En un pentágono de 1 cm de lado se encuentran los dos triángulos isósceles anteriores que verifican que el cociente de sus lados es el número de oro. En cualquier otro pentágono regular se encuentran triángulos semejantes.

En cualquier pentágono regular, el cociente entre la longitud de una diagonal y la longitud del lado es el número de oro. Si el lado del pentágono mide 1 cm, la longitud de la diagonal es el número de oro.

Al trazar las diagonales en un pentágono cualquiera, todos los triángulos que se forman son triángulos semejantes a alguno de los dos anteriores.

En esta figura solo hay cuatro longitudes distintas de segmentos, AC, AB, AG y FG, que verifican:

Y solamente tres ángulos distintos: 36º, 72º y 108º.

No existe un triángulo escaleno con las proporciones áureas, pero si existe un triángulo isósceles en el que la razón entre el lado distinto y los lados iguales sea el número de oro, es decir, un triángulo semejante al triángulo cuyos lados miden 1, 1 y f.

Vamos a calcular los ángulos. Se calcula el ángulo α con el teorema del coseno.

Y ahora se pueden calcular los dos ángulos iguales.

El triángulo buscado es cualquier triángulo semejante al triángulo siguiente:

No existe un triángulo escaleno con las proporciones áureas, pero si existe un triángulo isósceles en el que la razón entre los lados iguales y el lado distinto sea el número de oro, es decir, un triángulo semejante al triángulo cuyos lados miden f, f y 1.

Vamos a calcular los ángulos. Se calcula el ángulo α con el teorema del coseno.

Y ahora se pueden calcular los dos ángulos iguales.

El triángulo buscado es cualquier triángulo semejante al triángulo siguiente:

El triángulo de oro, si existe, debe ser un triángulo de forma que la razón entre el lado mayor y el lado mediano y la razón entre el lado mediano y el lado menor sea el número de oro, es decir, un triángulo semejante al triángulo cuyos lados miden 1, f y f².

Al calcular f² se obtiene:

El lado mayor sería igual a la suma de los otros dos y, por tanto, es imposible la construcción del triángulo de oro.

Si en la sucesión de Fibonacci se divide cada uno de los términos por el anterior, se obtiene una nueva sucesión cuyo límite es el número de oro; Φ=1.6180339887.

Ya se observa una aproximación en los primeros cocientes:

Pero este resultado se puede demostrar de la siguiente forma:

La ecuación tiene dos soluciones, una positiva y otra negativa. Como todos los cocientes de la sucesión son positivos, el valor del límite es la solución positiva.

El número de oro es un número algebraico. Esto significa que:

• Se puede representar gráficamente con regla y compás. Para representar el número de oro con regla y compás se sigue una construcción similar a la realizada para construir el rectángulo de oro:

       Se traza un segmento de longitud 1, perpendicular a la recta real por el 1.

       Con centro en 1/2  se traza un arco de circunferencia que pasa por el extremo del segmento anterior.

       Este arco corta a la recta real en el número de oro.

• Se obtiene como solución de una ecuación polinómica con coeficientes racionales. El número de oro es una de las soluciones de la ecuación:

Si colocamos tres rectángulos de oro de forma que dos a dos sean perpendiculares, (nos podemos imaginar tres rectángulos de oro iguales, colocados en cada uno de los planos coordenados y con centro en el origen de coordenadas), al unir sus vértices se obtiene un icosaedro.

• Si a un rectángulo de oro se le quita un cuadrado, cuyo lado mide la longitud del lado menor del rectángulo, se obtiene otro rectángulo de oro.

• Si a un rectángulo de oro se le añade un cuadrado, cuyo lado mide la longitud del lado mayor del rectángulo, se obtiene otro rectángulo de oro.

• Si se colocan dos rectángulos de oro según se observa en la figura, al prolongar la diagonal del primero, pasa por el vértice superior derecho del segundo.

El número áureo.

Las matemáticas están más cerca de todos nosotros de lo que pensamos. ‘Más por menos’ ofrece explicaciones sencillas y didácticas sobre conceptos matemáticos y su correspondencia con la realidad, sin ser necesaria una formación previa para entender los conceptos explicados. Esta serie consta de trece capítulos y fue emitida por rtve en el programa «La aventura del saber».

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A un rectángulo, cuyos lados están en proporción áurea, se le conoce como rectángulo áureo o rectángulo de oro. Es un rectángulo muy utilizado desde siempre en arte, buscando el modelo de perfección y belleza, pues es considerado como el rectángulo más armonioso a la vista de todos los que se pueden construir.

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Demostración:

Si se representa por x la longitud del lado del cuadrado, la longitud del segmento MB es x/2 y la longitud del lado MC será, aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo MBC:

Por el procedimiento de construcción utilizado, esta longitud coincide con la longitud del segmento ME.

El lado mayor del rectángulo mide:

La razón entre el lado mayor AE y el lado menor AD es el número de oro: