Curvas algebraicas

Su nombre se debe al astrónomo italiano Giovanni Cassini (1625-1712).

La óvalos de Cassini son el lugar geométrico de los puntos del plano, P, cuyo producto de distancias a dos puntos fijos, F:(a,0) y F’:(-a,0), llamados focos es constante e igual a b².

Si se  define la excentricidad como e=b/a, se verifica que:

• Si e<1, se obtienen dos óvalos simétricos.

• Si e=1, se obtiene la Lemniscata de Bernouili.

• Si e>1, se obtiene una curva cerrada.

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La concoide de Nicomedes (siglo III a.C.) es una curva algebraica generada de la siguiente forma:

• Se dibuja una recta r y un punto O que no pertenece a ella.

• Por el punto O se traza una recta cualquiera que corta a la recta r en el punto P.

• Se dibuja una circunferencia de centro P y radio una longitud cualquiera.

• La recta que pasa por O y P corta a esta circunferencia en dos puntos, Q₁ y Q₂.

• Al desplazar el punto P por la recta, los puntos Q₁ y Q₂ describen la concoide.

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La hipotrocoide es la curva que recorre un punto fijo, interior, exterior o que pertenece a una circunferencia, cuando dicha circunferencia rueda por el interior de otra circunferencia. 

Si el punto es interior a la circunferencia se obtiene una hipocicloide acortada.

Si el punto pertenece a la circunferencia se obtiene una hipocicloide.

Si el punto es exterior a la circunferencia se obtiene una hipocicloide alargada.

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La hipocicloide es la curva que recorre un punto de una circunferencia cuando dicha circunferencia rueda por el interior de otra circunferencia.

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La hipocicloide también se puede representar a partir de sus ecuaciones paramétricas.

Si el cociente entre r₁ y r₂ es un número entero se obtiene la hipocicloide construida en la entrada anterior para el valor de n igual al cociente de los radios.

Si el cociente es un número racional, la circunferencia interior tiene que dar más de una vuelta sobre la otra para construir la hipocicloide.

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La cisoide de Diocles (240 a.C. – 180 a.C.) es una curva algebraica generada de la siguiente forma:

• Se traza una circunferencia y se representa un diámetro, OP.

• Por uno de los extremos del diámetro, P, se traza la tangente a la circunferencia y se escoge un punto, T, de dicha tangente.

• Se traza la semirrecta con origen en el otro extremo del diámetro, O, que pasa por el punto P. 

• Se traza una circunferencia con centro en O y radio PT.

• La intersección de esta circunferencia con la semirrecta es el punto Q, que verifica d(O,Q)=d(P,T).

• Al desplazar el punto T por la tangente, el punto Q describe la cisoide.

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La epitrocoide es la curva que recorre un punto fijo, interior, exterior o que pertenece a una circunferencia, cuando dicha circunferencia rueda por el exterior de otra circunferencia. 

Si el punto es interior a la circunferencia se obtiene una epicicloide acortada.

Si el punto pertenece a la circunferencia se obtiene una epicicloide.

Si el punto es exterior a la circunferencia se obtiene una epicicloide alargada.

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La epicicloide es la curva que recorre un punto de una circunferencia cuando dicha circunferencia rueda por el exterior de otra circunferencia.

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La epicicloide también se puede representar a partir de sus ecuaciones paramétricas.

Si el cociente entre r₁ y r₂ es un número entero se obtiene la epicicloide construida en la entrada anterior para el valor de n igual al cociente de los radios.

Si el cociente es un número racional, la circunferencia exterior tiene que dar más de una vuelta sobre la otra para construir la epicicloide.

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La estrafoide es una curva algebraica generada de la siguiente forma:

• Se trazan dos rectas secantes y sea O el punto de intersección.

• Se representa un punto cualquiera P en alguna de las rectas, que será un punto fijo en la construcción.

• Por el punto P se traza una recta, determinada por los puntos P y Q, que corta a la otra recta inicial en un punto C. 

• Se traza una circunferencia con centro en C y radio OC.

• La recta que pasa por P y Q corta a la circunferencia en los puntos P1 y P2.

• Al modificar la recta (moviendo el punto Q) los puntos P1 y P2 describen la estrafoide.

• Si las rectas iniciales no son perpendiculares, la curva que se obtiene es una estrafoide oblicua.

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