Esta miscelánea del Proyecto Descartes recrea la visita a un museo de arte geométrico. En tan solo ocho salas dedicadas a la circunferencia y a siete polígonos regulares, utilizando pulsadores, el visitante puede contemplar hasta 17000 construcciones geométricas, algunas de ellas son verdaderas obras de arte geométrico. Además tiene la posibilidad de acercar o alejar la construcción para observar de cerca algunos detalles o tener una visión global de la estructura geométrica.

En cualquier mosaico geométrico, por básico que pueda parecer, se puede admirar la belleza de su construcción y como los elementos geométricos que lo componen se distribuyen, mediante traslaciones giros y simetrías, proporcionándole equilibrio y armonía.

Cuando estos elementos cobran movimiento, con ayuda de la tecnología, en este caso con el Proyecto Descartes, el mosaico describe extraordinarias estructuras geométricas que aumentan su complejidad a medida que aumenta el número de lados de los polígonos regulares y que pueden ser consideradas como auténticas obras de arte.

Haz «click» sobre cualquiera de las imágenes para abrir la miscelánea del Proyecto Descartes.

La Sociedad de Educación Matemática de la Comunidad Valenciana «Al Khwarizmi» publica la séptima página de su Calendario Matemático anual, correspondiente al mes de marzo del curso 2024-25. Los problemas de los días 1 y 28-29 corresponden a actividades de este blog.

Se puede acceder a la publicación haciendo «click» sobre la imagen siguiente. 

• Se dividen los lados de cuatro cuadrados de 1 cm² de superficie en 5 partes iguales. En cada uno de ellos, se une cada uno de los vértices con la primera, segunda, tercera y cuarta divisiones respectivamente, de uno de los lados no contiguos, según se observa en la figura, formando cuadrados interiores más pequeños. Deduce una fórmula para el cálculo de la superficie de cada uno de estos cuadrados, según la división elegida.

• Deduce una fórmula, en función de m y n, para el área del cuadrado interior si se divide el lado del cuadrado en n partes iguales y se une cada vértice con la división que ocupa el lugar m de uno de los lados no contiguos.

Calcula todos los números naturales de cuatro cifras, abcd, que verifican que el cuadrado de la última cifra es igual a la suma de las tres primeras: 

a + b + c = d² 

• Se dividen los lados de un cuadrado de 1 cm² de superficie en 2, 3, 4 y 5 partes iguales. Se une cada uno de los vértices con la penúltima división de uno de los lados no contiguos, según se observa en la figura, formando un cuadrado interior más pequeño. Calcula el área de cada uno de estos cuadrados interiores. (Al dividir el lado en dos partes, se obtiene la primera figura de la actividad anterior, que ya debe estar resuelta).

• Deduce una fórmula para el área del cuadrado interior si se divide el lado del cuadrado en n partes iguales.

Calcula todos los números naturales de cuatro cifras, abcd, que verifican que el cuadrado de la última cifra es igual al producto de las tres primeras: 

a × b × c = d² 

En una entrada antigua de este blog se planteó la siguiente actividad:

• En un cuadrado de 1 cm² de superficie, se unen los vértices con los puntos medios de los lados, según se ve en la figura, formando un cuadrado más pequeño. ¿Cuál es la superficie de este cuadrado más pequeño?

Se puede resolver esta actividad realizando la construcción en una cuadrícula y también con el siguiente procedimiento geométrico. Existen otros procedimientos más laboriosos.

Se plantean ahora las siguientes actividades:

• Se dividen los lados de un cuadrado de 1 cm² de superficie en 3, 4 y 5 partes iguales. Se une cada uno de los vértices con la primera división de uno de los lados no contiguos, según se observa en la figura, formando un cuadrado interior más pequeño. Calcula el área de cada uno de estos cuadrados interiores.

• Deduce una fórmula para el área del cuadrado interior si se divide el lado del cuadrado en n partes iguales.

Calcula todos los números naturales de tres cifras, abc, que verifican que la suma de una de sus cifras es igual al producto de las otras dos: 

a + b = c²    o    a + c = b²    o    b + c = a²

La pajarita nazarí es, posiblemente, la figura más interesante y conocida de los mosaicos de la Alhambra. En algunos de los mosaicos aparece como una figura compacta y en otros aparece con hexágonos o estrellas en su interior. 

El mosaico se construye a partir del recubrimiento del plano con triángulos equiláteros. En la figura siguiente se puede observar como se obtiene la pajarita de un triángulo equilátero. Si se divide el triángulo equilátero en cuatro triángulos equiláteros iguales, los centros de los arcos exteriores son los baricentros de tres de estos triángulos.

Haz «click» sobre la imagen para abrir una entrada anterior de este blog y comprobar la construcción de la pajarita nazarí con una escena del Proyecto Descartes y con GeoGebra.

Aunque esta es la forma de construir la pajarita original, se pueden construir otras pajaritas, con menor o mayor curvatura de sus arcos, modificando la posición del centro de cada uno de ellos. Estos centros siempre deben estar en la mediatriz del segmento que une cada uno de los vértices con los puntos medios de los lados.

Haz «click» sobre cualquiera de las siguientes imágenes para observar como cambia la pajarita al moverse los centros por cada una de las mediatrices. Se representa solamente un centro (del arco de color rojo) y una mediatriz para ver la construcción con mayor claridad. Observa qué sucede cuando las coordenadas del centro que se muestra toman valores muy grandes.

Si en lugar de una sola pajarita, utilizamos un grupo de pajaritas, en este caso formando hexágonos, cuando las coordenadas del centro que se representa toman valores cada vez mayores, se obtienen gráficos  sorprendentes y muy interesantes. 

Haz «click» sobre cualquiera de las siguientes imágenes para observar estos gráficos.

En la construcción que se abre, también en el caso anterior y en el siguiente:

• Se puede activar o desactivar la animación automática con los botones que aparecen en la esquina inferior izquierda.

• Se puede modificar la construcción manualmente, seleccionando y moviendo con el ratón el punto gris (centro de uno de los arcos) por la recta discontinua .

• En cualquier momento, se puede acercar o alejar la construcción pulsando sobre los botones de «Zoom».

• En este caso particular, se puede cambiar la construcción modificando la variable «lado» con el deslizador de la parte inferior derecha.

Y haciendo «click» ahora sobre alguna de estas imágenes se pueden observar los gráficos que se obtienen en un mosaico de pajaritas completo.