El número de oro es un número algebraico. Esto significa que se puede obtener como solución de una ecuación polinómica con coeficientes racionales. También que se puede representar gráficamente con regla y compás. La representación gráfica más conocida y más fácil se deduce a partir de su expresión numérica con fracciones y raíces. Se muestra en la siguiente figura:
Otros segmentos cuya longitud es el número de oro son:
• La diagonal de un pentágono regular de lado una unidad.
• El radio de la circunferencia circunscrita a un decágono regular de lado una unidad.
Con el siguiente procedimiento se puede construir gráficamente, con regla y compás, otro segmento cuya longitud es el número de oro.
Haciendo «click» sobre la imagen se puede seguir la construcción paso a paso en una miscelánea del Proyecto Descartes.
1. Se representa una circunferencia con centro el origen de coordenadas y una unidad de radio.
2. Sean A y B los puntos de corte de la circunferencia con el eje de abscisas.
3. Con centro el punto A se traza una circunferencia de radio 1 que corta a la circunferencia inicial en dos puntos. Elegimos uno de ellos, por ejemplo C.
4. Con centro el punto B se traza una circunferencia de radio 1/2 que corta a la circunferencia inicial en dos puntos. Elegimos uno de ellos, por ejemplo D.
5. Se traza la recta que pasa por los puntos C y D. Esta recta corta al eje de abscisas en el punto E.
6. La longitud del segmento BE coincide con el número de oro.
Demostración.
Ecuación de la circunferencia de centro O y radio 1:
Ecuación de la circunferencia de centro A:(-1,0) y radio 1:
Ecuación de la circunferencia de centro B:(1,0) y radio 1/2:
Coordenadas del punto C. Se pueden calcular resolviendo el sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones de las dos circunferencias a las que pertenece.
Sustituyendo el valor de x en la primera ecuación, se obtiene:
Coordenadas del punto D. Se pueden calcular resolviendo el sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones de las dos circunferencias a las que pertenece.
Sustituyendo el valor de x en la primera ecuación, se obtiene:
Se representan ahora las proyecciones de los puntos C y D sobre el eje de abscisas obteniendo los puntos F y G respectivamente.
Los triángulos CFE y DGE son semejantes. Aplicando el Teorema de Thales:
Las longitudes de los segmentos son:
Sustituyendo estos valores en la expresión anterior se puede calcular la longitud del segmento BE:
Si en la construcción gráfica realizada, la circunferencia inicial se construye con centro el punto (-1,0), en lugar del origen de coordenadas, el punto E coincide en el eje de abscisas con la representación del número de oro en la recta real.
