Descubrimiento de Fermat

Fermat (1601-1665) descubrió que cualquier número primo que al dividirlo entre 4 se obtenga 1 de resto, se puede expresar como la suma de dos cuadrados, es decir:

Si n = 4k+1, siendo k un número natural, entonces n = a² + b², con a y b números naturales.

Por ejemplo:

• Si k = 1 → n = 4·1+1 = 5   número primo → 5 = 1² + 2².

• Si k = 2 → n = 4·2+1 = 9  no es número primo.

• Si k = 3 → n = 4·3+1 = 13 número primo → 13 = 2² + 3².

Esta propiedad se verifica también en algunos casos en los que n no es primo.

• Si k = 16 → n = 4·16+1 = 65  no es número primo, pero 65 = 1² + 8².

Realiza las comprobaciones necesarias y responde a las siguientes preguntas:

• ¿Cómo tiene que ser el valor de k para que uno de los sumandos sea 1²?

• ¿Cómo tiene que ser el valor de k para que uno de los sumandos sea 2²?

• ¿Cómo tiene que ser el valor de k para que uno de los sumandos sea 3²?