Los números 135 y 144
Los números 135 y 144 verifican que al multiplicar la suma de sus cifras por el producto de las mismas, el resultado es igual a dichos números.
135 → (1+3+5) · (1·3·5) = 9·15 = 135
144 → (1+4+4) · (1·4·4) = 9·16 = 144
Números
Número poderoso
Un número poderoso es un número natural que verifica que si es divisible por un número primo cualquiera, también es divisible por el cuadrado de ese número primo. Su nombre se debe al matemático e ingeniero estadounidense Salomon Wolf Golomb (1932-2016).
Por ejemplo, el número 72. Es divisible por los números primos 2 y 3 y también por sus cuadrados 4 y 9.
Los veinticinco primeros números poderosos son:
1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 200, 216, 225, 243 , …
Ladrillos de Euler
Se conoce como ladrillo de Euler a un ortoedro en el que las longitudes de las aristas y de las diagonales de las caras son números naturales. Si además, el máximo común divisor de las aristas es 1, el ortoedro se llama ladrillo de Euler primitivo.
El ladrillo de Euler más pequeño lo descubrió, en el año 1719, el matemático e informático alemán Paul Halcke (1662-1731). Es el siguiente:
Otros ladrillos de Euler tienen por longitudes de aristas y diagonales:
Aristas: 85, 135, 720. Diagonales: 157, 725, 732.
Aristas: 140, 480, 693. Diagonales: 500, 707, 843.
Aristas: 160, 231, 792. Diagonales: 281, 808, 825.
Aristas: 240, 252, 275. Diagonales: 348, 365, 373.
En estos ortoedros, la diagonal mayor no es un número natural. No se ha encontrado todavía el ortoedro con las longitudes de las aristas, las diagonales de las caras y la diagonal mayor, números naturales. A este ortoedro se le llamaría ortoedro perfecto o ladrillo perfecto de Euler.
Sucesión de Jacobsthal
La sucesión de Jacobsthal, debida al matemático alemán Ernst Jacobstal (1882-1965), es la siguiente sucesión de números:
0, 1, 1 , 3, 5, 11, 21, 43, 85, 171, 341, 683, 1365, 2731, 5461, . . .
• Esta sucesión se puede obtener como una sucesión recurrente conociendo los dos términos anteriores:
a1 = 0 , a2 = 1 , an = 2·an–2 + an–1
| a3=2a1+a2=0+1=1 | a4=2a2+a3=2+1=3 | a5=2a3+a4=2+3=5 | a6=2a4+a5=6+5=11 |
| a7=2a5+a6=10+11=21 | a8=2a6+a7=22+21=43 | a9=2a7+a8=42+43=85 | a10=2a8+a9=86+85=171 |
• Esta sucesión se puede obtener también como una sucesión recurrente conociendo el término anterior:
a1 = 0 , an = 2·an–1 +(-1)n
| a2=2a1+(-1)2=0+1=1 | a3=2a2+(-1)3=2–1=1 | a4=2a3+(-1)4=2+1=3 | a5=2a4+(-1)5=6–1=5 |
| a6=2a5+(-1)6=10+1=11 | a7=2a6+(-1)7=22–1=21 | a8=2a7+(-1)8=42+1=43 | a9=2a8+(-1)9=86–1=85 |
• También se puede obtener cualquier término de la sucesión sin necesidad de conocer ninguno de los términos anteriores, mediante el término general:
| a0=(1–1)/3=0 | a1=(2+1)/3=1 | a2=(4–1)/3=1 | a3=(8+1)/3=3 |
| a4=(16–1)/3=5 | a5=(32+1)/3=11 | a6=(64–1)/3=21 | a7=(128+1)/3=43 |
• Y otra forma de obtener los términos de esta sucesión, excepto el primero de ellos, es como sumas y diferencias alternas de potencias de 2:
| n=1 → a1 = 0 |
| n=2 → a2 = 20 = 1 |
| n=3 → a3 = 21 – 20 = 2 – 1 = 1 |
| n=4 → a4 = 22 – 21 + 20 = 4 – 2 + 1 = 3 |
| n=5 → a5 = 23 – 22 + 21 – 20 = 8 – 4 + 2 – 1 = 5 |
| n=6 → a6 = 24 – 23 + 22 – 21 + 20 = 16 – 8 + 4 – 2 + 1 = 11 |
| n=7 → a7 = 25 – 24 + 23 – 22 + 21 – 20 = 32 – 16 + 8 – 4 + 2 – 1 = 21 |
Esta relación se puede expresar de la forma:
Sucesión de Fibonacci y ternas pitagóricas
Los primeros términos de la sucesión de Fibonacci son:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, …
Si a, b, c y d son cuatro términos consecutivos de la la sucesión de Fibonacci, los números:
forman una terna pitagórica.
Demostración:
Cada término de la sucesión de Fibonacci se obtiene sumando los dos anteriores:
La terna pitagórica está formada por los números:
Se comprueba que estos números forman una terna pitagórica:
Veamos algunos ejemplos:
| Números | Comprobación |
| 1, 1, 2, 3 | 32 + 42 = 52 |
| 1·3=3 , 2·(1·2) = 4 , 12+22=5 | 9 + 16 = 25 |
| Números | Comprobación |
| 1, 2, 3, 5 | 52 + 122 = 132 |
| 1·5=5 , 2·(2·3) = 12 , 22+32=13 | 25 + 144 = 169 |
| Números | Comprobación |
| 2, 3, 5, 8 | 162 + 302 = 342 |
| 2·8=16 , 2·(3·5) = 30 , 32+52=34 | 256 + 900 = 1156 |
| Números | Comprobación |
| 3, 5, 8, 13 | 392 + 802 = 892 |
| 3·13=39 , 2·(5·8) = 80 , 52+82=89 | 1521 + 6400 = 7921 |
. . .
Números de Fermat
Pierre de Fermat (1601-1665) fue un matemático francés.
Un número de Fermat es un número de la forma:
Fermat realizó la conjetura de que todos los números de esta forma eran números primos. Sin embargo, hasta el momento solo se ha comprobado que son primos los cinco primeros números:
A partir del sexto número de Fermat no se ha encontrado ningún número primo, aunque solo se han realizado la factorización de pocos números, debido a la dificultad para realizarla y a los factores tan complejos que aparecen en dichas factorizaciones, que también son objeto de estudio informático interesante, como se puede comprobar en los números siguientes.
Números primos de Mersenne
Marin Mersenne (1588-1648) fue un sacerdote, matemático y filósofo francés.
Un número de Mersenne es un número de la forma Mp= 2p–1, siendo p un número primo.
Un número primo de Mersenne es un número primo de la forma Mp= 2p–1, siendo p un número primo.
Los primeros números de Mersenne, son:
n = 2 → M2 = 22–1 = 3 primo
n = 3 → M3 = 23–1 = 7 primo
n = 5 → M5 = 25–1 = 31 primo
n = 7 → M7 = 27–1 = 127 primo
n = 11 → M11 = 211–1 = 2047 = 23 · 89 compuesto
n = 13 → M13 = 213–1 = 8191 primo
n = 17 → M17 = 217–1 = 131071 primo
n = 19 → M19 = 219–1 = 524287 primo
n = 23 → M23 = 223–1 = 8388607 = 47 · 178481 compuesto
n = 29 → M29 = 229–1 = 536870911 = 233 · 1103 · 2089 compuesto
. . .
Actualmente se conocen 51 números primos de Mersenne. El último se obtiene con p=82589933 y tiene 24862048 cifras.
Números primos factoriales
Un número primo factorial es un número primo que se obtiene sumando o restando uno a los números factoriales. Es decir, son números primos de la forma:
n! ± 1
No todos los números de esta forma son primos. En la siguiente tabla aparecen los números primos (en verde) y los no primos (en rojo), obtenidos a partir de los primeros factoriales.
| n!−1 | n! | n!+1 |
| 0 | 1 | 2 |
| 1 | 2 | 3 |
| 5 | 6 | 7 |
| 23 | 24 | 25 |
| 119 | 120 | 121 |
| 719 | 720 | 721 |
| 5039 | 5040 | 5041 |
| 40319 | 40320 | 40321 |
| 362879 | 362880 | 362881 |
| 3628799 | 3628800 | 3628801 |
| 39916799 | 39916800 | 39916801 |
| 479001599 | 479001600 | 479001601 |
| 6227020799 | 6227020800 | 6227020801 |
| 87178294199 | 87178294200 | 87178294201 |
| 1307674367999 | 1307674368000 | 1307674368001 |
| . . . | . . . | . . . |
Números primos primoriales
Un número primo primorial es un número primo que se obtiene sumando o restando uno a los números primoriales, Es decir, son números primos de la forma:
n# ± 1
No todos los números de esta forma son primos. En la siguiente tabla aparecen los números primos (en verde) y los no primos (en rojo), obtenidos a partir de los primeros primoriales.
| n#−1 | n# | n#+1 |
| 1 | 2 | 3 |
| 5 | 6 | 7 |
| 29 | 30 | 31 |
| 209 | 210 | 211 |
| 2309 | 2310 | 2311 |
| 30029 | 30030 | 30031 |
| 510509 | 510510 | 510511 |
| 9699689 | 9699690 | 9699691 |
| 223092869 | 223092870 | 223092871 |
| 6469693229 | 6469693230 | 6469693231 |
| 200260490129 | 200560490130 | 200560490131 |
| 7420738134809 | 7420738134810 | 7420738134811 |
| 304250263527209 | 304250263527210 | 304250263527211 |
| 13082761331670029 | 13082761331670030 | 13082761331670031 |
| 614789882588491409 | 614789882588491410 | 614789882588491411 |
| . . . | . . . | . . . |
Primorial de un número
Se llama primorial de un número n al producto de todos los números primos menores o iguales que dicho número. Se representa por n#.
Los diez primeros números primoriales son:
2 = 2
6 = 2 · 3
30 = 2 · 3 · 5
210 = 2 · 3 · 5 · 7
2310 = 2 · 3 · 5 · 7 · 11
30030 = 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13
510510 = 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 · 17
9699690 = 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 · 17 · 19
223092870 = 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 · 17 · 19 · 23
6469693230 = 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 · 17 · 19 · 23 · 29
