El producto de los cuatro números situados en cada uno de los nueve cuadrados de 2×2 que se pueden formar es igual a 46656=6⁶.

• El producto de los números situados en las esquinas de los cuadrados de 3×3 es igual a 46656=6⁶.

• El producto de los números situados en las diagonales secundarias es igual a 46656=6⁶.

• Otros grupos de cuatro números cuyo producto es igual a 46656=6⁶.

• Los dos primeros números del cuadrado son 12 y 2. Las letras del abecedario que ocupan los lugares 12º, «L» y 2º, «B», corresponden a las iniciales del autor.

Al realizar giros o simetrías en el cuadrado se obtiene otro cuadrado mágico con las mismas características.

Cuadrado mágico multiplicativo de orden 5

Con los veinticinco divisores del número 1296=2⁴·3⁴=6⁴: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 27, 36, 48, 54, 72, 81, 108, 144, 162, 216, 324, 432, 648 y 1296, se puede construir el siguiente cuadrado mágico multiplicativo de orden 5, de constante mágica 60466176=2¹⁰·3¹⁰=6¹⁰.

El cuadrado interior es un cuadrado mágico multiplicativo de orden 3 y de constante mágica 46656=2⁶·3⁶=6⁶.

• El cuadrado interior es un cuadrado mágico multiplicativo de orden 3. El producto de los números situados en las tres filas, en las tres columnas y en las dos diagonales principales es 46656=2⁶·3⁶=6⁶.

• El cuadrado completo es un cuadrado mágico multiplicativo de orden 5. El producto de los números situados en las cinco filas, en las cinco columnas y en las dos diagonales principales es 60466176=2¹⁰·3¹⁰=6¹⁰.

Y además:

• Algunos grupos de cuatro números cuyo producto es 6⁸, con la casilla central, 6¹⁰.

• Algunos grupos de ocho números cuyo producto es 6¹⁶, con la casilla central, 6¹⁸.

• Algunos grupos de doce números cuyo producto es 6²⁴, con la casilla central, 6²⁶.

• Algunos grupos de dieciséis números cuyo producto es 6³², con la casilla central, 6³⁴.

Al realizar giros o simetrías en el cuadrado se obtiene otro cuadrado mágico con las mismas características.

Un cuadrado mágico aditivo es trimágico si los cuadrados que se obtienen elevando al cuadrado y al cubo cada uno de los números también son cuadrados mágicos aditivos.  

El cuadrado trimágico siguiente, de orden 12, fue construido en 2002 por el matemático alemán Walter Trump, con los 144 primeros números naturales. La constante mágica es 870. La constante mágica del cuadrado formado por los cuadrados de cada uno de los números es 83810. La constante mágica del cuadrado formado por los cubos de cada uno de los números es 9082800.

Un cuadrado mágico aditivo es bimágico si el cuadrado que se obtiene elevando al cuadrado cada uno de los números es también un cuadrado mágico aditivo.  

El cuadrado bimágico siguiente fue construido en 2006 por Jaroslaw Wroblewski. La constante mágica es 408. La constante mágica del cuadrado formado por los cuadrados de cada uno de los números es 36826.

El siguiente cuadrado mágico aditivo de orden 9 está construido con los 81 primeros números naturales. Tiene constante mágica 369. 

• Si se divide en nueve cuadrados de 3×3, cada uno de ellos es un cuadrado mágico aditivo, aunque con una constante mágica distinta. Pero el cuadrado de 3×3 formado por las constantes mágicas de cada uno de ellos, es un cuadrado mágico aditivo de constante mágica 369.

• Los cuadrados formados por los números que ocupan la misma posición en cada uno de los nueve cuadrados anteriores, también son cuadrados mágicos. La constante mágica se indica debajo de cada uno.

• Las constantes mágicas de estos cuadrados también forman un cuadrado mágico de constante mágica 369.

Si p y q son dos números primos, cualquier número de la forma N=pⁿ·qⁿ, tiene (n+1)² divisores. En el artículo «Construcción de infinitos cuadrados mágicos multiplicativos«, de la revista de Educación Matemática «Epsilon«, nº 109, de la Sociedad Andaluza de Educación Matemática «Thales», se expone un procedimiento para construir infinitos cuadrados mágicos multiplicativos de orden 3, 4 y 5, utilizando todos los divisores de N.

Se puede consultar el artículo en el siguiente enlace:

Construcción de infinitos cuadrados mágicos multiplicativos

Harry A. Sayles publicó, en 1913, el siguiente cuadrado mágico multiplicativo de orden 4. Tiene constante mágica 5040=7!. Es la constante mágica más pequeña posible para un cuadrado mágico multiplicativo de orden 4.

Tiene propiedades similares a las del cuadrado mágico aditivo de Durero.

El matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783), construyó el siguiente cuadrado semimágico con los sesenta y cuatro primero números naturales.  La suma de los números de cada una de las filas y de cada una de las columnas es 260, pero la suma de los números de las dos diagonales no es igual a 260.

Además de otras interesantes propiedades, si nos imaginamos el cuadrado mágico en un tablero de ajedrez, se puede ir desde el número 1 hasta el 64, de forma consecutiva, siguiendo el movimiento del caballo.

Benjamin Franklin (1706-1790), inventor del pararrayos, tenía afición a los cuadrados mágicos. Creó este cuadrado mágico con los sesenta y cuatro primeros números naturales, de constante mágica 260, aunque no verifica que la suma de los números de las diagonales sea igual a 260.

Pero sí tiene otras interesantes propiedades, entre ellas:

• La suma de los números de cualquier cuadrado de cuatro filas y cuatro columnas consecutivas es igual a 520.

• La suma de los números de cualquier cuadrado de dos filas y dos columnas consecutivas es igual a 130.