Publicación del libro digital interactivo «Deltoides con proporciones áureas«, dentro del proyecto iCartesiLibri de la Red Educativa Digital Descartes.

En este libro se estudia la existencia y construcción de deltoides con proporciones áureas. Se estudian deltoides convexos y cóncavos inscritos en un rectángulo áureo. Y se estudia también la existencia de deltoides que, aunque no están inscritos en un rectángulo de oro, verifican que sus lados y sus diagonales están en proporción áurea.

Se incluyen escenas interactivas del  Proyecto Descartes que ayudan a realizar la construcción paso a paso de las figuras estudiadas y a una mejor comprensión de sus propiedades. 

«Deltoides con proporciones áureas«

Una vez que se ha demostrado la existencia del deltoide áureo cóncavo inscrito en un triángulo áureo, veamos la forma de construirlo gráficamente.

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Se han estudiado deltoides cóncavos cuyos lados, diagonales o ambos tienen proporciones áureas. Para finalizar este estudio vamos a estudiar un deltoide cóncavo inscrito en un rectángulo áureo.

En principio, tendríamos dos posibilidades, situando el rectángulo áureo en posición vertical o en posición horizontal.

Primera posibilidad. Se inscribe el deltoide cóncavo en un rectángulo áureo según se representa en la figura:

Se puede calcular directamente l₂:

Se calcula ahora l₁:

Cálculo de los ángulos:

El perímetro del deltoide es:

El área del deltoide es:

Segunda posibilidad. Se intenta inscribir ahora el deltoide cóncavo en un rectángulo áureo según se representa en la figura:

En este caso no es posible inscribir un deltoide cóncavo cuyos lados estén en proporción áurea.

Vamos a comprobarlo.

Se puede calcular directamente l₂:

Se calcula ahora l₁:

Por tanto, no es posible construir este deltoide.

Una vez que se ha demostrado la existencia de dos deltoides áureos cóncavos en los que su eje de simetría coincide con su diagonal menor, veamos la forma de construirlos gráficamente.

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Cálculo de las longitudes de los lados y medida de los ángulos del deltoide en el que su eje de simetría coincide con su diagonal menor

Para calcular los lados del deltoide áureo empezamos calculando la distancia x de la figura. Para ello se necesita calcular los lados l₁ y l₂ en función de x y después imponer la condición de que el cociente entre el lado mayor y el lado menor es el número de oro.

 Se debe verificar que:

Se sustituye Φ² por Φ+1 y Φ⁴ por (Φ+1)²=Φ²+2Φ+1=3Φ+2:

Se resuelve la ecuación de segundo grado:

Se sustituye:

Se obtienen dos soluciones positivas, por tanto, hay dos deltoides con las proporciones buscadas: 

• Longitudes de los lados y medida de los ángulos de la primera solución:

El perímetro y el área de este deltoide son, respectivamente:

• Longitudes de los lados y medida de los ángulos de la segunda solución:

El perímetro y el área de este deltoide son, respectivamente:

Una vez que se ha demostrado la existencia del deltoide áureo cóncavo en el que su eje de simetría coincide con su diagonal mayor, veamos la forma de construirlo gráficamente.

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Cálculo de las longitudes de los lados y medida de los ángulos del deltoide en el que su eje de simetría coincide con su diagonal mayor

Para calcular los lados del deltoide áureo empezamos calculando la distancia x de la figura. Para ello se necesita calcular los lados l₁ y l₂ en función de x y después imponer la condición de que el cociente entre el lado mayor y el lado menor es el número de oro.

 Se debe verificar que:

Se sustituye Φ² por Φ+1 :

Se obtiene una ecuación parecida a la obtenida para calcular la longitud de los lados del deltoide áureo convexo. La única diferencia es el cambio del signo del coeficiente de x, por tanto, las soluciones de esta ecuación serán las opuestas de la ecuación resuelta en dicho apartado:

En este caso consideramos también la solución positiva. Pero se observa que en la búsqueda del deltoide áureo convexo se obtiene también el deltoide áureo cóncavo y recíprocamente. 

La longitud del lado l₁ será:

La longitud del lado l₂ será:

Cálculo de los ángulos:

El perímetro y el área de este deltoide son, respectivamente:

Si intentamos construir un deltoide cóncavo cuyos lados estén en proporción áurea, por ejemplo, cuyos lados midan 1 y Φ, nos encontramos que existen infinitas posibilidades. He aquí algunos ejemplos.

Todos tienen el mismo perímetro, P=2+2Φ u,  pero distinta superficie.

Si intentamos construir un deltoide cuyas diagonales estén en proporción áurea, tenemos también infinitas posibilidades. A continuación, se muestran algunos. Los deltoides están construidos utilizando un rectángulo áureo de referencia.

Si el eje de simetría del deltoide es su diagonal mayor.

Si el eje de simetría del deltoide es su diagonal menor.

Todos tienen en común que el cociente entre sus diagonales es el número de oro. También todos tienen igual área, pero distinto perímetro.

Existen tres deltoides cóncavos cuyos lados y cuyas diagonales están en proporción áurea, uno en el que su eje de simetría es su diagonal mayor y dos en los que el eje de simetría es su diagonal menor. 

Una vez que se ha demostrado la existencia del deltoide áureo convexo, veamos la forma de construirlo gráficamente.

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Para calcular los lados del deltoide áureo empezamos calculando la distancia x de la figura. Para ello se necesita calcular los lados l₁ y l₂ en función de x y después imponer la condición de que el cociente entre el lado mayor y el lado menor es el número de oro.

 Se debe verificar que:

Se sustituye Φ² por Φ+1 :

Se resuelve la ecuación de segundo grado:

Se verifica que:

Sustituyendo en la solución de la ecuación:

La solución debe ser positiva:

El significado de la solución negativa se interpretará más adelante:

La longitud del lado l₁ será:

La longitud del lado l₂ será:

Cálculo de los ángulos:

El perímetro y el área de este deltoide son, respectivamente: