Números

Números de Harshad

Un número de Harshad (en sánscrito, gran alegría) es un número natural que es divisible por la suma de sus cifras. Su nombre se debe al matemático indio Dattatreya Ramachandra Kaprekar (1905-1986). La definición se extiende a números expresados en cualquier base numérica, aunque los ejemplos corresponde al sistema decimal.

Por ejemplo, el número 2023.

Los veinticinco primeros números de Harshad son: 

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, …

Un caso particular de los números de Harshad son los números que al dividirlos por la suma de sus cifras se obtiene un número primo, conocidos como números de Moran.

Los veinticinco primeros números de Moran

18, 21, 27, 42, 45, 63, 84, 111, 114, 117, 133, 152, 153, 156, 171, 190, 195, 198, 201, 207, 209, 222, 228, 247, 261, …

Los números 135 y 144

Los números 135 y 144 verifican que al multiplicar la suma de sus cifras por el producto de las mismas, el resultado es igual a dichos números.

135  →  (1+3+5) · (1·3·5) = 9·15 = 135

144  →  (1+4+4) · (1·4·4) = 9·16 = 144

Número poderoso

Un número poderoso es un número natural que verifica que si es divisible por un número primo cualquiera, también es divisible por el cuadrado de ese número primo. Su nombre se debe al matemático e ingeniero estadounidense Salomon Wolf Golomb (1932-2016).

Por ejemplo, el número 72. Es divisible por los números primos 2 y 3 y también por sus cuadrados 4 y 9.

Los veinticinco primeros números poderosos son: 

1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 200, 216, 225, 243 , …

Ladrillos de Euler

Se conoce como ladrillo de Euler a un ortoedro en el que las longitudes de las aristas y de las diagonales de las caras son números naturales. Si además, el máximo común divisor de las aristas es 1, el ortoedro se llama ladrillo de Euler primitivo.

El ladrillo de Euler más pequeño lo descubrió, en el año 1719, el matemático e informático alemán Paul Halcke (1662-1731). Es el siguiente:

Otros ladrillos de Euler tienen por longitudes de aristas y diagonales:

Aristas: 85, 135, 720.   Diagonales: 157, 725, 732.

Aristas: 140, 480, 693.   Diagonales: 500, 707, 843.

Aristas: 160, 231, 792.   Diagonales: 281, 808, 825.

Aristas: 240, 252, 275.   Diagonales: 348, 365, 373.

En estos ortoedros, la diagonal mayor no es un número natural. No se ha encontrado todavía el ortoedro con las longitudes de las aristas, las diagonales de las caras y la diagonal mayor, números naturales. A este ortoedro se le llamaría ortoedro perfecto o ladrillo perfecto de Euler.

Sucesión de Jacobsthal

La sucesión de Jacobsthal, debida al matemático alemán Ernst Jacobstal (1882-1965), es la siguiente sucesión de números:

0, 1, 1 , 3, 5, 11, 21, 43, 85, 171, 341, 683, 1365, 2731, 5461, . . .

• Esta sucesión se puede obtener como una sucesión recurrente conociendo los dos términos anteriores:

a1 = 0   ,  a2 = 1   ,  an = 2·an–2 + an–1

a3=2a1+a2=0+1=1 a4=2a2+a3=2+1=3 a5=2a3+a4=2+3=5 a6=2a4+a5=6+5=11
a7=2a5+a6=10+11=21 a8=2a6+a7=22+21=43 a9=2a7+a8=42+43=85 a10=2a8+a9=86+85=171

• Esta sucesión se puede obtener también como una sucesión recurrente conociendo el término anterior:

a1 = 0   ,  an = 2·an–1 +(-1)n

a2=2a1+(-1)2=0+1=1 a3=2a2+(-1)3=2–1=1 a4=2a3+(-1)4=2+1=3 a5=2a4+(-1)5=61=5
a6=2a5+(-1)6=10+1=11 a7=2a6+(-1)7=221=21 a8=2a7+(-1)8=42+1=43 a9=2a8+(-1)9=861=85

• También se puede obtener cualquier término de la sucesión sin necesidad de conocer ninguno de los términos anteriores, mediante el término general:

a0=(11)/3=0 a1=(2+1)/3=1 a2=(41)/3=1 a3=(8+1)/3=3
a4=(161)/3=5 a5=(32+1)/3=11 a6=(641)/3=21 a7=(128+1)/3=43

• Y otra forma de obtener los términos de esta sucesión, excepto el primero de ellos, es como sumas y diferencias alternas de potencias de 2:

n=1  →   a1 = 0
n=2  →   a2 = 20 = 1 
n=3  →   a3 = 21 20 = 2 1 = 1
n=4  →   a4 = 22 21 + 20 = 4 – 2 + 1 = 3
n=5  →   a5 = 23 22 + 21 20 = 8 4 + 2 1 = 5
n=6  →   a6 = 24 23 + 22 21 + 20 = 16 – 8 + 4 – 2 + 1 = 11
n=7  →   a7 = 25 24 + 23 22 + 21 20 = 32 16 + 8 4 + 2 1 = 21

Esta relación se puede expresar de la forma:

Sucesión de Fibonacci y ternas pitagóricas

Los primeros términos de la sucesión de Fibonacci son:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, …

Si a, b, c y d son cuatro términos consecutivos de la la sucesión de Fibonacci, los números:

forman una terna pitagórica.

 

     Demostración:

Cada término de la sucesión de Fibonacci se obtiene sumando los dos anteriores:

La terna pitagórica está formada por los números:

Se comprueba que estos números forman una terna pitagórica:

 

Veamos algunos ejemplos:

   
Números Comprobación
1, 1, 2, 3 32 + 42 = 52
1·3=3    ,   2·(1·2) = 4   ,   12+22=5 9 + 16 = 25

 

Números Comprobación
1, 2, 3, 5 52 + 122 = 132
1·5=5    ,   2·(2·3) = 12   ,   22+32=13 25 + 144 = 169

 

Números Comprobación
2, 3, 5, 8 162 + 302 = 342
2·8=16    ,   2·(3·5) = 30   ,   32+52=34 256 + 900 = 1156

 

Números Comprobación
3, 5, 8, 13 392 + 802 = 892
3·13=39    ,   2·(5·8) = 80   ,   52+82=89 1521 + 6400 = 7921

. . .

Números de Fermat

Pierre de Fermat (1601-1665) fue un matemático francés.

Un número de Fermat es un número de la forma:

Fermat realizó la conjetura de que todos los números de esta forma eran números primos. Sin embargo, hasta el momento solo se ha comprobado que son primos los cinco primeros números:

A partir del sexto número de Fermat no se ha encontrado ningún número primo, aunque solo se han realizado la factorización de pocos números, debido a la dificultad para realizarla y a los factores tan complejos que aparecen en dichas factorizaciones, que también son objeto de estudio informático interesante, como se puede comprobar en los números siguientes.

Números primos de Mersenne

Marin Mersenne (1588-1648) fue un sacerdote, matemático y filósofo francés.

Un número de Mersenne es un número de la forma Mp= 2p–1, siendo p un número primo.

Un número primo de Mersenne es un número primo de la forma Mp= 2p–1, siendo p un número primo.

Los primeros números de Mersenne, son:

n = 2   →  M2 = 221 = 3   primo

n = 3   →  M3 = 23–1 = 7   primo

n = 5   →  M5 = 25–1 = 31   primo

n = 7   →  M7 =  27–1 = 127   primo

n = 11   →  M11 = 211–1 = 2047 = 23 · 89   compuesto

n = 13   →  M13 = 213–1 = 8191   primo

n = 17   →  M17 = 217–1 = 131071   primo

n = 19   →  M19 =  219–1 = 524287   primo

n = 23   →  M23 = 223–1 = 8388607 = 47 · 178481   compuesto

n = 29   →  M29 = 229–1 = 536870911 = 233 · 1103 · 2089   compuesto

.  .  .

Actualmente se conocen 51 números primos de Mersenne. El último se obtiene con p=82589933 y tiene 24862048 cifras.

Números primos factoriales

Un número primo factorial es un número primo que se obtiene sumando o restando uno a los números factoriales. Es decir, son números primos de la forma:

n! ± 1

No todos los números de esta forma son primos. En la siguiente tabla aparecen los números primos (en verde) y los no primos (en rojo), obtenidos a partir de los primeros factoriales.

n!−1 n! n!+1
0 1 2
1 2 3
5 6 7
23 24 25
119 120 121
719 720 721
5039 5040 5041
40319 40320 40321
362879 362880 362881
3628799 3628800 3628801
39916799 39916800 39916801
479001599 479001600 479001601
6227020799 6227020800 6227020801
87178294199 87178294200 87178294201
1307674367999 1307674368000 1307674368001
. . . . . . . . .

Números primos primoriales

Un número primo primorial es un número primo que se obtiene sumando o restando uno a los números primoriales, Es decir, son números primos de la forma:

n# ± 1

No todos los números de esta forma son primos. En la siguiente tabla aparecen los números primos (en verde) y los no primos (en rojo), obtenidos a partir de los primeros primoriales.

n#−1 n# n#+1
1 2 3
5 6 7
29 30 31
209 210 211
2309 2310 2311
30029 30030 30031
510509 510510 510511
9699689 9699690 9699691
223092869 223092870 223092871
6469693229 6469693230 6469693231
200260490129 200560490130 200560490131
7420738134809 7420738134810 7420738134811
304250263527209 304250263527210 304250263527211
13082761331670029 13082761331670030 13082761331670031
614789882588491409 614789882588491410 614789882588491411
. . . . . . . . .

 

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