Adicción Matemática

diciembre 2022

Números

Números de Harshad

Un número de Harshad (en sánscrito, gran alegría) es un número natural que es divisible por la suma de sus cifras. Su nombre se debe al matemático indio Dattatreya Ramachandra Kaprekar (1905-1986). La definición se extiende a números expresados en cualquier base numérica, aunque los ejemplos corresponde al sistema decimal.

Por ejemplo, el número 2023.

Los veinticinco primeros números de Harshad son: 

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, …

Un caso particular de los números de Harshad son los números que al dividirlos por la suma de sus cifras se obtiene un número primo, conocidos como números de Moran.

Los veinticinco primeros números de Moran: 

18, 21, 27, 42, 45, 63, 84, 111, 114, 117, 133, 152, 153, 156, 171, 190, 195, 198, 201, 207, 209, 222, 228, 247, 261, …

Problemas geométricos

Triángulos equiláteros y trapezoide.

Se tienen cuatro triángulos equiláteros con un lado en cada uno de los ejes y de longitudes 1, 2, 3 y 4 cm respectivamente. Se construye el trapezoide ABCD uniendo los baricentros de dichos triángulos. Calcula su área. 

• Calcula el área del trapezoide si el lado de todos los triángulos equiláteros mide 1 cm.

• Calcula el área del trapezoide si los lados de todos los triángulos equiláteros miden a, b, c y d cm respectivamente.

Problemas de ingenio / Teorema de Pitágoras

¿Triángulos rectángulos con la misma hipotenusa?

En una entrada anterior de este blog se ha explicado la construcción de ternas pitagóricas, ternas de números enteros que son los lados de un triángulo rectángulo, es decir, que verifican el Teorema de Pitágoras.

a) ¿Pueden existir dos triángulos rectángulos con la misma hipotenusa y distintos catetos, siendo la longitud de todos los lados números naturales? En caso negativo, justifica la respuesta. En caso afirmativo, explica algún procedimiento para calcularlos y da algún ejemplo.

b) Si la respuesta del apartado anterior es afirmativa, ¿pueden existir tres triángulos rectángulos con la misma hipotenusa y distintos catetos, siendo la longitud de todos los lados números naturales? En caso negativo, justifica la respuesta. En caso afirmativo, explica algún procedimiento para calcularlos y da algún ejemplo.

Números

Los números 135 y 144

Los números 135 y 144 verifican que al multiplicar la suma de sus cifras por el producto de las mismas, el resultado es igual a dichos números.

135  →  (1+3+5) · (1·3·5) = 9·15 = 135

144  →  (1+4+4) · (1·4·4) = 9·16 = 144

Citas

David Hilbert

 
«El arte de hacer matemáticas consiste en encontrar el caso particular que contiene el germen de la generalidad».
 
David Hilbert.
Königsberg, 23 de enero de 1862 – Gotinga, 14 de febrero de 1943.
Matemático alemán.
Se considera el matemático más importante del siglo XX.

Problemas de ingenio

Sistema monetario matemático

El euro es la moneda oficial de la eurozona. Se puso en circulación en enero de 2001. Las monedas y billetes que tenemos son:

      Monedas: 1, 2, 5, 10, 20 y 50 céntimos. 1 y 2 euros.

     Billetes: 5, 10, 20, 50, 100, 200 y 500 euros.

Pero matemáticamente no es una moneda ideal. Para pagar algunas cantidades hay que repetir monedas, no se puede pagar con todas las monedas distintas.

Por ejemplo para pagar 4€ hay que utilizar dos monedas de 2€ o una moneda de 2€ y dos monedas de 1€, pero no se puede hacer con monedas distintas.

¿Cuántas monedas distintas y de qué valor se necesitarían para poder pagar cualquier cantidad de dinero desde 1 hasta 100 euros?

Número de oro

Ortoedro de oro

Se conoce como ortoedro de oro a un ortoedro cuyas aristas están en proporción áurea. El mejor ejemplo será un ortoedro cuyas aristas miden 1, φ y φ2 centímetros.

Longitud de las diagonales de las caras y de la diagonal mayor en centímetros:

Superficie en centímetros cuadrados:

Volumen en centímetros cúbicos:

Problemas geométricos

Nuevo triángulo en el Teorema de Pitágoras

 

El triángulo ABC es un triángulo rectángulo cuyos catetos miden AB=8 cm y AC=6 cm. Se construyen cuadrados de lados la hipotenusa y cada uno de los catetos, como se observa en la figura. Se unen los centros de los cuadrados formando el triángulo escaleno DEF. Calcula su área. 

• Calcula el área del triángulo que resulta si los catetos miden AB=24 cm y AC=10 cm.

• Calcula el área del triángulo que resulta si los catetos miden AB=c cm y AC=b cm.

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