Construcciones geométricas

Arte geométrico con la pajarita nazarí

La pajarita nazarí es el mosaico más representativo de la Alhambra. Ya se le ha dedicado dos entradas anteriores en este blog. Una en la que aparece su construcción y otra en la que se modifica su aspecto. En esta tercera entrada se va a modificar su tamaño en un mosaico y se muestra el efecto que produce.

En la entrada «pajarita nazarí»  de este blog, se estudió como se obtiene esta figura a partir de un triángulo equilátero.

Posteriormente, en la entrada «Pajaritas animadas«, se estudió la existencia de otras pajaritas, distintas de la nazarí, modificando la posición del centro de sus arcos y, por tanto, también el radio de los mismos. En algunos casos la pajarita se aproxima al triángulo equilátero de la que se obtiene y, en otros, la pajarita se deforma dando lugar a construcciones geométricas sorprendentes. La siguiente imagen se obtiene a partir de un mosaico con pajaritas.

Otra entrada de este blog lleva el título de «Arte Geométrico«. En esta entrada no aparece la pajarita nazarí. Se estudia el comportamiento de distintos mosaicos con circunferencias y polígonos regulares, cuando se mantienen fijos sus centros y van aumentando su tamaño intersecando sus lados, obteniéndose maravillosas construcciones geométricas, que en algunos casos se pueden considerar auténticas obras de arte geométrico.

Y en esta entrada, Arte geométrico con la pajarita nazarí, se utiliza el procedimiento anterior para construir a partir de un mosaico de pajaritas nazaríes, dejando fijos los centros y aumentando el tamaño de las pajaritas, otras estructuras geométricas extraordinarias como se puede comprobar en las siguientes actividades.


Haz «click» sobre cualquiera de las siguientes imágenes para observar estos gráficos.

En las construcciones a las que se accede:

· Se puede activar o desactivar la animación automática con los botones que aparecen en la esquina inferior izquierda.

· Se puede modificar la construcción manualmente, seleccionando y moviendo con el ratón el deslizador (punto que aparece en un segmento en la parte inferior central) .

· En cualquier momento, se puede acercar o alejar la construcción pulsando sobre los botones de «Zoom».


• En este primer caso se muestra una situación con seis pajaritas nada más, para comprender mejor como se comportan al dejar fijos sus centros y modificar su tamaño.

       

• En este segundo caso se utiliza un mosaico de pajaritas, aunque incompleto. Como se puede apreciar en la primera imagen solamente aparecen las pajaritas que se encuentran en la posición de la figura inicial. 

         

• Y en este tercer y último caso se utiliza un mosaico de pajaritas completo, obteniéndose una estructura geométrica todavía más compleja que la anterior. 

         

Arte geométrico

Esta miscelánea del Proyecto Descartes recrea la visita a un museo de arte geométrico. En tan solo ocho salas dedicadas a la circunferencia y a siete polígonos regulares, utilizando pulsadores, el visitante puede contemplar hasta 17000 construcciones geométricas, algunas de ellas son verdaderas obras de arte geométrico. Además tiene la posibilidad de acercar o alejar la construcción para observar de cerca algunos detalles o tener una visión global de la estructura geométrica.

En cualquier mosaico geométrico, por básico que pueda parecer, se puede admirar la belleza de su construcción y como los elementos geométricos que lo componen se distribuyen, mediante traslaciones giros y simetrías, proporcionándole equilibrio y armonía.

     

Cuando estos elementos cobran movimiento, con ayuda de la tecnología, en este caso con el Proyecto Descartes, el mosaico describe extraordinarias estructuras geométricas que aumentan su complejidad a medida que aumenta el número de lados de los polígonos regulares y que pueden ser consideradas como auténticas obras de arte.

Haz «click» sobre cualquiera de las imágenes para abrir la miscelánea del Proyecto Descartes.

 

Pajaritas animadas

La pajarita nazarí es, posiblemente, la figura más interesante y conocida de los mosaicos de la Alhambra. En algunos de los mosaicos aparece como una figura compacta y en otros aparece con hexágonos o estrellas en su interior. 

El mosaico se construye a partir del recubrimiento del plano con triángulos equiláteros. En la figura siguiente se puede observar como se obtiene la pajarita de un triángulo equilátero. Si se divide el triángulo equilátero en cuatro triángulos equiláteros iguales, los centros de los arcos exteriores son los baricentros de tres de estos triángulos.

Haz «click» sobre la imagen para abrir una entrada anterior de este blog y comprobar la construcción de la pajarita nazarí con una escena del Proyecto Descartes y con GeoGebra.

Aunque esta es la forma de construir la pajarita original, se pueden construir otras pajaritas, con menor o mayor curvatura de sus arcos, modificando la posición del centro de cada uno de ellos. Estos centros siempre deben estar en la mediatriz del segmento que une cada uno de los vértices con los puntos medios de los lados.

Haz «click» sobre cualquiera de las siguientes imágenes para observar como cambia la pajarita al moverse los centros por cada una de las mediatrices. Se representa solamente un centro (del arco de color rojo) y una mediatriz para ver la construcción con mayor claridad. Observa qué sucede cuando las coordenadas del centro que se muestra toman valores muy grandes.

             

Si en lugar de una sola pajarita, utilizamos un grupo de pajaritas, en este caso formando hexágonos, cuando las coordenadas del centro que se representa toman valores cada vez mayores, se obtienen gráficos  sorprendentes y muy interesantes. 

Haz «click» sobre cualquiera de las siguientes imágenes para observar estos gráficos.

En la construcción que se abre, también en el caso anterior y en el siguiente:

• Se puede activar o desactivar la animación automática con los botones que aparecen en la esquina inferior izquierda.

• Se puede modificar la construcción manualmente, seleccionando y moviendo con el ratón el punto gris (centro de uno de los arcos) por la recta discontinua .

• En cualquier momento, se puede acercar o alejar la construcción pulsando sobre los botones de «Zoom».

• En este caso particular, se puede cambiar la construcción modificando la variable «lado» con el deslizador de la parte inferior derecha.

         

Y haciendo «click» ahora sobre alguna de estas imágenes se pueden observar los gráficos que se obtienen en un mosaico de pajaritas completo. 

         

Un segmento de longitud áurea

El número de oro es un número algebraico. Esto significa que se puede obtener como solución de una ecuación polinómica con coeficientes racionales. También que se puede representar gráficamente con regla y compás. La representación gráfica más conocida y más fácil se deduce a partir de su expresión numérica con fracciones y raíces. Se muestra en la siguiente figura:

Otros segmentos cuya longitud es el número de oro son:

     • La diagonal de un pentágono regular de lado una unidad.

     • El radio de la circunferencia circunscrita a un decágono regular de lado una unidad.

Con el siguiente procedimiento se puede construir gráficamente, con regla y compás, otro segmento cuya longitud es el número de oro.

Haciendo «click» sobre la imagen se puede seguir la construcción paso a paso en una miscelánea del Proyecto Descartes.

1. Se representa una circunferencia con centro el origen de coordenadas y una unidad de radio.

2. Sean A y B los puntos de corte de la circunferencia con el eje de abscisas.

3. Con centro el punto A se traza una circunferencia de radio 1 que corta a la circunferencia inicial en dos puntos. Elegimos uno de ellos, por ejemplo C.

4. Con centro el punto B se traza una circunferencia de radio 1/2 que corta a la circunferencia inicial en dos puntos. Elegimos uno de ellos, por ejemplo D.

5. Se traza la recta que pasa por los puntos C y D. Esta recta corta al eje de abscisas en el punto E.

6. La longitud del segmento BE coincide con el número de oro.

Demostración.

Ecuación de la circunferencia de centro O y radio 1:

Ecuación de la circunferencia de centro A:(-1,0) y radio 1:

Ecuación de la circunferencia de centro B:(1,0) y radio 1/2:

Coordenadas del punto C. Se pueden calcular resolviendo el sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones de las dos circunferencias a las que pertenece.

Sustituyendo el valor de x en la primera ecuación, se obtiene:

Coordenadas del punto D. Se pueden calcular resolviendo el sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones de las dos circunferencias a las que pertenece.

Sustituyendo el valor de x en la primera ecuación, se obtiene:

Se representan ahora las proyecciones de los puntos C y D sobre el eje de abscisas obteniendo los puntos F y G respectivamente.

Los triángulos CFE y DGE son semejantes. Aplicando el Teorema de Thales:

Las longitudes de los segmentos son:

Sustituyendo estos valores en la expresión anterior se puede calcular la longitud del segmento BE:

Si en la construcción gráfica realizada, la circunferencia inicial se construye con centro el punto (-1,0), en lugar del origen de coordenadas, el punto E coincide en el eje de abscisas con la representación del número de oro en la recta real.

Deltoides con proporciones áureas

Publicación del libro digital interactivo «Deltoides con proporciones áureas«, dentro del proyecto iCartesiLibri de la Red Educativa Digital Descartes.

En este libro se estudia la existencia y construcción de deltoides con proporciones áureas. Se estudian deltoides convexos y cóncavos inscritos en un rectángulo áureo. Y se estudia también la existencia de deltoides que, aunque no están inscritos en un rectángulo de oro, verifican que sus lados y sus diagonales están en proporción áurea.

Se incluyen escenas interactivas del  Proyecto Descartes que ayudan a realizar la construcción paso a paso de las figuras estudiadas y a una mejor comprensión de sus propiedades. 

   

«Deltoides con proporciones áureas«

Deltoides con proporciones áureas

En la sección sobre el número de oro se han construido dos triángulos isósceles con proporciones áureas. Son triángulos semejantes a los dos siguientes. Se escogen como longitudes de los lados 1, Φ y Φ2, para comprender mejor la construcción y las proporciones que existen.

Con estos dos triángulos se pueden construir los siguientes deltoides:

• El primero se obtiene uniendo los dos triángulos isósceles. Es un deltoide convexo. El cociente entre el lado mayor y la diagonal menor y el cociente entre la diagonal menor  y el lado menor es el número de oro.

• El segundo se obtiene quitando del primero, un triángulo igual al segundo. Es un deltoide cóncavo. El cociente entre el lado mayor y la diagonal menor y el cociente entre la diagonal menor  y el lado menor es el número de oro.

• El tercero se obtiene uniendo dos triángulos como el primero por su lado mayor. Es un deltoide convexo. El cociente entre el lado mayor y el lado menor es el número de oro.

• El cuarto se obtiene uniendo dos triángulos como el segundo por su lado menor. Es un deltoide cóncavo. El cociente entre el lado mayor y el lado menor es el número de oro.

Deltoides semejantes a estos los podemos encontrar en el pentágono regular y en el decágono regular, utilizando las diagonales y sus puntos de intersección. A continuación se representan los de mayor tamaño, pero es posible encontrar otros de menor tamaño en el decágono.

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