Un número cuadrado perfecto es un número que tiene raíz cuadrada exacta. Se obtiene al elevar al cuadrado un número natural. Los primeros cuadrados perfectos son:

1²=1, 2²=4, 3²=9, 4²=16, 5²=25, 6²=36, 7²=49, 8²=64, 9²=81, 10²=100, 11²=121, 12²=144, … 

Un número cubo perfecto es un número que tiene raíz cúbica exacta. Se obtiene al elevar al cubo un número natural. Los primeros cubos perfectos son:

1³=1, 2³=8, 3³=27, 4³=64, 5³=125, 6³=216, 7³=343, 8³=512, 9³=729, 10³=1000, 11³=1331, 12³=1728, … 

• Hay infinitos números que son a la vez cuadrados y cubos perfectos, todos los que se obtienen al elevar a seis o a un múltiplo de seis cualquier número natural, es decir, al elevar un cuadrado perfecto al cubo y un cubo perfecto al cuadrado.

1=1⁶=1²=1³, 64=2⁶=8²=4³, 729=3⁶=27²=9³, 4096=2¹²=4⁶=64²=16³, 15625=5⁶=125²=25³, …

• Hay un cubo perfecto y un cuadrado perfecto que son números consecutivos:

8=2³    y    9=3²

• Hay un cuadrado perfecto y un cubo perfecto que dejan entre ellos un solo número natural:

25=5²    y    27=3³

El número que queda en medio, 26, tiene el privilegio de ser el único número natural con esta propiedad.

• Hay un cuadrado perfecto y un cubo perfecto que dejan entre ellos dos números naturales:

1=1³    y    4=2². 

• Otras parejas dejan entre ellos tres números naturales:

4=2²    y    8=2³        ,       121=11²    y    125=5³