En un un octógono regular, se construyen cuatro cuadrados de lado cuatro lados no consecutivos del octógono, según se puede ver en la figura.
• Calcula el área del cuadrado coloreado si el lado del octógono mide √2 centímetros.
• Calcula el área del cuadrado coloreado si el lado del octógono mide 1 centímetro.
Un aficionado al ajedrez encuentra en internet la posibilidad de jugar una partida, online, con un potente ordenador, con las siguientes condiciones:
• El jugador escoge el color de las fichas.
• Después de haber movido una pieza el ordenador, el jugador tiene un plazo de 24 horas para realizar su jugada. Una vez realizada, no puede volver atrás.
• Si el jugador gana al ordenador recibe un premio de 100€, si hace tablas recibe 50€ y si pierde tiene que pagar 50€.
Después de pensarlo decide aceptar el desafío por duplicado y juega dos intensas partidas. Al finalizar las dos partidas el resultado económico fue favorable al aficionado ¿Cómo lo hizo?
Un número práctico es un número natural que verifica que cualquier número menor que él se puede obtener como suma de parte de sus divisores.
Por ejemplo, el número 24. Divisores de 24: { 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 }
Todos los números del 1 al 23 se pueden obtener sumando divisores de 24.
| 1 = 1 | 5 = 1 + 4 | 9 = 1 + 8 | 13 = 1 + 12 | 17 = 1 + 4 + 12 | 21 = 1 + 8 + 12 |
| 2 = 2 | 6 = 6 | 10 = 2 + 8 | 14 = 2 + 12 | 18 = 6 + 12 | 22 = 2 + 8 + 12 |
| 3 = 1 + 2 | 7 = 1 + 6 | 11 = 3 + 8 | 15 = 3 + 12 | 19 = 1 + 6 + 12 | 23 = 3 + 8 + 12 |
| 4 = 4 | 8 = 8 | 12 = 12 | 16 = 4 + 12 | 20 = 8 + 12 |
Los veinticinco primeros números prácticos son:
1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 64, 66, 72, 78, 80, …
La Spira o espírica de Perseo (geómetra griego del siglo II a.C.) son curvas que representan secciones de un toro (cuerpo geométrico de la derecha) obtenidas al cortarlo por un plano paralelo a su eje de revolución.
Como casos particulares se obtienen los óvalos de Cassini (b=-a) y la lemniscata de Bernouilli (c=0).
Haz «click» sobre la imagen para abrir la construcción de GeoGebra.
El número de plata es un número algebraico. Esto significa que:
• Se puede representar gráficamente con regla y compás. Para representar el número de plata con regla y compás se sigue una construcción similar a la realizada para construir el rectángulo de plata:
Se traza un segmento de longitud 1, perpendicular a la recta real por el 2.
Con centro en 1 se traza un arco de circunferencia que pasa por el extremo del segmento anterior.
Este arco corta a la recta real en el número de plata.
• Se obtiene como solución de una ecuación polinómica con coeficientes racionales. El número de plata es la mayor de las soluciones de la ecuación:
La circunferencia pasa por el punto de intersección de la recta tangente y la perpendicular a dicha tangente por el centro.
Haz «click» sobre la imagen para abrir la construcción con Geogebra y seguirla paso a paso.
Otra obra más de Oscar Reutersvärd, (1915-2002). Una construcción posible de dibujar en dos dimensiones, pero imposible de construir en tres dimensiones.
Calcula la medida del ángulo α, sabiendo que:
• El polígono ABCD es un rectángulo cuya base mide el doble de su altura.
• El triángulo ADE es equilátero.
• El punto F es el punto medio del segmento DE.
Coloca los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 en los nueve círculos, sin repetir ninguno, de forma que la suma de los números colocados en cada uno de los lados del triángulo sea la misma. Hay varias soluciones.
(Haciendo «click» sobre la imagen puedes practicar con el juego realizado en GeoGebra).
M.C. Escher. Cisnes. 1956.
Xilografía. 31,9 x 19,9 cm.
