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Fechas / Números

¡ Feliz 2025 !

¡ FELIZ 2025 !

2025 = 452 = ( 20 + 25 ) 2

2025 = ( 21 + 24 ) · ( 22 + 23 )

PROPIEDADES DEL NÚMERO 2025

• Descomposición factorial:     2025 = 34 × 52

• Número de divisores: (4+1)·(2+1) = 15.

1, 3, 5, 9, 15, 25, 27, 45, 75, 81, 135, 225, 405, 675 y 2025

• Suma de sus cifras:     2 + 0 + 2 + 5 = 9

• Suma de los cuadrados de sus cifras:    22 + 02 + 22 + 52 = 33

• El número 2025 se puede obtener como el cuadrado de la suma de los nueve primeros números naturales:   

( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 ) 2 = 2025

• El número 2025 se puede obtener como suma de los cubos de los nueve primeros números naturales:   

13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73 + 83 + 93 = 2025

• El número 2025 se puede obtener sumando y restando los cubos de los siguientes números impares consecutivos:  

153 – 133 + 113 – 93 + 73 – 53 + 33 = 2025 

ACTIVIDADES CON EL NÚMERO 2025

Las siguientes actividades se proponen para números desde una hasta cuatro cifras. Como ayuda para resolverlas, si el número tiene menos de cuatro cifras se puede completar añadiendo ceros a la izquierda.

• El número 2025 se escribe uniendo dos múltiplos de 5 consecutivos, 20 y 25. ¿Cuáles fueron los tres años anteriores a 2025 con esta propiedad? ¿Cuáles serán los cinco años siguientes con esta propiedad? ¿Cada cuántos años sucede esto? ¿Por qué?

• La suma de las cifras del número 2025 es 9. ¿Cuáles fueron los cinco años anteriores a 2025 con esta propiedad? ¿Cuáles serán los cinco años siguientes con esta propiedad?

• La suma de los cuadrados de las cifras del número 2025 es 33. ¿Cuáles fueron los cinco años anteriores a 2025 con esta propiedad? ¿Cuáles serán los cinco años siguientes con esta propiedad?

• El número 2025 es un cuadrado perfecto 2025=452. ¿Cuál fue el año anterior a 2025 con esta propiedad? ¿Cuál será el año siguiente con esta propiedad? ¿Cuál fue el año anterior que fue un cubo perfecto? ¿Cuál será el año siguiente que sea un cubo perfecto?

• El número 2025 se puede expresar de la forma, 2025=(20+25)2. ¿Cuál fue el año anterior a 2025 con esta propiedad (en caso de que el número no tenga cuatro cifras se completa con ceros a la izquierda)? ¿Cuáles serán los dos años siguientes con esta propiedad?

• Se verifica que:

2025=(21+24)·(22+23)       2024=(21+23)·(22+24)       2021=(21+22)·(23+24)

¿Cuáles fueron los cinco años anteriores con una relación similar? ¿Cuáles serán los cinco años siguientes?

• Escribimos la fecha de un día cualquiera del año con el formato “dd/mm/aa”, es decir, dos cifras para el día del mes, dos cifras para el mes y dos cifras para el año. ¿Qué días del año verifican “dd+mm=aa”? ¿Qué días del año verifican “dd·mm=aa”? ¿Qué días del año verifican “dd·mm·aa=2025”?

• Escribimos la hora, minutos y segundos de un instante de cualquier día del año con el formato “hh:mm:ss”, es decir, dos cifras para la hora, dos cifras para los minutos y dos cifras para los segundos. ¿Qué instantes de cada día verifican “hh·mm·ss=2025”?

• El año 2025 comienza y termina en miércoles. ¿Cuál fue el año anterior que empezó y terminó en miércoles? ¿Cuál será el año siguiente?

Las soluciones de las actividades las puedes encontrar en el siguiente enlace:

https://proyectodescartes.org/miscelanea/materiales_didacticos/Feliz_2025/index.html

OTRAS PROPIEDADES DEL NÚMERO 2025

Según los conjuntos numéricos que se estudian en la enseñanza de las Matemáticas, el número 2025 es un número natural, entero, racional y real. También se puede decir que es impar, múltiplo de 5, compuesto y cuadrado perfecto. En Matemáticas Recreativas aparecen otros tipos de números que verifican algunas propiedades curiosas y que reciben distintas denominaciones, llegando a ser contradictorias en algunos casos.

Según algunas de estas propiedades curiosas, se puede decir que el número 2025:

Es un número deficiente, la suma de sus divisores, excepto el mismo número, es menor que el número:

1+3+5+9+15+25+27+45+75+81+135+225+405+675 = 1726 < 2025

• Sin embargo, es un número poderoso porque es divisible por los cuadrados de cada uno de los factores primos que aparecen en su descomposición factorial.

Los factores primos que aparecen en la descomposición factorial de 2025 son 3 y 5. El número 2025 también es divisible por 32 y 52.

• Es un número infeliz, no se obtiene 1 al final de la secuencia de operaciones:

• Sin embargo, es un número que transmite alegría o número de Harshad, porque es divisible por la suma de sus cifras:

Pero, independientemente de lo que digan las Matemáticas de este número,

¡ Feliz 2025 !

Problemas geométricos

Área de un trapecio

1. Se representa una circunferencia con centro el punto O y una unidad de radio.

2. Se trazan dos diámetros perpendiculares y se dividen en ocho partes iguales

3. Se representa la recta que pasa por los puntos A y B.

4. Se traza la recta que pasa por los puntos C y D. Esta recta corta a la recta anterior en el punto E.

5. Se representa la recta paralela a la anterior por el punto F. Esta recta corta a la primera en el punto G.

6. Calcula la superficie del cuadrilátero DEGF.

Mosaicos / Proyecto Descartes

Mosaicos con cuadriláteros

En la acera de la Avenida Gabriel Roca de Palma de Mallorca aparece este mosaico, muy poco frecuente, con baldosas trapezoidales iguales, aunque colocadas en dos posiciones distintas:

Haz «click» sobre la imagen para abrir la miscelánea del Proyecto Descartes. Mueve los vértices del polígono central para construir otros mosaicos.

Aunque el mosaico inicial está formado por trapezoides, moviendo los vértices, construye otros mosaicos con cualquier tipo de cuadriláteros convexos o cóncavos. Algunos ejemplos:  

         

Problemas de ingenio / Problemas geométricos

Calendario Matemático SEMCV «Al Khwarizmi». 2024-25. Diciembre

La Sociedad de Educación Matemática de la Comunidad Valenciana «Al Khwarizmi» publica la cuarta página de su Calendario Matemático anual, correspondiente al mes de diciembre del curso 2024-25. Los problemas de los días 2-3, 27-28 y 30-31 corresponden a actividades de este blog.

Se puede acceder a la publicación haciendo «click» sobre la imagen siguiente. 

Mosaicos / Proyecto Descartes

Mosaico con octógonos y cuadrados

Si en un mosaico de baldosas cuadradas cortamos un cuadrado en cada vértice, de forma que sus vértices estén sobre las aristas de los cuadrados iniciales, se obtiene un nuevo mosaico con octógonos y cuadrados.

En la primera imagen se puede observar un mosaico en la entrada de un edificio en Berlín. En este mosaico los octógonos que se forman no tienen los lados iguales, son octógonos irregulares.

En la segunda imagen se puede observar un mosaico situado en una plaza de Otívar, en la provincia de Granada. En este mosaico los octógonos que se forman tienen los lados iguales, son octógonos regulares.

         

Haz «click» sobre la imagen para comprobar, con una escena del Proyecto Descartes, como cambia el mosaico al modificar la medida de la mitad de la diagonal del cuadrado menor. Lee el apartado indicaciones ¿Qué sucede para los valores 0 y 1? ¿Para qué valores se obtendrán octógonos regulares?

  

Problemas geométricos

Área de un deltoide

1. Se representa una circunferencia con centro el punto O y una unidad de radio.

2. Se trazan dos diámetros perpendiculares. Sean A y B los puntos de corte de la circunferencia con uno de los diámetros. Sean C y D los puntos de corte de la circunferencia con el otro diámetro.

3. Se representan los puntos medios E, F y G de los radios OA, OB y OD respectivamente.

4. Se traza la recta que pasa por los puntos G y A. Se traza también la recta que pasa por los puntos G y B.

5. Por el punto C se trazan perpendiculares a ambas rectas que las cortan en los puntos H e I respectivamente.

6. Calcula el perímetro y la superficie del deltoide CHGI, expresando los resultados con fracciones y raíces si fuese necesario.

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