La Geometría se hace arte.
Las matemáticas están más cerca de todos nosotros de lo que pensamos. ‘Más por menos’ ofrece explicaciones sencillas y didácticas sobre conceptos matemáticos y su correspondencia con la realidad, sin ser necesaria una formación previa para entender los conceptos explicados. Esta serie consta de trece capítulos y fue emitida por rtve en el programa «La aventura del saber».
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M.C. Escher. Galería de grabados. 1956.
Litografía. 31,9 x 31,7 cm.
No existe un triángulo escaleno con las proporciones áureas, pero si existe un triángulo isósceles en el que la razón entre el lado distinto y los lados iguales sea el número de oro, es decir, un triángulo semejante al triángulo cuyos lados miden 1, 1 y f.
Vamos a calcular los ángulos. Se calcula el ángulo α con el teorema del coseno.
Y ahora se pueden calcular los dos ángulos iguales.
El triángulo buscado es cualquier triángulo semejante al triángulo siguiente:
No existe un triángulo escaleno con las proporciones áureas, pero si existe un triángulo isósceles en el que la razón entre los lados iguales y el lado distinto sea el número de oro, es decir, un triángulo semejante al triángulo cuyos lados miden f, f y 1.
Vamos a calcular los ángulos. Se calcula el ángulo α con el teorema del coseno.
Y ahora se pueden calcular los dos ángulos iguales.
El triángulo buscado es cualquier triángulo semejante al triángulo siguiente:
El triángulo de oro, si existe, debe ser un triángulo de forma que la razón entre el lado mayor y el lado mediano y la razón entre el lado mediano y el lado menor sea el número de oro, es decir, un triángulo semejante al triángulo cuyos lados miden 1, f y f2.
Al calcular f2 se obtiene:
El lado mayor sería igual a la suma de los otros dos y, por tanto, es imposible la construcción del triángulo de oro.
Se dice que un número natural es n-conductor si realizando con sus cifras operaciones de sumar, restar, multiplicar, dividir y potenciación, se puede obtener el número «n«. En estas operaciones hay que utilizar todas las cifras, no se pueden agrupar dos o más dígitos en otros números de varias cifras, cada cifra se puede utilizar una sola vez, se pueden utilizar paréntesis y como exponentes se pueden utilizar únicamente las cifras del número si no se han utilizado en las demás operaciones.
Se dice que un número natural es superconductor si realizando con sus cifras las operaciones indicadas anteriormente, se pueden obtener los números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10.
Números 0-conductores.
• Un número de dos cifras es 0-conductor si es múltiplo de 10 o si tiene las dos cifras iguales.
Ejemplos. El número 10 es 0-conductor porque 0=1·0. El número 47 no es 0-conductor, no se puede obtener 0 realizando operaciones con todas sus cifras.
• Un número de tres cifras es 0-conductor si alguna de sus cifras es 0; si tiene al menos dos cifras iguales; o si una cualquiera de sus cifras es la suma, el producto o el resultado de una potencia de las otras dos.
Ejemplos. El número 248 es 0-conductor porque 0=2·4–8. El número 135 no es 0-conductor, no se puede obtener 0 realizando operaciones con todas sus cifras.
• Un número de cuatro cifras es 0-conductor si alguna de sus cifras es 0 o si tiene al menos dos cifras iguales. El resto de los números de cuatro cifras ofrece más posibilidades de operaciones con sus dígitos, habiendo más números 0-conductores que números que no lo son.
Ejemplos. El número 3576 es 0-conductor porque 0=3·(7–5)–6. El número 1468 no es 0-conductor, no se puede obtener 0 realizando operaciones con todas sus cifras, no está permitido hacer 0=14–6–8.
• Un número de cinco o más cifras tiene mayor número de posibilidades para realizar estas operaciones con sus dígitos. ¿Hay algún número con más de cuatro cifras que no sea 0-conductor?
Números superconductores.
• Un número de dos cifras no puede ser superconductor.
• Un número de tres cifras sí puede ser superconductor. Por ejemplo, el número 123, es superconductor porque:
| 0=1+2–3 | 1=3–2·1 | 2=3–2+1 | 3=3·(2–1) |
| 4=3+2–1 | 5=3·2–1 | 6=1+2+3 | 7=3·2+1 |
| 8=2·(3+1) | 9=3·(2+1) | 10=1+32 |
¿Hay algún número más de tres cifras que sea superconductor y que no se obtenga permutando las cifras del número 123?
• Encuentra números de cuatro cifras que sean superconductores.
Alberto Durero (1471-1528) es un artista renacentista alemán. Ya se ha visto anteriormente su cuadrado mágico. A él se debe la construcción de esta espiral utilizando rectángulos áureos.
Una de las propiedades de los rectángulos áureos vistas con anterioridad dice que «Si a un rectángulo de oro se le añade un cuadrado, cuyo lado mide la longitud del lado mayor del rectángulo, se obtiene otro rectángulo de oro».
A partir de un rectángulo áureo se van añadiendo cuadrados para formar nuevos rectángulos áureos. En cada uno de estos cuadrados se traza un cuarto de circunferencia, cuyo radio coincide con el lado del cuadrado y cuyo origen es el extremo del arco de circunferencia anterior.
Esta construcción se puede realizar de forma indefinida obteniendo una línea espiral que se conoce como Espiral de Durero.
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Esta curva algebraica fue estudiada en primer lugar por el matemático suizo Gabriel Cramer (1704-1752) y, posteriormente, por el matemático francés Sylvestre François Lacroix (1765-1843).
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Si en la sucesión de Fibonacci se divide cada uno de los términos por el anterior, se obtiene una nueva sucesión cuyo límite es el número de oro; Φ=1.6180339887.
Ya se observa una aproximación en los primeros cocientes:
Pero este resultado se puede demostrar de la siguiente forma:
La ecuación tiene dos soluciones, una positiva y otra negativa. Como todos los cocientes de la sucesión son positivos, el valor del límite es la solución positiva.
