Un número fuerte es un número que es igual a la suma de los factoriales de cada una de sus cifras.
Existen cuatro números fuertes: 1, 2 , 145 y 40585.
1 = 1!
2 = 2!
145 = 1! + 4! + 5! = 1 + 24 + 120 = 145
40585 = 4! + 0! + 5! + 8! + 5! = 24 + 1 +120 + 40320 + 120 = 40585
1. Se representa una circunferencia con centro el punto O y una unidad de radio.
2. Se trazan dos diámetros perpendiculares. Sean A y B dos de los puntos de corte de la circunferencia con estos diámetros.
3. Con centro en el punto O, se gira el punto A un ángulo de 135º obteniendo el punto A’.
4. Con centro en el punto O, se gira el punto B un ángulo de -135º obteniendo el punto B’.
5. Los segmentos AA’ y BB’ se cortan en el punto C.
6. Calcula la distancia entre los puntos O y C expresando el resultado con la expresión más reducida posible en notación matemática, sin números decimales.
Calcula, con ayuda de tecnología, todos los números naturales de cinco cifras, abcde, iguales o distintas, que verifican:
a × bcd × e = ab × c × de
El número de oro es un número algebraico. Esto significa que se puede obtener como solución de una ecuación polinómica con coeficientes racionales. También que se puede representar gráficamente con regla y compás. La representación gráfica más conocida y más fácil se deduce a partir de su expresión numérica con fracciones y raíces. Se muestra en la siguiente figura:
Otros segmentos cuya longitud es el número de oro son:
• La diagonal de un pentágono regular de lado una unidad.
• El radio de la circunferencia circunscrita a un decágono regular de lado una unidad.
Con el siguiente procedimiento se puede construir gráficamente, con regla y compás, otro segmento cuya longitud es el número de oro.
Haciendo «click» sobre la imagen se puede seguir la construcción paso a paso en una miscelánea del Proyecto Descartes.
1. Se representa una circunferencia con centro el origen de coordenadas y una unidad de radio.
2. Sean A y B los puntos de corte de la circunferencia con el eje de abscisas.
3. Con centro el punto A se traza una circunferencia de radio 1 que corta a la circunferencia inicial en dos puntos. Elegimos uno de ellos, por ejemplo C.
4. Con centro el punto B se traza una circunferencia de radio 1/2 que corta a la circunferencia inicial en dos puntos. Elegimos uno de ellos, por ejemplo D.
5. Se traza la recta que pasa por los puntos C y D. Esta recta corta al eje de abscisas en el punto E.
6. La longitud del segmento BE coincide con el número de oro.
Demostración.
Ecuación de la circunferencia de centro O y radio 1:
Ecuación de la circunferencia de centro A:(-1,0) y radio 1:
Ecuación de la circunferencia de centro B:(1,0) y radio 1/2:
Coordenadas del punto C. Se pueden calcular resolviendo el sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones de las dos circunferencias a las que pertenece.
Sustituyendo el valor de x en la primera ecuación, se obtiene:
Coordenadas del punto D. Se pueden calcular resolviendo el sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones de las dos circunferencias a las que pertenece.
Sustituyendo el valor de x en la primera ecuación, se obtiene:
Se representan ahora las proyecciones de los puntos C y D sobre el eje de abscisas obteniendo los puntos F y G respectivamente.
Los triángulos CFE y DGE son semejantes. Aplicando el Teorema de Thales:
Las longitudes de los segmentos son:
Sustituyendo estos valores en la expresión anterior se puede calcular la longitud del segmento BE:
Si en la construcción gráfica realizada, la circunferencia inicial se construye con centro el punto (-1,0), en lugar del origen de coordenadas, el punto E coincide en el eje de abscisas con la representación del número de oro en la recta real.
Sabiendo que el radio de la circunferencia exterior es de 1 centímetro y que el arco que abarcan los dos puntos de la circunferencia es de 30º, calcula la superficie de la región coloreada. Expresa la solución utilizando el número π y fracciones, sin utilizar números decimales.
Calcula, con ayuda de tecnología, todos los números naturales de cinco cifras, abcde, iguales o distintas, que verifican que el producto del número que forman las dos primeras cifras por el número que forman las tres últimas, es igual al producto del número que forman las tres primeras cifras por el número que forman las dos últimas, es decir:
ab × cde = abc × de
Sabiendo que el radio de la circunferencia exterior es de 1 centímetro, calcula el perímetro y la superficie de la región coloreada. Expresa la solución utilizando el número π y fracciones, sin utilizar números decimales.
Calcula, con ayuda de tecnología, todos los números naturales de cinco cifras, abcde, iguales o distintas, que verifican que el producto de la primera cifra por el número que forman la segunda, tercera, cuarta y quinta cifras es igual al producto de la quinta cifra por el número formado por la primera, segunda, tercera y cuarta cifras, es decir:
a × bcde = abcd × e
Sabiendo que el radio de la circunferencia exterior es de 1 centímetro, calcula el perímetro y la superficie de la región coloreada. Expresa la solución utilizando el número π y fracciones, sin utilizar números decimales.
Calcula, con ayuda de tecnología, todos los números naturales de cuatro cifras, abcd, iguales o distintas, que verifican:
ab × cd = a × bc × d
