En el conjunto de los números reales no existe la raíz cuadrada de –1. En el conjunto de los números complejos se define la unidad imaginaria, i, como la raíz cuadrada de –1:

Utilizando esta definición, ¿existe algún fallo en el siguiente razonamiento?

Las dos fracciones siguientes son iguales:

Las raíces de dos expresiones iguales son también iguales:

La raíz de una fracción es igual a la raíz del numerador entre la raíz del denominador:

Se quitan denominadores:

Se aplica que la raíz cuadrada de –1 es igual a la unidad imaginaria, i:

Se realizan los dos productos:

Se calculan las dos potencias aplicando que  «i² = –1»  y se obtiene esta sorprendente igualdad:

¿Pueden coincidir la suma y el producto de varios números?

• Encuentra dos números positivos cuya suma coincide con su producto.

• Encuentra tres números positivos cuya suma coincide con su producto.

• Encuentra cuatro números positivos cuya suma coincide con su producto.

• Encuentra cinco números positivos cuya suma coincide con su producto.

• • •

El número 6174 se conoce como constante de Kaprekar debido al matemático indio que lo descubrió, Dattatreya Ramachandra Kaprekar (1905-1986). Se obtiene a partir de la siguiente secuencia de operaciones:

• Escoge un número de cuatro cifras que no tenga tres ni cuatro cifras iguales. Por ejemplo: 4815.

• Coloca las cuatro cifras en orden descendente. En este caso: 8541.

• Coloca las cuatro cifras en orden ascendente. En este caso: 1458.

• Resta los dos números anteriores. En este caso: 8541–1458=7083.

• Si no sale 6174, repite el procedimiento anterior las veces necesarias con los resultados de las diferencias y, como mucho en siete pasos, obtienes la constante de Kaprekar.

8730–0378=8352.

8532–2358=6174.

Si multiplicamos por 9 el número 1089, se obtiene el número que tiene sus cifras invertidas, 9801. Además todos los números que intervienen en la multiplicación formaría un número capicúa.

1089 × 9 = 9801

El inverso del número 9801 es un número decimal periódico puro cuyo periodo está formado por 198 cifras, que van desde 00 hasta 99 con la única excepción de 98. 

• Escoge un número de tres cifras de forma que las cifras de las unidades y de las centenas no sean iguales ni consecutivas, por ejemplo 147.

• Escríbelo invirtiendo el orden de sus cifras, 741.

• Réstale al mayor el menor, 741–147=594.

• Escribe el resultado en orden inverso, 495.

• Suma los dos últimos números, 594+495=1089.

• Siempre se obtiene como resultado 1089.

Comprueba con tu calculadora:

El número 37037 es el resultado de estas curiosas divisiones:

Otra forma menos llamativa, pero igualmente curiosa, que justifica los resultados anteriores:

Estas operaciones tienen relación con la entrada sobre «El número 37».

Se verifica que al multiplicar un número de tres cifras, abc, por 1001 se obtiene el número abcabc.

abc × 1001 = abcabc   →   37 × 1001 = 37037

Comprueba con tu calculadora:

El número 37 es el resultado de estas curiosas divisiones:

Otra forma menos llamativa, pero igualmente curiosa, que justifica los resultados anteriores:

En las siguientes multiplicaciones intervienen todos los números del 1 al 9:

Y en las siguientes aparecen en los factores y en el resultado: