La diagonal, D, de un ortoedro, cuyas aristas miden a, b y c unidades, verifica que:
D2 = a2 + b2 + c2
Existen solamente cuatro ortoedros con a, b, c y D números naturales comprendidos entre 1 y 9, ambos incluidos. Averigua sus medidas.
Los números naturales a, b, c y D forman una cuaterna pitagórica.
Un grafo es conexo si cada par de vértices están unidos por un camino.
Un grafo conexo es euleriano si y solo si cada vértice tiene grado par.
Si un grafo contiene un camino euleriano, entonces todos los vértices tienen grado par o solamente dos vértices tienen grado par. En este caso, para construir el camino euleriano hay que empezar por uno de los vértices de grado impar y acabar en el otro.
En el siguiente grafo, el vértice A tiene grado 1 y el vértice B tiene grado 3. No puede ser un grafo euleriano, pero sí se puede construir un camino euleriano empezando por el vértice A y acabando por el vértice B o al contrario.
En el siguiente grafo todos los vértices tienen grado par, es un grafo euleriano. Se puede construir un circuito euleriano, empezando y acabando en un mismo vértice.
En el problema de los puentes de Königsberg, realizar el recorrido propuesto, equivale a construir la siguiente figura sin levantar el lápiz del papel y sin pasar dos veces por la misma línea, es decir, construir un circuito euleriano. Pero no se puede construir este camino porque los cuatro vértices del grafo tienen grado impar, por tanto, no es posible recorrer la ciudad a pie, pasando una sola vez por cada uno de los puentes y volviendo al punto inicial.
Utiliza estos resultados para resolver la siguiente actividad propuesta en este blog con anterioridad:
Con los datos de la figura, calcula, de la forma más exacta posible, la superficie de la lúnula de color morado.
Utilizando todos los divisores del número 100 y sin repetir ninguno, construye un cuadrado mágico multiplicativo de orden 3. Se debe verificar que el producto de las tres filas, las tres columnas y las dos diagonales debe ser igual a un mismo número, k, llamado constante mágica. ¿Cuál es el valor de la constante mágica?
a · b · c = d · e · f = g · h · i = k
a · d · g = b · e · h = c · f · i = k
a · e · i = c · e · g = k
Un camino en un grafo es un conjunto de aristas consecutivas que unen dos vértices. Un camino es cerrado si los dos vértices extremos coinciden. Un circuito es un camino cerrado que no contiene aristas repetidas.
En el grafo anterior, un camino que une los puntos A y E es el formado por las aristas AF, FC, CE.
Un circuito que sale que parte de G y llega a G es el formado por las aristas GD, DF, FC, CE, EB, BG.
Un camino euleriano es un camino que contiene todas las aristas sin repetir ninguna. En el grafo anterior, el camino AF, FB, BE, EC, CF, FD, DG, GB es un camino euleriano.
Un grafo euleriano es un grafo que contiene un circuito euleriano. El grafo anterior no contiene ningún circuito euleriano. El grafo siguiente contiene el circuito euleriano: AB, BC, CD, DE, EA, AC, CE, EB, BD, DA. Es por tanto, un grafo euleriano.
