Espirales

A partir de un rectángulo de plata, colocando cada uno de los cuadrados en los extremos y en el centro el rectángulo que se añade, se van añadiendo dos cuadrados en cada paso para formar nuevos rectángulos de plata. En cada uno de estos cuadrados se traza un cuarto de circunferencia, cuyo radio coincide con el lado del cuadrado y cuyo origen es el extremo del arco de circunferencia anterior, de forma similar a como se hace en la Espiral de Durero.

Esta construcción se puede realizar de forma indefinida obteniendo una espiral doble que se conoce como Espiral de Plata.

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Esta espiral triangular tiene también un crecimiento áureo. Se construye con los dos triángulos isósceles de proporciones áureas. El cociente entre el radio de cada arco y el radio del arco anterior es el número de oro.

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Alberto Durero (1471-1528) es un artista renacentista alemán. Ya se ha visto anteriormente su cuadrado mágico. A él se debe la construcción de esta espiral utilizando rectángulos áureos.

Una de las propiedades de los rectángulos áureos vistas con anterioridad dice que «Si a un rectángulo de oro se le añade un cuadrado, cuyo lado mide la longitud del lado mayor del rectángulo, se obtiene otro rectángulo de oro».

A partir de un rectángulo áureo se van añadiendo cuadrados para formar nuevos rectángulos áureos. En cada uno de estos cuadrados se traza un cuarto de circunferencia, cuyo radio coincide con el lado del cuadrado y cuyo origen es el extremo del arco de circunferencia anterior.

Esta construcción se puede realizar de forma indefinida obteniendo una línea espiral que se conoce como Espiral de Durero.

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Es una curva que tiene por ecuación en coordenadas polares r=a·b^θ o también θ=log_b(r/a). También se llama espiral equiangular. 

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Es una curva que tiene por ecuación en coordenadas polares r=a/θ. Es la inversa de la espiral de Arquímedes y también es conocida como espiral recíproca.

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Su nombre se debe al matemático Pierre de Fermat (1601-1665). Es una curva que tiene por ecuación en coordenadas polares r²=a²θ. Es un caso particular de la espiral de Arquímedes y también es conocida como espiral parabólica.

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• Se traza una semicircunferencia de diámetro el primer número primo, 2, con extremos los puntos (0,0) y (2,0).

• A partir del punto (2,0), se traza una semicircunferencia de diámetro el siguiente número primo, 3, que tendrá su extremo en el punto (-1,0).

• Se van trazando sucesivamente semicircunferencias de diámetro cada uno de los números primos, enlazando cada una con la anterior.

• Se obtiene esta original e irregular espiral . 

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• Se trazan circunferencias con centro (0,0) y de radio cada uno de los números primos.

• Se trazan semirrectas con origen el punto (0,0) que dividan a las circunferencias en partes iguales (en este caso particular se han trazado 17, que también es un número primo).

• Se coge el punto de intersección de la primera circunferencia con la primera semirrecta, se une con el punto de intersección de la segunda circunferencia con la segunda semirrecta, este se une con el punto de intersección de la tercera circunferencia con la tercera semirrecta y así se continúa indefinidamente.

• Se obtiene una línea poligonal que se asemeja a una espiral irregular, en la que la distancia de cada punto al origen coincide con los números primos. 

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Es una línea poligonal que se obtiene representando las raíces de todos los números naturales de la siguiente forma:

• Se representa el segmento de extremos (0,0) y (0,1). Por el punto (0,1) se traza un segmento perpendicular al anterior de longitud 1, obteniendo el punto (-1,1). El segmento que une los puntos (0,0) y (-1,1) tiene como longitud la raíz cuadrada de dos.

• Se traza un segmento de longitud 1, perpendicular al último segmento obtenido por su extremo. Uniendo el origen de coordenadas con el extremo de este nuevo segmento se obtiene otro segmento de longitud raíz cuadrada de tres.

• Se repite el procedimiento indefinidamente y se obtiene una línea poligonal que se asemeja a una espiral.

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